книги из ГПНТБ / Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие]

существует и единственное

(формальное)

решение

уравнения (33.2)

Г - Z - i

~f о#

-Cu-*- f * & )

d i

'U C rjt)

г

2 Г - «

iF - alttu

<?пч'

к =■-=**

Введем теперь

пространство

И

С^ -)

-

Н

полагая

J

И(I S ,I,A ~ i

L (Ь*-+l& r) S I ІКІ&Г

J 2- .

1

к * -«о

(Поскольку функции

-іѴ

*.

К«'в/ і

і ( .

являются

собственными

£

J

функциями для оператора - £ , г -

одномерного положительного one-

эквивалентна норме,

введенной в г л .І).

Теперь из общей теории следует (что впрочем нетрудно

показать и непосредственно) что если

f f a - k )

f~H s~i, i

<<

я Л ± І ЩІСХІ 0 4 4

, к. = 0, 4 L, i 2, .. .

, то

существует

и

приток единственное

решение и р - Ц $ і і / с<

уравнения (33 .2)

Отметим такте,

что как видно на этом простом частном слу­

чае, полюса функции

Ъ (&) могут быть расположены весьма

про­

извольно на комплексной плоскости. Они

могут быть

вещественные

(при А - О )

и комплексные

при

# £ 0

х)„ полюса

могут распо-

х)

чисто мнимые«

і

'но не

лагаться

как угодно

близко

друг к другу (если число |Q| мало)

и как угодно

далеко

(если

число

]я]

велико).

Из

общей

теории

известно,

что

в каждом круге конечного

ло

полюсов функции

"Ь*1[Z )

. из

приведенного примера видно,

что

это число может быть любым четным числом.

Получим в заключение асимптотическое разложение решения

уравнения

(3 3 .2 ). Поскольку

все

полюса, кроме нулевого, функциі

-

простые,

асимптотический

ряд есть разложение по плос­

ким волнам

t

f

O

Oto - ir -)t b o +=

О и - е .

к = -о *

к*О

В

частности,

если

$ 11 О ,

то

это

разложение

принимает

совсем

простой вид

;

+

К. *-

с ъ с п с * * * * )

х

к.*с>

і

) Оператор Лапласа на цилиндре

С ^ X ІЯ ^

^______ _ _ _ • Рассмотрим

уравнение

Лапласа

на цилиндре ^основанием которрхр служит

^

-мерная сфера

г

г-

*

(35,2)

Здесь

Л

-оператор

Лапласа на

(единичной) сфере

S

Н г К +

М л

=■•$•

( 3 6

. 2 )

н а ед и н и ч н о й с ф е р е

S

. И з в е с т н о ( с м . , н а п р и м е р , [ ^ ] ) , ч т о

ние

= - к .( к т п - А )

. Р а зл о ж и м

т е п е р ь ф у н к ц и и - f C ^ y

и и С < і У в р я д п о с о б с т в е н н ы м ф у н к ц и я м

-+

і а Ы і і ) ^

2Г uicCZ)

-f oo

l i z ' Z - j -

ZL

Ь-ысО*-)

1

к - o e

Т о г д а с е м е й с т в о ( 3 6 . 2 ) п е р е й д е т в с е м е й с т в о а л г е б р а и ч е с ­

к и х у р а в н е н и й

( i z -

к* * ■ * * - * ) ) U

fa . (Z )t

u M ) - _ l —

(

- * t ^

с/г-

если <*

t - ^ C M n - 4 . )

; Н Ш.-0 , t l , ± J j . - . ‘ .

Т ак и м о б р а з о м , мы п о к а з а л и , ч т о t>_ , f £ ) е с т ь м ер ом о рф м ая

ф ун к ц и я

1

t

■

TT’( S J

= F K,

--------------------

к. 0 + n~l ) r

<

г д е ч е р е з

F

о б о з н а ч е н д и ск р етн ы Гі [ J . )

- о п е р а т о р Ф ур ье н а сф е р е

Ъ Ч С * )

. Мы

в и д и м ,

ч т о ф у н к ц и я Ѣ '!С 2-) с у т ь

м ер о м о р ф н ая ф унк

ц и я с в е щ е ст в е н н ы м и п о л и с а м и

2

-

-±

м и - і )

