
книги из ГПНТБ / Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие]
.pdfв а т ь с я в в и д е f =■ |
. Мы б у д е м р а с с м а т р и в а т ь д и ф |
ф е р е н ц и а л ь н ы е в ы р а ж е н и я -*) Ъ |
в ц и л и н д р е С и о б о з н а ч а т ь и х |
с и м в о л а м и |
|
Э |
= |
Т > С г'* ’ Т>т,-Яг) . |
, т о и ц и л и н Д |
|||
П о с к о л ь к у м н о г о о б р а з и е X |
и м е е т к р а й Э Х |
|||||
С =. Х * ' ® ' и м е е т к р а й |
< ) Х ^ ^ ^ . М ы е г о о б о з н а ч и м ч е р е з è C |
|||||
Ф у н к ц и о н а л ь н ы е п р о с т р а н с т в а , с к о т о р ы м и мы б у д е м и м е т ь |
||||||
д е л о в о б щ ем т е |
ж е , |
ч т о |
и в г л . |
I . В э т о м п у н к т е , мы |
лиш ь в в е |
|
д е м о б о з н а ч е н и я ^ к а к |
и в |
г л а в е П . |
Ч е р е з |
С с ) |
, ( S , ![,<*) |
в е щ е с т в е н н ы е ч и с л а мы о б о з н а ч и м |
п р о с т р а н с т в о ф у н к ц и й ^ - п р е |
о б р а з о в а н и е Ф у р ь е к о т о р ы х и м е е т |
к о н е ч н у ю н о р к у |
II fll s, |
- j |
К( 4-f Д +Ш г) |
‘- і і Ы і ' |
|
|||
З д е с ь |
Д |
Рсг-0с |
|
|
|
|
|
- п о л о ж и т е л ь н ы й о п е р а т о р Л а п л а с а , п о с т р о е н и и ^ |
|||||||
с пом ощ ью |
н е к о т о р о й |
р и м а н о в о й |
м е т р и к и , |
к о т о р у ю |
с э т о г о м о м е н |
||
т а мы с ч и т а е м ф и к с и р о в а н н о й и |
j| • || - |
- н о р м а н а м н о г С " |
|||||
о б р а з и и X . |
к р а е |
ЬС. ц и л и н д р а С |
о п р е д е л я е т с я |
сл ед ую щ и м |
|||
Н о р м а |
н а |
||||||
о б р а з о м |
|
|
|
|
|
|
|
И ^ f |
|
= J Ю -f /+ и / 4 ) li' dt |
|
i
x ) К а к и в |
г л . I , мы ч а с т о б у д е м |
( д о п у с к а я н е к о т о р у ю |
в о л ь н о с т ь ) н а з ы в а т ь д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е |
в ы р а ж е н и я о п е р а т о р а м и |
- ІОО -
|
З десь |
& |
/ |
- |
оператор |
Л а п л а са , построенной |
с помощью |
|
|||||||
и н д у ц и р о в а н н о й р и ы а н о в о й м е т р и к и |
^ |
и |
II |
II |
|
- о э н а -І |
|||||||||
ч а е т |
Ь ., |
- н о р м у н а к р а е |
|
Э Х . |
|
Н s i< f, ^ |
|0t |
( |
С J |
|
' |
||||
|
А н а л о г и ч н о |
в в о д я т с я |
п р о с т р а н с т в а |
|
|
||||||||||
|
2 . Г р а н и ч н ы е о п е р а т о р ы .В в е д е м п о н я т и е г р а н и ч н о г о о п е р а т о р а |
||||||||||||||
|
О п р е д е л е н |
и е і . 3 . |
Э л е м е н т а р н ы м |
г р а |
|
||||||||||
н и ч л ы м |
|
о п е р а т о р о м |
J |
мы н а з ы в а е м о т о б р а ж е н и е |
II |
||||||||||
|
^ •' |
Hs, л, л С С) |
-г |
Н |
|
^ |
|
|
|
(1.3) |
|
||||
с о п о с т а в л я ю щ е е к а ж д о й ф у н к ц и и ■ fC r r fc ) |
|
|
|
|
|
Г |
|||||||||
в ц и л и н д р е С е е с у ж е - і |
|||||||||||||||
ние |
|
|
|
|
н а к р а й |
э т о г о |
ц и л и н д р а ( и л и , к а к |
мы |
к о р о т к о |
, |
|||||
б у д е м п и с а т ь |
£ С т !, ~ 0 |
|
) . |
І . з |
П у с т ь |
S ? j |
|
|
|
|
j |
||||
|
П р е д л о ж е н и е |
|
. Т о г д а э л е -1 |
||||||||||||
м ен т ар н ы й гр а н и ч н ы й о п е р а т о р я в л я е т с я н е п р е р ы в н ы м о п е р а т о р о м |
f |
||||||||||||||
при |
л ю б о м |
У |
и |
|
сА . |
|
|
|
