книги из ГПНТБ / Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие]

в а т ь с я в в и д е f =■

. Мы б у д е м р а с с м а т р и в а т ь д и ф ­

ф е р е н ц и а л ь н ы е в ы р а ж е н и я -*) Ъ

в ц и л и н д р е С и о б о з н а ч а т ь и х

с и м в о л а м и

Э

=

Т > С г'* ’ Т>т,-Яг) .

, т о и ц и л и н Д

П о с к о л ь к у м н о г о о б р а з и е X

и м е е т к р а й Э Х

С =. Х * ' ® ' и м е е т к р а й

< ) Х ^ ^ ^ . М ы е г о о б о з н а ч и м ч е р е з è C

Ф у н к ц и о н а л ь н ы е п р о с т р а н с т в а , с к о т о р ы м и мы б у д е м и м е т ь

д е л о в о б щ ем т е

ж е ,

ч т о

и в г л .

I . В э т о м п у н к т е , мы

лиш ь в в е ­

д е м о б о з н а ч е н и я ^ к а к

и в

г л а в е П .

Ч е р е з

С с )

, ( S , ![,<*)

в е щ е с т в е н н ы е ч и с л а мы о б о з н а ч и м

п р о с т р а н с т в о ф у н к ц и й ^ - п р е

о б р а з о в а н и е Ф у р ь е к о т о р ы х и м е е т

к о н е ч н у ю н о р к у

II fll s,

- j

К( 4-f Д +Ш г)

‘- і і Ы і '

З д е с ь

Д

Рсг-0с

- п о л о ж и т е л ь н ы й о п е р а т о р Л а п л а с а , п о с т р о е н и и ^

с пом ощ ью

н е к о т о р о й

р и м а н о в о й

м е т р и к и ,

к о т о р у ю

с э т о г о м о м е н ­

т а мы с ч и т а е м ф и к с и р о в а н н о й и

j| • || -

- н о р м а н а м н о г С "

о б р а з и и X .

к р а е

ЬС. ц и л и н д р а С

о п р е д е л я е т с я

сл ед ую щ и м

Н о р м а

н а

о б р а з о м

И ^ f

= J Ю -f /+ и / 4 ) li' dt

x ) К а к и в

г л . I , мы ч а с т о б у д е м

( д о п у с к а я н е к о т о р у ю

в о л ь н о с т ь ) н а з ы в а т ь д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е

в ы р а ж е н и я о п е р а т о р а м и

З десь

&

/

-

оператор

Л а п л а са , построенной

с помощью

и н д у ц и р о в а н н о й р и ы а н о в о й м е т р и к и

^

и

II

II

- о э н а -І

ч а е т

Ь .,

- н о р м у н а к р а е

Э Х .

Н s i< f, ^

|0t

(

С J

'

А н а л о г и ч н о

в в о д я т с я

п р о с т р а н с т в а

2 . Г р а н и ч н ы е о п е р а т о р ы .В в е д е м п о н я т и е г р а н и ч н о г о о п е р а т о р а

О п р е д е л е н

и е і . 3 .

Э л е м е н т а р н ы м

г р а

н и ч л ы м

о п е р а т о р о м

J

мы н а з ы в а е м о т о б р а ж е н и е

II

^ •'

Hs, л, л С С)

-г

Н

^

(1.3)

с о п о с т а в л я ю щ е е к а ж д о й ф у н к ц и и ■ fC r r fc )

Г

в ц и л и н д р е С е е с у ж е - і

ние

н а к р а й

э т о г о

ц и л и н д р а ( и л и , к а к

мы

к о р о т к о

,

б у д е м п и с а т ь

£ С т !, ~ 0

) .

І . з

П у с т ь

S ? j

j

П р е д л о ж е н и е

. Т о г д а э л е -1

м ен т ар н ы й гр а н и ч н ы й о п е р а т о р я в л я е т с я н е п р е р ы в н ы м о п е р а т о р о м

f

при

л ю б о м

У

и

сА .

Н ам н уж н о п о к а з а т ь , ч т о

'

Д о к а з а т е л ь с т в о .