п р о ст ы м и д л я К

ф

О

и п о л ю со м г — О

с к р а т н о с т ь ю 2 . И н т е р е с —

с

*"■

но о т м е т и т ь , ч т о пр и у в е л и ч е н и и р а з м е р н о с т и сф ер ы

п о л ю с а

ф у н к ц и и Ъ ~‘ ( і )

у х о д я т в б е с к о н е ч н о с т ь ( п о в е щ е с т в е н н о й о с и ) ,

т а к ч т о

д л я

к р у г а

п р о и з в о л ь н о б о л ь ш о г о

р а д и у с а

Л і

можно п о д о ­

б р а т ь н а с т о л ь к о бо л ь ш о е ч и с л о Я - Я ( Н ) , ч т о в с е у р а в н е н и я

( 3 5 . 2 ) с

и .>

Я

б у д у т

о д н о з н а ч н о р азр еш и м ы при* в с е х

Ы- <с М

К(тгЬ)

подягармонического уравнения на цилиндре

С -

к

*

4 & , і г ) .

(3 7 '2)

Переходя к преобразованию Фурье по переменной

"t и разла-

гая в ряд Фурье функции и

и j

(х,і ) по переменной д.

имеет полюса

I =

і

I к

.■*. ^

с кратностями,

равными

ч

и полюс

£ = -0 с кратностью Aw-

Решение

уравнения (3-?-2) дается

формулой

+ «<з

<Ц(Х,±) = - 1 - 7

{

р - 2

+

J т

■> с

~ ^ —

/г-2- к О 14 г

J е

иС*(Ь)

+ 2Г o x t +

р

А»- !

Hz-/

je .

* '7 0

W

Р-шч Cé),

ПОЛИНОМЫ от

Т

а

РЛм. 4

№

-

полином

от "і степени

Д м - d. .

J ) Уравнение теплопроводности. Рассмотрим квазиэллиптичес­

кое

уравнение

рода 2

Э и .

И :

■і CLz t-

(38.2)

Здесь

а

-

вещественное

число и

!Ь\

£

А-

,

(39.2)

Соответствующее

семейство

имеет

вид

(

t

-

k-z a z e

1* J U K ,(Z)

=

■{-“'С?) _

Отсюда видно,

что функция

имеет

простые

полюса, рас-

положенные

на

луче

а

t

і

-

ö

(40.2)

и,

в силу

условия

(3 9 .2 ),

эти

полюса расположены в правой полу­

плоскости

в

точках

пересечения

прямой

(40 .2) и

семейства кон­

центрических

окружностей

\ і \

-

as- Ісг е 1®

Отсюда следует,

что

при

^

Л*1

к£&54J ^

У- о . Ц, . -

решение задачи

(3 8 .2 )

дается

формулой

.t ..

=J€

k

а--& г& о v

2-f

--•=*

— -------------TZ

e

llC x tb )

^ 2—

-

а* кг е.1'Ч

One,

e

с о в

Д ля

у р а в н е н и я

(38 .2) с п р а в е д л и в ы

вы воды

о п о в е д е н и и полю ­

при

и з м е н е н и и

ч и с л а

Л

,

у к а з а н н ы е

в

п . а ) .

В ч а с т н о с т и ,

можно

в с е г д а

в з я т ь

н а с т о л ь к о

бол ьш ое

ч и с л о

Q

,

ч т о б ы

у р а в н е ­

н и е

(38.2) бы ло р а зр е ш и м о д л я

- f f r И

А

с

любым

ч и с л о м

A - A Ot

е ) Н а р а с п о л о ж е н и е п о л ю с о в в л и я е т и п о к а з а т е л ь

. Р а с ­

с м о т р и м , н а п р и м е р , к в а з и ь л л и п т и ч е с к о е у р а в н е н и е р о д а

4 щ.

âU.

9

UL

П о л ю са

діг

7rx H*L-

,

к а к л е г к о

в и д е т ь ,

м ер ом о р ф н ой

ф у н к ц и и

ri>~'C^r)

с у т ь н а т у р а л ь н ы е ч и с л а

2 = .