Н ам н уж н о п о к а з а т ь , ч т о |
' |
|||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
; |
|||||||||||||
с у щ е с т в у е т |
т а к а я п о с т о я н н а я |
co>yt , н е |
з а в и с я щ а я |
от |
ф у н к ц и и f |
• |
|||||||||
чт о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
^ |
|
|
* сѵШ |
J /fO At/ Л |
|
|
* |
|||
j ! (^ Д -f І?Г О *- |
Ц |
K f llJ ? |
|
. |
О ч е в и д н о , д л я э т о г о |
д о с т а т о ч н о п о к а з а т ь , ч т о с п о с т о я н н о й * |
||
c v 's i - t |
, н е з а в и с я щ е й от ф у н к ц и и j - |
и £■ в е р н о н е р а в е н |
||
с т в о |
д л я п о д ы н т е г р а л ь н ы х |
в ы р а ж е н и й : |
|
- І О І
|
b'fi |
К ( и Л + \ ^ е) |
^411 . |
II |
£ СОЬИ |
||
|
Таким образом доказательство |
непрерывности |
оператора |
(1 .3 ) сведено к установлению |
непрерывности элементарного гра |
|||
ничного |
оператора на многообразии X с |
постоянной, |
не завися |
|
щей от |
? . Доказательство |
последнего |
утверждения |
проводится |
также как доказывается обычная непрерывность граничного one«
ратора |
(см.,например, Г «] |
) . |
|
|
|
|
О п р е д е л е н и е |
2 .3 . |
О б щ и м |
г р а н и ч |
|||
н ы м |
о п е р а т о р о м |
п о р я д к а |
^ называется |
|||
отображение |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
f Ü s ,r tot С С) |
- + |
|
СдС) |
(2 .3 ) |
являющееся |
композицией |
|
|
|
|
|
|
Н |
5, гГ, ел С CJ |
И |
s - g - £ } Г , < * С дС) |
|
И S - ë , |
C .J |
некоторого дифференциального оператора 5 и элементарного граничного оператораi d .
- 102 -
П р е д л о ж е н и е |
2 . 3 . |
П у с т ь |
S у |
f Т о г д а - o n e - 1 |
|||
р а т о р Вf н е п р е р ы в е н . |
|
|
|
|
1 |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о |
н е м е д л е н н о с л е д у е т и з о п р е - |
||||||
|
г |
і |
|
|
|
|
|
д е л е н и я о п е р а т о р а р |
к а к к о м п о з и ц и и и и з н е п р е р ы в н о с т и к о м п о |
||||||
н е н т . |
|
|
|
|
|
|
|
3 . К в а э и э л л и п т и ч е с х и е о п е р а т о р ы в ц и л и н д р е с к р а е м . П у с т ь |
|||||||
Э |
- D C r . t . D ^ ^ J |
|
Л и. |
|
( 3 . 3 ) |
||
- д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е в ы р а ж е н и е ч е т н о г о п о р я д к а ч Г ц и л и н д р е |
С |
||||||
и п у с т ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— , Вуі s |
|
) — |
|
^ * 3 ) I |
|
г р а н и ч н ы е д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е о п е р а т о р ы п о р я д к о в |
|
! |
|||||
|
| |
Д а д и м о п р е д е л е н и е к в а з и э л л и п т и ч н о с т и . О н о С у д е т ф о р м у л и р о в а т ь с я ^ ,
д л я к а ж д о г о с е ч е н и я |
t = t о ц и л и н д р а |
С . З а ф и к с и р у е м в п р о |
|
||
и з в о л ь н о й т о ч к е "t |
*=■ " t o |
к о э ф ф и ц и е н т ы |
о п е р а т о р о в |
D , ft ) Ä |
■ |
( £>, З а . , . . . , б « ) и с д е л а е м ф о р м а л ь н у ю з а м е н у |
|
|
|
|
О п р е д е л е н и е |
3 .3 . |
Мы будем говорить, что "пара7 |
|
|
|
|
/• |
|
, . . v |
|
|
|
Гъ, Ь) = Съ, ß a |
||
[ |
кав] |
а з и э л л и п т и ч н а , е с л и о н а э л л и п т и ч н а в с м ы с л е А г р а н о в и ч а - В и ш и к а |
|||
|
|
д л я |
в с е х в е щ е с т в е н н ы х |