;

с у щ е с т в у е т

т а к а я п о с т о я н н а я

co>yt , н е

з а в и с я щ а я

от

ф у н к ц и и f

•

чт о

Г

^

* сѵШ

J /fO At/ Л

*

j ! (^ Д -f І?Г О *-

Ц

K f llJ ?

.

О ч е в и д н о , д л я э т о г о

д о с т а т о ч н о п о к а з а т ь , ч т о с п о с т о я н н о й *

c v 's i - t

, н е з а в и с я щ е й от ф у н к ц и и j -

и £■ в е р н о н е р а в е н ­

с т в о

д л я п о д ы н т е г р а л ь н ы х

в ы р а ж е н и й :

b'fi

К ( и Л + \ ^ е)

^411 .

II

£ СОЬИ

Таким образом доказательство

непрерывности

оператора

(1 .3 ) сведено к установлению

непрерывности элементарного гра­

ничного

оператора на многообразии X с

постоянной,

не завися­

щей от

? . Доказательство

последнего

утверждения

проводится

ратора

(см.,например, Г «]

) .

О п р е д е л е н и е

2 .3 .

О б щ и м

г р а н и ч ­

н ы м

о п е р а т о р о м

п о р я д к а

^ называется

отображение

8

f Ü s ,r tot С С)

- +

СдС)

(2 .3 )

являющееся

композицией

Н

5, гГ, ел С CJ

И

s - g - £ } Г , < * С дС)

И S - ë ,

C .J

П р е д л о ж е н и е

2 . 3 .

П у с т ь

S у

f Т о г д а - o n e - 1

р а т о р Вf н е п р е р ы в е н .

1

Д о к а з а т е л ь с т в о

н е м е д л е н н о с л е д у е т и з о п р е -

г

і

д е л е н и я о п е р а т о р а р

к а к к о м п о з и ц и и и и з н е п р е р ы в н о с т и к о м п о ­

н е н т .

3 . К в а э и э л л и п т и ч е с х и е о п е р а т о р ы в ц и л и н д р е с к р а е м . П у с т ь

Э

- D C r . t . D ^ ^ J

Л и.

( 3 . 3 )

- д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е в ы р а ж е н и е ч е т н о г о п о р я д к а ч Г ц и л и н д р е

С

и п у с т ь

— , Вуі s

) —

^ * 3 ) I

г р а н и ч н ы е д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е о п е р а т о р ы п о р я д к о в

!

|

д л я к а ж д о г о с е ч е н и я

t = t о ц и л и н д р а

С . З а ф и к с и р у е м в п р о ­

и з в о л ь н о й т о ч к е "t

*=■ " t o

к о э ф ф и ц и е н т ы

о п е р а т о р о в

D , ft ) Ä

■

( £>, З а . , . . . , б « ) и с д е л а е м ф о р м а л ь н у ю з а м е н у

О п р е д е л е н и е

3 .3 .

Мы будем говорить, что "пара7

/•

, . . v

Гъ, Ь) = Съ, ß a

[

кав]

а з и э л л и п т и ч н а , е с л и о н а э л л и п т и ч н а в с м ы с л е А г р а н о в и ч а - В и ш и к а

д л я

в с е х в е щ е с т в е н н ы х

с у ,

Мы н е б у д е м п о я с н я т ь э т о о п р е д е л е н и е , э т о бы ло с д е л а н о в

г л а в е I . О с т а н о в и м с я т о л ь к о к р а т к о н а о п р е д е л е н и и с т а р ш е й ( г л а в

н о й ) ч а с т и о п е р а т о р а

( V ), Ъ ) .

П у с т ь

- н е к о т о р о е п о л о ж и т е л ь н о е ч и с л о . С т ар ш у ю ( г л а в ­

н у ю ) ч а с т ь

( ъ о

,

8 «

Ъ„0

-

мы о п р е д е л и м к а к д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е в ы р а ж е н и я , у д о в л е т в о р я ю щ и е

сл ед ую щ и м ф о р м а л ь н ы м с о о т н о ш е н и я м :

Ъ о

(ЭС'-Ь , Ъ

* , ! • * )

=

^

)

b S o ( r r t , , Ъ Х

, | + j =

4 t )

§ 2 . К р а е в ы е з а д а ч и д л я у р а в н е н и й с п о с т о я н н ы м и п о t

к о э ф ф и ц и е н т а м и .

