книги из ГПНТБ / Скворцов, М. И. Теория и практика решения задач кораблевождения с учетом влияния систематических ошибок учебник

правляться не выбранным из таблицы или измеренным с помощью наклономера, а любым произвольным значением поправки за наклонение видимого горизонта; если место корабля определяется по пеленгам трех ориентиров и ис­ ключается повторяющаяся ошибка измерения пеленгов, то в результаты измерений может вводиться произвольное значение поправки компаса и т. д.

Итак, в уравнения поправок в качестве неизвестных помимо поправок к приближенным значениям «основных»

искомых величин включаются оценки —Z\, —z2, ..., —zr,

..., —zs поправок к произвольным приближенным значе­

с обычными предписаниями способа наименьших квадра­

40

Отметим наиболее существенные особенности этого ре­ шения.

41

1. При вычислении свободных членов уравнении попра­ вок мы задаемся произвольными приближенными значе­ ниями всех искомых величин, в том числе и амплитуд по­ правок, предназначенных для компенсации систематиче­ ских ошибок, включенных в число искомых величин. С точ­ ностью до величин второго порядка малости вектор 5в оценок искомых величин не зависит от тех произвольных приближенных значений, которые при вычислениях при­ даны компонентам вектора ij2 np. Информация о значениях амплитуд поправок, предназначенных для компенсации си­ стематических ошибок, которые были найдены при преды­ дущих наблюдениях, нами не используется. Она нам не нужна. Таким образом, применение способа В равносиль­ но обычно не оговариваемому предположению, что все на­ блюдения, выполненные ранее для определения этих ам­ плитуд, считаются не заслуживающими доверия.

реляционной матрицы К~ , которой согласно формулам

(1.18) и (1.20) характеризуются ошибки вектора оценок искомых величин, происходящие от влияния этой система­ тической ошибки, оказываются равными нулю. Действи­ тельно, если применить общее правило (1.20) к оценива­

число искомых величин может привести к тому, что систе­ ма нормальных уравнений (1.102) окажется вовсе це

42

имеющей единственного конечного решения. Это происхо­ дит, например, при попытке исключить постоянную систе­ матическую ошибку пеленгования при определении места корабля по пеленгам нескольких (более двух) ориентиров в случае неопределенности, когда все ориентиры и ко­ рабль находятся на одной окружности (§ 3.6). Нетрудно убедиться, что подобные ситуации неопределенности возни­ кают в тех, и только тех случаях, когда рассматриваемая систематическая ошибка до ее включения в число искомых величин не могла вызывать несогласия результатов изме­ рений (т. е. когда любое изменение амплитуды этой систе­ матической ошибки не ведет к изменению отклонений Vi результатов измерений от их уравновешенных значений).

Чтобы доказать правильность этого утверждения, об­

ко тогда, когда ранг матрицы А меньше числа т неизве­ стных величин.

Предположим, что до включения амплитуды г-н систе­ матической ошибки в число искомых величин система нор­

имела единственное конечное решение (для этого необхо­ димо, чтобы ранг матрицы А был равен числу т искомых

Согласно приведенной теореме это возможно только тогда, когда ранг блочной матрицы 'Л 2 = |1/4|/г;.|| мень­ ше числа т-\-\, что, в свою очередь, влечет за собой ра­ венство нулю главного определителя системы нормальных уравнений (1.102) и отсутствие конечного ее решения.

43

имеет конечного решения, это означает, что систематиче­ ская ошибка, амплитуда которой включена в число иско­ мых величин, при обработке наблюдений способом А не может быть причиной несогласия результатов измерений.

Поскольку влияние случайных ошибок на точность оце­ нок искомых величин может быть уменьшено увеличением числа измерений с последующим осреднением их резуль­ татов, а также принимая во внимание, что способ В часто сводится к простым и удобным графическим построениям, ему нередко отдают предпочтение. Количественную харак­ теристику относительных достоинств способов А и В дает сравнение корреляционных матриц векторов ошибок до­ ставляемых ими оценок искомых величин. Эти корреля­ ционные матрицы можно оценить, пользуясь общими вы­ ражениями (1.94) и (1.105).