с у , |
|
|
|
|
|
|
- ЮЗ -
|
Мы н е б у д е м п о я с н я т ь э т о о п р е д е л е н и е , э т о бы ло с д е л а н о в |
|||||||||
|
г л а в е I . О с т а н о в и м с я т о л ь к о к р а т к о н а о п р е д е л е н и и с т а р ш е й ( г л а в |
|||||||||
|
н о й ) ч а с т и о п е р а т о р а |
( V ), Ъ ) . |
|
|
|
|
||||
|
П у с т ь |
- н е к о т о р о е п о л о ж и т е л ь н о е ч и с л о . С т ар ш у ю ( г л а в |
||||||||
|
н у ю ) ч а с т ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ъ о |
|
, |
8 « |
|
|
|
Ъ„0 |
|
|
- |
мы о п р е д е л и м к а к д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е в ы р а ж е н и я , у д о в л е т в о р я ю щ и е |
|||||||||
сл ед ую щ и м ф о р м а л ь н ы м с о о т н о ш е н и я м : |
|
|
|
|
||||||
Ъ о |
(ЭС'-Ь , Ъ |
* , ! • * ) |
= |
^ |
|
|
|
|
|
) |
b S o ( r r t , , Ъ Х |
, | + j = |
|
|
|
|
|
4 t ) |
|
||
|
§ 2 . К р а е в ы е з а д а ч и д л я у р а в н е н и й с п о с т о я н н ы м и п о t |
|||||||||
|
к о э ф ф и ц и е н т а м и . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
I . Т е о р е м а об и з о м о р ф и з м е . Р а с с м о т р и м в ц и л и н д р е с л е д у ю |
|||||||||
|
щую к р а е в у ю |
з а д а ч у |
|
|
u .C = r< V = |
|
|
ч |
( 5 . 3 ) |
|
|
Ъ С ъ |
|
f y |
|
4 - C t t t ) , |
|||||
|
■ ^ |
VC * ' |
|
£ t r j |
U(?C<, |
t ) |
|
=f r■ C -r ) - t ) |
|
( 6 > 3 |
|
Т е о р е м а |
I . 3 . , |
yr. 4 ,. |
**■. |
|
|
||||
|
Пу с т ь п а р а |
( Ъ , Ю --к в а з и э л л и п т и ч н а . |
||||||||
|
Т о г д а к р а е в а я з а д а ч а ( 3 . 3 Ѵ' - ( 5 . 3 ) и м е е т я п р и з о м е д и н с т в е н н о е |
|||||||||
|
р е ш е н и е - U f r e b ) { - И s , f , * C ^ ) ю ія лю бы х п р а в ы х ч а с т е й |
|
- 10+ -
Hs-v.f.^CC-) , |
«у (г Н S- в у - І С к ) , |
у с. |
1 1 . . , |
ГЧ_ |
И любых |
I |
||||||||||||
за исключением: некоторого дискретного множества ( особых■точек) |
|
|||||||||||||||||
на |
вещественной |
оси. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Более того |
для |
любой функции |
|
it |
£• Н s. If,<*■ |
С ?) |
|
||||||||||
( и |
- |
неособое) |
справедливо |
следующее неравенство |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
II UllSlf ioL * |
coat |
( Hbи. ff |
|
^ |
|
+ Z |
|
|
|
|
I |
|
||||||
где |
постоянная |
co |
|
не зависит от |
функции tt- . |
|
|
[ |
||||||||||
|
На |
языке теории |
операторов |
эте |
теорема |
звучит следующим |
|
|||||||||||
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Реализуем |
"пару" |
|
Р>) |
как |
оператор |
|
|
|
|
|
|
||||||
Г |
|
|
|
( с) |
'r Hsi!4J,г,и |
t 0) ® |
|
|
|
|
г , * C t t y j (7 .3 ) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и. |
|
|
|
|
С С ) |
|
|
Iь |
||
сопоставляющий |
каждой функции |
|
|
|
|
|
"пару",' |
|||||||||||
функций |
( Ь и . Ь и . ) |
- |
С.Т> ц , |
Ъ 4 H j ..., |
Ъ * . и ) . |
|
|
|
||||||||||
|
П р е д л о ж е н и е |
3 .3 . |
Оператор |
(7 .3 ) непрерывен, |
j’ |
|||||||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о |
|
|
следует |
из предложения 2 .3 . ! |
|||||||||||||
|
Мы будем называть |
оператор ( D, & ) - |
к |
в а з и з |
л л и п« |
|||||||||||||
т |
и ч |
е с к и м, если |