J c ^

О т сю д а

можно с д е л а т ь в ы в о д ,

ч т о

д л я

л ю б о г о А ф О в с е г д а

мож но

в з я т ь н а с т о л ь к о бо л ь ш о е ч и с л о

%Е ®

) ч т о б ы у р а в н е ­

ние

бы ло

о д и о з н а ;н о

р азр еш и м о в

к л а с с е

U ( -

Н

s , f , A

£

) •

Д о

с и х

пор

м т

р а с с м а т р и в а л и

т о л ь , и

к в а з и э л л и п т и ч е с к и е

у р а в н е н и я

ц е л о г о ( и д аж е ч е т н о г о )

р о д а , ч т о в л е к л о з а с о б о й

р а с п о л о ж е н и е п о л ю с о в , п р и к о т о р о м

р а с с т о я н и е м еж д у д в у м я

З д е с ь ^ ^

И

1! + ■*£*

= j6 c.rt)

, с о о т в е т с т в у ю щ е е а л г е б р а и ч е с к о е с е м е й с т в о и м е е т

в и д

С2

а: 2;)

т а к ч т о п о л ю с а ф у н к ц и и Ъ ~ !( & ) с у т ь

іг- i Y/к/ }

к - о,± d,±£;■ ■■

Г Л А В А

Ш.

f-J

К в а э и э л л и п т и ч е с к и е у р а в н е н и я в п р о с т р а н с т в а х

н а ц и л и н д р е с к р а е м .

§ 2 . К р а е в ы е з а д а ч и д л я у р а в н е н и й с п о с т о я н н ы м и п о t

к о э ф ­

ф и ц и е н т а м и .

1 . Т е о р е м а об и з о м о р ф и з м е .

і с *

2 . А с и м п т о т и ч е с к о е п р е д с т а в л е н и е р е ш е н и я п р и "t

3 . Р е г у л я р н о с т ь .

к о э ф ­

§ 3 * К р а е в ы е з а д а ч и д л я у р а в н е н и й с п ер е м е н н ы м и п о £

ф и ц и е н т а м и .

зам к н у т ы й к р а й

.

В э т о м

с л у ч а е

к в а з и э л л и п т и ч е с к и й

о п е р а т о р !»

п о р я д к а ілс

н а

ц и л и н д р е

С

=

X

* R

•#

fr

' '

[

•

H s ,} -,*

Сс) — 4 Н

(с)

[•

I'

уже

н е б у д е т

ф р е д г о л ь м о в ы м

д а х е

п р и

н е о с о б о м

• н е т р у д н о

F

[

Ы

Iі

п о к а з а т ь , ч т о е г о я д р о б у д е т и м е т ь б е с к о н е ч н у ю р а з м е р н о с т ь .

'

Для

у с т р а н е н и я

э т о й н е о д н о з н а ч н о с т и

мы ,

к а к

э т о

о б ы ч н о

и - д е л а -

і

е т с я в э л л и п т и ч е с к о й т е о р и и , р а с с м о т р и м п а р у ( ѣ / & ) , г д е 5 “ [

]і

с о в о к у п н о с т ь н е к о т о р ы х г р а н и ч н ы х о п е р а т о р о в ^ п о р я д к о в

|>

( з д е с ь дС-- d X f / R

) и н а л о ж и м т а к и е у с л о в и я н а э т у п а р у ,ч т о б ы !

п о л уч ен н ы й о п е р а т о р .

і

С

в)

н S,г,* Сс) - *

Cc)@Hs-6r j.Г,*(*с)

уже

был

ф р е д г о л ь м о в ы м .

§ I . О с н о в н ы е о п р е д е л е н и я

I * Ф у н к ц и о н а л ь н ы е п р о с т р а н с т в а . П у с т ь X - г л а д к о е м н о г о ­

о б р а з и е с к р а е м д X

. К а к и в г л а в е П ч е р е з С

мы б у д е м о б о ­

з н а ч а т ь

ц и л и н д р

X

'

ß

*■1 [-■ *>,=

4 о

- . X).

Е с л и

в в е с т и в

прямом п р о и з в е д е н и и

к о о р д и н а т ы

( р с , і )

;

x f -

) ( , -t

е Ik 1