I . Т е о р е м а об и з о м о р ф и з м е . Р а с с м о т р и м в ц и л и н д р е с л е д у ю ­

щую к р а е в у ю

з а д а ч у

u .C = r< V =

ч

( 5 . 3 )

Ъ С ъ

f y

4 - C t t t ) ,

■ ^

VC * '

£ t r j

U(?C<,

t )

=f r■ C -r ) - t )

( 6 > 3

Т е о р е м а

I . 3 . ,

yr. 4 ,.

**■.

Пу с т ь п а р а

( Ъ , Ю --к в а з и э л л и п т и ч н а .

Т о г д а к р а е в а я з а д а ч а ( 3 . 3 Ѵ' - ( 5 . 3 ) и м е е т я п р и з о м е д и н с т в е н н о е

р е ш е н и е - U f r e b ) { - И s , f , * C ^ ) ю ія лю бы х п р а в ы х ч а с т е й

Hs-v.f.^CC-) ,

«у (г Н S- в у - І С к ) ,

у с.

1 1 . . ,

ГЧ_

И любых

I

за исключением: некоторого дискретного множества ( особых■точек)

на

вещественной

оси.

Более того

для

любой функции

it

£• Н s. If,<*■

С ?)

( и

-

неособое)

справедливо

следующее неравенство

I

II UllSlf ioL *

coat

( Hbи. ff

^

+ Z

I

где

постоянная

co

не зависит от

функции tt- .

[

На

языке теории

операторов

эте

теорема

звучит следующим

образом,

Реализуем

"пару"

Р>)

как

оператор

Г

( с)

'r Hsi!4J,г,и

t 0) ®

г , * C t t y j (7 .3 )

и.

С С )

Iь

сопоставляющий

каждой функции

"пару",'

функций

( Ь и . Ь и . )

-

С.Т> ц ,

Ъ 4 H j ...,

Ъ * . и ) .

П р е д л о ж е н и е

3 .3 .

Оператор

(7 .3 ) непрерывен,

j’

Д о к а з а т е л ь с т в о

следует

из предложения 2 .3 . !

Мы будем называть

оператор ( D, & ) -

к

в а з и з

л л и п«

т

и ч

е с к и м, если

таковой

является

пара

( Е>, 5

) .

Т е о р е м а

I .

3.

Пусть

оператор.(

"D., ß> )

т

квазиэллиг

тичен.

Тогда для всех неособих

сЛ. он является

изоморфизмом.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Перейдем

от

оператора ( Ц &

к (унитарно эквивалентному)

оператору

Sfa V r,- *■)•’Ңs,f,0<.£К) —у Hs-лп, і,*(Х)ѳЖ -{.-/ j ^ Qx.h

'(т'з)

записанного в координатах

«*■ -преобразования Фурье. В этих но­

вых координатах оператор

по переменной 2 (двойственной к ~t )

рованный ^тривиальным поднятием"

семейства

( D , В)

( і ) =

CD С*- £>*,-■£} ,

Это позволяет свести

глобальное

изучение

оператора к поточечному.

;

Поскольку

семейство t СТ>/

Ъ) (&) полиномиально

зависит от

і , то

будучи

вначале

определено

лишь на

прямой

, ‘

оно аналитически продолжается на всю комплексную плоскость.

Оператор

(Ѵ ,Ъ )С е )

. - Hs Q l)

.e

,

эллиптичен (в обычном смысле). Значит от Фредгольмов. Следова­

тельно таковым не является и все семейство

СЪ,

Ъ) (з - ). (Напом­

ним, что

поскольку

О

(

то

параметр

£

входит лишь в

младшие члены

оператора

( ъ , ъ )

w

) .