таковой |
является |
пара |
|
( Е>, 5 |
) . |
|
|||||||||
|
Т е о р е м а |
I . |
3. |
Пусть |
оператор.( |
"D., ß> ) |
т |
квазиэллиг |
|
|||||||||
тичен. |
|
Тогда для всех неособих |
сЛ. он является |
изоморфизмом. |
|
|||||||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Перейдем |
от |
оператора ( Ц & |
|
||||||||||||
к (унитарно эквивалентному) |
оператору |
|
|
|
|
|
|
|
|
- 105 -
Sfa V r,- *■)•’Ңs,f,0<.£К) —у Hs-лп, і,*(Х)ѳЖ -{.-/ j ^ Qx.h |
|
|
'(т'з) |
записанного в координатах |
«*■ -преобразования Фурье. В этих но |
вых координатах оператор |
по переменной 2 (двойственной к ~t ) |
является алгебраическим оператором, то-есть оператором, индуци
рованный ^тривиальным поднятием" |
семейства |
( D , В) |
( і ) = |
|||||||
CD С*- £>*,-■£} , |
|
|
Это позволяет свести |
глобальное |
||||||
изучение |
оператора к поточечному. |
|
|
|
; |
|||||
Поскольку |
семейство t СТ>/ |
Ъ) (&) полиномиально |
зависит от |
|||||||
і , то |
будучи |
вначале |
определено |
лишь на |
прямой |
, ‘ |
||||
оно аналитически продолжается на всю комплексную плоскость. |
||||||||||
Оператор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ѵ ,Ъ )С е ) |
. - Hs Q l) |
|
|
|
|
.e |
, |
|
||
эллиптичен (в обычном смысле). Значит от Фредгольмов. Следова |
||||||||||
тельно таковым не является и все семейство |
СЪ, |
Ъ) (з - ). (Напом |
||||||||
ним, что |
поскольку |
О |
( |
то |
параметр |
£ |
входит лишь в |
|||
младшие члены |
оператора |
( ъ , ъ ) |
w |
) . |
|
|
|
|||
Далее,полагая |
|
|
|
ш получаем, что семейство |
||||||
( b S ) C - i ' f * ) |
- С р , |
удовлетворяет |
на прямой |
|j |
||||||
условию |
эллиптичности Аграновича-Вишика. Всилу |
открытости этог| |
||||||||
условия |
оно выполнено и в некоторомсекторе |
|
|
[; |
||||||
|
+ |
|
су I |
^ |
|
|
|
|
|
( 8*3) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
( |
- 106 - |
і |
где |
|
S' .> |
О |
- |
некоторое |
|
число. Поскольку |
|
|
|
|
|
, тоІ |
||||||
(Х\^ £ |
- |
- |
(FafL§- *У |
и, |
|
следовательно, |
в |
переменных |
2- |
сектор |
|||||||||
(8 .3 ) |
записывается следующим |
образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
[ а ц - г і { \ |
< у Т ' |
|
|
|
|
|
|
(8 -3) |
|
||||||
|
|
Значит по теореме Аграновича-Вишика |
|
|
при достаточно SBJ |
||||||||||||||
больших |
по модулю і |
из |
|
сектора |
(8 .3 ) |
семейства |
(7 .3 ) |
явля- |
! |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
ется семейством изоморфизмов и, более того, |
для таких^и любой |
|
|||||||||||||||||
функции |
Ц £- Н s ( % ) |
справедливо |
неравенство |
|
|
|
|
|
|||||||||||
||(j+ |
Д + И/?)* II |
|
* |
Сои-і |
|
C'i-f Д 1 l?l?) ^ r 4 D U II +■ |
j |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
V |
/ |
|
|
|
|
(9 .3 ) |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
+ І І (<-f л ' + /Ъ ! '^ ) |
|
|
|
О |
, |
|
|
|
|
f |
|||||||||
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|||||||||||
где |
постоянная |
ccioi't |
не |
зависит |
от |
функции |
к. |
и |
£ . |
|
|||||||||
|
|
Итак, мы находимся в ситуации фредгольмового семейства |
|
||||||||||||||||
операторов с нулевым индексом, аналитически зависящих от па |
|
||||||||||||||||||
раметра |
