книги из ГПНТБ / Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие]

жении (1 0 .3 ). Согласно

общей теории (см.вводную главу) при

каждом Фиксированном к.

вектор тЯ<1с | Л

лежит в образе опе^.

ратора

R _ Гусіі

\

О

C M / ' W ) . . . . .

( & , ш ы

!

С^ивательио

функции

J суть решения система урав-

нениРЧ^

Т) (і|с )

da KL (3

можетгде

быть р„ыбрано, то

U.

& Н S', if" *

(

с )

S f

как

угодно большим, то

. последнееП осколькуутверждениечисло

влечет

гипоэллиптичность оператора

С D/Ъ).

§ 3. Задачи с

переменными по

"Ь

коэффициентами.

мощью которых эта теорема монет

быть получена.

і- Т е о р е м а

к о н е ч н о с т и .

Введем несколько

определений. Пусть X

- многообразие с

краем

и ( s , # , * )

- тройка вещественных

чисел.

П р е д л о ж е н и е

4 .3 .

Пусть

( d- ■*, d

, d - , S .S J’ —

пятерка вещественных

чисел,

удовлетворяющих неравенствам

+ é Ы- £ <А-

J

< S * S

(12.3)

коммутативна и коУйозидии

сі

о Сd z~£ d ° d

являются непре­

рывными операторами. Более

того

если-неравенства

(12 .3) строги^

О п р е д е л е н и е 4 .3 .

Будем называть оператор

( D . b ; ) ; H s * * ( e ) - H

f O e H j . * . . « ,

C i z )

^ VÄ *t *

квазиэллиптичѳским, если этот оператор является таковым на

каждом сечении \ . =

1 „ цилиндра

С .

Т е о р е м а

4 .3 . Пусть

"*1 К

e.

где Ki

[ f J + l j

<A

£■ i

* А .

Тогда,

если

ск

- неособое.,

то оператор (13 .3)

Фредголь­

мов.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Как было уке отмечено в

начале параграфа,

представляет

собой несложную модификацию до­

казательства теоремы конечности главы П

и мы его

опускаем.

2 . Асимптотическое представление решения л ри t

-* *

оо

Т е о р е м а

5 .3 .

Пусть функция

H.Cxrt)

1

является решением квазиэллиптической краевой задачи

Ъ Cr-ityx,f t ) uCrrtJ=

fCr, i ) /

b/Cvri/bc, $+■) vCrtl)

=■

f -

й,...,

*c-

и пусть

fCr.-t) t'U&'f.di Cc)

, lyt-Hs-tf-itf«* СіС),ы,ы

Тогда

в

окрестности

{ - t o o

функция UC.Ti’t )

монет быть

ппедставлена

в виде

tks-f

ü te rtj=

7 1

+ Ui Of>"t)

к *

Здесь

т lccf>

( в

~t

)

полином'степени

[»Ц-

ß tlu j

лежащими в полосе

с Ре і=

, а остаточный член

тического представления

(10.3) для уравнения

с постоянными

по

t коэффициентами

и теоремы о регулярности

решения краевой

задачи для квазиэллиптического уравнения на многообразии с

краеі

3. Регулярность

Т е о р е м а

6. 3.

Пусть

( Ь , Ь ] :

Цв'ЬыС. С)

-

//

<ГcJ^

f

/ -

^ ^

-

-квазизллиптическиЯ

д и ф ф ер ен ц и ал ь н ы й

оператор

и oL

-

неособое.

Тогда

оператор ( О/В) - гипоэллиптичен.

Д о к а з а т е л ь с т в о

немедленно

следует

из

почти

левой

обратимости оператора ( Ъ/ Ь)

(см.анелогичнуп

теорему

6.2

гл.П).

«

4.

Мягкость реализации.

Т е о р е м а

7 .3

Реализация

(13.3) мягкая

и

область

мягкости ее

есть

множество

точек

( S/

,

где

S >

^ 5о = w ay

(І - *

I )

и «і

-

любое

неособое.

,

.

і

1

-

есть

Таким образом(область

мягкости для реализации (13.3)

(открытая)

полуплоскость

с

выброшенными прямыми

<я!-

•

Д о

к

а

з а

т е

л ь

с

т

в

о .

При

к аж д о м

ф и к с и р о в а н н о м

н е о с о б о м

р е а л и з а ц и я

( 1 3 . 3 )

к в а з и э л ;и п т и ч н а

при лю бом

р е г у ­

S >

S v

=■

rvA.jt

( g ^ - +

£

)

.

Э то

с л е д у е т

из

т е о р е м ы о

л я р н о с т и

р еш ения

к в а з и э л л и п т и ч е с к о г о

у р а в н е н и я .