Следует иметь в виду, что в общем случае возможно найти такие оценки искомых величин, которые будут обла­ дать дисперсиями меньшими, нежели оценки, доставляе­ мые любым из рассмотренных способов А и В. Действи­ тельно, пусть $д — вектор оценок «основных» искомых ве­ личин, доставляемых способом A; i j B — вектор оценок тех же искомых величин, доставляемых способом В, если в число искомых величин дополнительно включена ампли-

• туда г-й остаточной систематической ошибки. При 5=5А минимальны дисперсии ошибок в оценках искомых вели­ чин, обусловленных влиянием случайных ошибок измере­ ний; при $ = ?в минимальны (равны нулю) дисперсии оши­ бок в оценках искомых величин, обусловленных влиянием рассматриваемой систематической ошибки. Поскольку эти дисперсии являются непрерывными однозначными функ­ циями оценок искомых величин, должны существовать оценки искомых величин, лежащие между оценками, до­ ставляемыми способами А и В, дисперсии ошибок кото-

44

рых, обусловленных совместным влиянием случайных и /'-й систематической ошибок измерений, минимальны. Оты­ скание этих оценок и является решением проблемы обра­ ботки результатов измерений, отягощенных систематиче­ скими ошибками.

Способ С — обработка результатов измерений с уче­ том взаимной зависимости их ошибок, обусловленной влия­ нием остаточных систематических ошибок измерений. Это­ му способу посвящена обширная литература [48, гл. XV, § 6], [19], [32], [37], [41] и т. д. Так как он является частным случаем более общего способа D, рассмотренного ниже,

вводимых в результаты измерении для компенсации систе­ матических ошибок, могут назначаться произвольно, при­ меняя способ С, исправление результатов измерений всеми учитываемыми поправками необходимо осуществлять с наибольшей возможной тщательностью. Как и в спосо­ бе А, в уравнения поправок в качестве неизвестных вклю­ чаются поправки к приближенным значениям только «ос­ новных» искомых величин. Но, поскольку остаточные си­ стематические ошибки являются взаимно коррелирован­ ными случайными величинами, составление системы нор­ мальных уравнений и оценивание корреляционной матри­ цы -вектора оценок искомых величин осуществляются с

ной влиянием остаточных систематических ошибок. В ма­

при классическом применении 'способа наименьших ква­ дратов):

45

ных ошибок измерений, непосредственно наблюденных в специально организованном эксперименте, с последующей экстраполяцией полученных результатов на все измере­ ния, которые предстоит выполнять в будущем. Ясно, что, поскольку условия измерений не остаются постоянными, изменяются систематические ошибки и поправки, которы­

которой, если она диагональна, может производиться по внутреннему согласию результатов измерений и затрудне­ ний не вызывает, должна быть известна корреляционная матрица /С2 вектора амплитуд остаточных систематических ошибок измерений. Как ее оценить? Ответа на этот вопрос способ С не дает.

всегда в первую очередь с наибольшей возможной тща­ тельностью (за исключением случаев, когда обработка на­ блюдений ведется способом В) поправляем показания при­ боров всеми учитываемыми поправками и лишь затем приступаем к дальнейшим вычислениям. Те измерения, из которых в свое время были найдены учитываемые теперь значения поправок, будем называть измерениями первой группы (§ 1.2), а амплитуды этих поправок — счислимыми значениями амплитуд. Вновь выполненные измерения бу­ дем считать измерениями второй группы, включим поправ­ ки к счислимым значениям амплитуд в число искомых ве­ личин и применим к их отысканию алгоритм последова­ тельного уточнения оценок искомых величин. В этом и

46

способе В, а из счнслимых значений их амплитуд. Эти урав­ нения дополняются столькими уравнениями (1.82), сколь­ ко амплитуд поправок включено в число искомых величин. Корреляционную матрицу /(j ошибок этих уравнений сле­

ошибок измерений, не включенных в число искомых вели­ чин. Пример вычислений приведен в § 3.6.

зованием (1.12) оценок искомых величин были минималь­ ны, то придем к тем же нормальным уравнениям (1.122), к каким ведет алгоритм последовательного уточнения -оце­ нок искомых величин, т. е. способ D (учитывая сложность доказательства, мы его приводить не будем). Таким обра­ зом, способ D доставляет нам эффективные оценки иско­ мых величин, обладающие наименьшими дисперсиями по

'сравнению с дисперсиями любых иных оценок искомых ве­ личин.

Сравнение способа D со способами А, В, С приводит к следующим выводам.

1. Если последовательному уточнению подвергаются оценки не всех искомых величин, а только амплитуд по­ правок, вводимых в результаты измерений (полученные из предыдущих измерений оценки остальных искомых ве­ личин полагаются имеющими пренебрежимо малую точ­ ность), то при однократном применении способ D приво­ дит к тому же вектору kD = | оценок «основных»

искомых величин, что и способ С. Действительно, если об­ работка наблюдений ведется способом С, т. е. по системе формул (1.112) — (1.117), то в матричной записи система нормальных уравнении имеет вид

4.7