Далее,полагая

ш получаем, что семейство

( b S ) C - i ' f * )

- С р ,

удовлетворяет

на прямой

|j

условию

эллиптичности Аграновича-Вишика. Всилу

открытости этог|

условия

оно выполнено и в некоторомсекторе

[;

+

су I

^

( 8*3)

1

(

- 106 -

і

где

S' .>

О

-

некоторое

число. Поскольку

, тоІ

(Х\^ £

-

-

(FafL§- *У

и,

следовательно,

в

переменных

2-

сектор

(8 .3 )

записывается следующим

образом

j

I

[ а ц - г і { \

< у Т '

(8 -3)

Значит по теореме Аграновича-Вишика

при достаточно SBJ

больших

по модулю і

из

сектора

(8 .3 )

семейства

(7 .3 )

явля-

!

I

ется семейством изоморфизмов и, более того,

для таких^и любой

функции

Ц £- Н s ( % )

справедливо

неравенство

||(j+

Д + И/?)* II

*

Сои-і

C'i-f Д 1 l?l?) ^ r 4 D U II +■

j

В

V

/

(9 .3 )

j

+ І І (<-f л ' + /Ъ ! '^ )

О

,

f

J

где

постоянная

ccioi't

не

зависит

от

функции

к.

и

£ .

Итак, мы находимся в ситуации фредгольмового семейства

операторов с нулевым индексом, аналитически зависящих от па­

раметра

t

. Такое семейство,

как

показано

во

вводной

главе

конечномероморфно обратимо, то-есть существует операторнознач­

ная

функция

Ь

, ь У С ъ )

,

обращающая семейство

С О, Ъ) ( і)

во

всех

регулярных точках.

Предположим теперь,

что

на прямой Re

<*-

нет

полюсов

функции

(Ъ, Ь)~ (■£-)

. Тогда существует обратный

оператор

й У ' ' ѵ з й -

/ е " * * 6 > , ъ Т ' ш d t

Докажем его непрерывность. В силу унитарности

^

-преоб­

разования Фурье для этого достаточно

установить на прямой

R e ъ *

л

неравенство

(9 .3 ) с константой, не

зависящей

от

функции

Ц

и

Ъ

о фиксированной вещественной

частью

.

Для

этого

разобьем прямую

2 .«

на три части

( а -ССС,<і и Ъ)

и

[ л -CQ f Л * i' о»)

.

Сегмент

,J L ri'ß J

компактен и поскольку

постоянная С

является

непрерывной

функцией*)

5

I

то на компакте ее можно выбрать

одной

и той же

для всех

Ъ 6

Гс^-сС\ >

. Теперь остается

только

воспользоваться

результатом статьи

Г 2^

,

где

показано,

что

в

двойном

секторе

(8 .3 )

можно найти настолько

большое чис­

ло

т /

,

что

неравенство

(9 .3 ) будет

выполнено с константой,

не зависящей от

£

.

Таким образом, неравенство

(9 .3 )

уста­

новлено. Теперь,

как уже

отмечалось,

непрерывность

оператора

3 .2 . Асимптотическое представление

решения при -£• -» і о ° .

Как Оыло показано в п.і.квазиэллиптическая краевая задача

Т) к.Сѵ <t )

=

■fCac:‘+),

Ь/и.С г,-і.)

=■

% 'С *гЬ )}

^

однозначно разрешима

в классе

и. & И

s,<T,<* C ^ )

при любых

К * * * ) ^

С С ) . « у

é H S -€ j-{ ,г*ОС)>*

слУчае

при -Ь -+

t

дает

следующая теорема.

Т е о р е м а

2 .3 .

Пусть

&- И

s ,^ o t

( с )

и пуст;

и

h

’ &

где

Тогда решение

и (г, -t)

мокет

быть

представлено в следующем виде

г*-і

■ U ( ? i i ) =

2 1

2 1 t

е~

О с) а

« і

О с Л ) .

(10.3)'

Здесь

Р е ю ( х )

-

гладкие функции,

внешнее

суммирование

производится

по всем полюсам

с кратностями

е , ( .

,

■ -

лежащими в полосе

ы

£< з-«£ <*„ , а остаточный член

Доказательство производится в точности іде

такому яе

плану,

как

и доказательство теоремы 2 .2 . гл.Ц.

Остановимся

только

на

определении и гладкости коэффициентов

OOL. б разло-