t |
. Такое семейство, |
как |
показано |
во |
вводной |
главе |
|
|||||||||||
конечномероморфно обратимо, то-есть существует операторнознач |
|
||||||||||||||||||
ная |
функция |
Ь |
, ь У С ъ ) |
, |
обращающая семейство |
С О, Ъ) ( і) |
|
||||||||||||
во |
всех |
регулярных точках. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Предположим теперь, |
что |
на прямой Re |
<*- |
нет |
полюсов |
|
|||||||||||
функции |
(Ъ, Ь)~ (■£-) |
. Тогда существует обратный |
оператор |
|
|||||||||||||||
|
|
|
й У ' ' ѵ з й - |
/ е " * * 6 > , ъ Т ' ш d t |
|
|
|
|
|
- 107 -
|
|
Докажем его непрерывность. В силу унитарности |
^ |
-преоб |
||||||||||||
разования Фурье для этого достаточно |
установить на прямой |
|||||||||||||||
R e ъ * |
л |
неравенство |
(9 .3 ) с константой, не |
зависящей |
от |
|||||||||||
функции |
Ц |
и |
Ъ |
о фиксированной вещественной |
частью |
. |
||||||||||
Для |
этого |
разобьем прямую |
2 .« |
на три части |
|
|
|
|||||||||
( а -ССС,<і и Ъ) |
и |
|
[ л -CQ f Л * i' о») |
. |
Сегмент |
|
|
,J L ri'ß J |
||||||||
компактен и поскольку |
постоянная С |
является |
непрерывной |
|||||||||||||
функцией*) |
5 |
I |
то на компакте ее можно выбрать |
одной |
и той же |
|||||||||||
для всех |
|
Ъ 6 |
Гс^-сС\ > |
|
|
. Теперь остается |
||||||||||
только |
воспользоваться |
результатом статьи |
Г 2^ |
, |
где |
показано, |
||||||||||
что |
в |
двойном |
секторе |
(8 .3 ) |
можно найти настолько |
большое чис |
||||||||||
ло |
т / |
, |
что |
неравенство |
(9 .3 ) будет |
выполнено с константой, |
||||||||||
не зависящей от |
|
£ |
. |
Таким образом, неравенство |
(9 .3 ) |
уста |
||||||||||
новлено. Теперь, |
как уже |
отмечалось, |
непрерывность |
оператора |
следует из непрерывности сомножителей, а значит справедливо' неравенство
и
х) Можно легко показать, что константы в неравенствах коэрцитивности суть непрерывные функции коэффициентов оператора.
- 108 -
3 .2 . Асимптотическое представление |
решения при -£• -» і о ° . |
||||
Как Оыло показано в п.і.квазиэллиптическая краевая задача |
|||||
Т) к.Сѵ <t ) |
= |
■fCac:‘+), |
|
|
|
Ь/и.С г,-і.) |
=■ |
% 'С *гЬ )} |
|
^ |
|
однозначно разрешима |
в классе |
и. & И |
s,<T,<* C ^ ) |
при любых |
|
К * * * ) ^ |
|
С С ) . « у |
é H S -€ j-{ ,г*ОС)>* |
слУчае |
если oL - неособое. Асимптотическое разлокение такого решения
при -Ь -+ |
t |
|
дает |
следующая теорема. |
|
|
|
|||||
Т е о р е м а |
2 .3 . |
Пусть |
&- И |
s ,^ o t |
( с ) |
и пуст; |
||||||
|
|
|
|
|
и |
h |
’ & |
|
|
|
где |
|
Тогда решение |
и (г, -t) |
мокет |
быть |
представлено в следующем виде |
||||||||
|
|
|
г*-і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■ U ( ? i i ) = |
2 1 |
2 1 t |
е~ |
|
|
О с) а |
« і |
О с Л ) . |
(10.3)' |
|||
Здесь |
|
Р е ю ( х ) |
- |
гладкие функции, |
внешнее |
суммирование |
||||||
производится |
по всем полюсам |
|
|
|
|
|
|
с кратностями |
|
|
е , ( . |
, |
■ - |
лежащими в полосе |
ы |
£< з-«£ <*„ , а остаточный член |
Й s . f , Ыі ( с ) .
Доказательство производится в точности іде |
такому яе |
||
плану, |
как |
и доказательство теоремы 2 .2 . гл.Ц. |
Остановимся |
только |
на |
определении и гладкости коэффициентов |
OOL. б разло- |