П о с к о л ь к у о со б ы е т о ч к и

{ ^ o c j о б р а з у ю т н е к о т о р о е и з о л и р о ­

в а н н о е м н о ж е с т в о

н а

о с и ,

т о

д о п о л н е н и е

к

ним

о т к р ы т о , о т к у д а

во в с я к о м с л у ч а е с л е д у е т м я г к о с т ь р е а л и з а ц и и . Т о ч н а я о б л а с т ь

м я г к о с т и т а к к е о ч е в и д н а .

§ к .

П р и м ер ы .

ф о р м у л и р о в а т ь

и

д о к а з ы в а т ь т е о р е м у

иб

Ііы

н е

б у д ем

з д е с ь

о д н о з н а ч н о й р а зр е ш и м о с т и к р а е в о й з а д а ч и д л я р а р а б о л и ч е с к о г о

у р а в н е н и я

в п р о с т р а н с т в а х

-

Н

S ,

^ , с*.

£ с )

д л я

д о с т а т о ч н о

больш іг

о т р и ц а т е л ь н ы х з н а ч е н и й

о*-

. Э то п о л у ч а е т с я т а к и е , к а к э т с

было

с д е л а н о

в §

3

г л . П .

О с т а н о в и м с я с р а з у н е н а к о н к р е т н ы х к р а е в ы х з а д а ч а х д л я

н е к о т о р ы х п р о ст ы х у р а в н е н и й .

I .

Задача Дирихле

для

уравнения Лапласа. Рассмотри?/ задачу

разыскания функции

U.Cxt't)

}

удовлетворяющей уравнению

dW .

г ?и.

*

in '-

(14.3)

внутри цилиндра [О,*]

и

краевым данным Дирихле

^ \ х ю

« / * = *

* < е * №

(І5 . Э)

на границе

этого

цилиндра..

После

преобразования

Фурье

по

~t

задача (1 4 .3 ),

(15.3)

переходит в семейство

задач

на

отрезке

-

г

и_ч-

Э1Сі

о

ъ

----- . е

(Іб .З)

U

;Х =0

с

Ъ & ) ,

Н 1<:С

- tCv f r )

(17.3)

Решением этой

задачи

для

і-Ф-

О

является функция

ѴіШ

Л’«- 2г((-х) Y

А'иг-vr

ягс.

и,следовательно,

¥

cf-f с'см

и. Г п Ь)

I

гг''

£ff

ÄV.zfr-ej + 4i(i{ffy

с -

“с? 2- (18.3)

т

cf

- l - »

Точке

i ~ 0

,

как легко

видеть,

соответствует

лишь три­

виальное решение однородной задачи ( іб . З) ,

(1 7 .3 ),

поэтому

нача­

ло координат полосой не является.

Таким образом мероморфная функция

D~'(і)

имеет

простые

полюса в точках

2 ic -~

ftk-

}

•

(19 .3)

- g -

и, если число <*-

не

совпадает

ни с

одним из

таких

полюсов,

то

формула (18.3) имеет смысл.

Из явного выражения (19.3)

для

полюсов функции

Ъ'!С&)

видно,

что

при

°

полюса

+ о*

и,

таким

образом,

для

достаточно

малого

отрезка

функция

К-Сэгсі) £■И s,/r

являющаяся

решением краевой задачи (1 4 .3 ),

(1 5 .3)

в действитель.

ности является решением из пространства

И £, ff/0i f ( с )

со

сколі

угодно

большим ( полонительным)

2 .

Третья

краевая заді ча для

уравнения Лапласа.

Ота зад

разыскания

функции,

удовлетворяющей

уравнению ( П . З )

и

краевым

условиям

Т у

+ ^

w / хсо

№

>

4у

+

и /**• L

Ш

(20.3)

Полюса мероыорфной функции

Ъ"'(ъ)

задачи ( і 'і .З,

(2 0 .з)

при £г $ О

удовлетворяют уравнению

£■& 4 ? € ( б і - б Ѵ . ) - f - Ä ' K ЪІ (бг 6г.+гг)-О .

Отсюда, в частности,

следует,

что

если

б.} =

б-z.

то из

квазиэллиптичности задачи

(1 4 .3 ),

(20.3) необходимо следует,

что f'i = 6с.. =

О

,

так

как в противном случае функция

имела бы чисто мнимый полюс.

Точка

О

является полюсом функции

x Y S )

лишь при

определенном соотношении на параметры задачи:

б

б & + б

Q

В частности,

если

б/j = ^ - U

(задача

Неймана),

то полю­

са функции

имеют

вид

3.

Параболические

уравнения второго

порядка. Рассмотрим

вначале первую краевую задачу для уравнения теплопроводности

âU

и*. * -

О ,

(21.3)

и іх ~о

4t Ш ;

с-ЧійтК

(22.3)

»

Нетрудно

подсчитать,

что полюса мероморфной функции

- собственные

функции

задачи

Штурма-Лиувилля

- 2 гс -Ч.Х.Г.- О

(23.3)

U f c ) =

ц(() = О

(24.3)