книги из ГПНТБ / Скворцов, М. И. Теория и практика решения задач кораблевождения с учетом влияния систематических ошибок учебник

называть счислимыми значениями искомых величин, оце­

нена корреляционная матрица Л"г~:

Поставим себе задачу найти такой вектор Х2 =

xj (2) mi поправок к счислимым значениям искомых величин (вторичных поправок к' приближенным значе­ ниям искомых величин), чтобы уравнивание результатов измерений второй группы приводило к тем же оценкам искомых величин, что и совместная обработка измерений первой и второй групп, т. е. чтобы удовлетворялись ма­ тричные равенства

комых величин, найденные в результате обработки изме­

или, принимая во внимание ранее введенные обозначения матриц А2 и L2, в матричной записи

30

Рассмотрим систему нормальных уравнений, которые привели к решению (1.61):

(1.72), получим систему нормальных уравнений, эквива­

ца 7<е~ их ошибок, являющиеся результатами обработки некоторых предыдущих измерений (измерений первой группы), то с учетом выражения (1.67) оценки искомых величин и корреляционной матрицы вектора их ошибок, эквивалентные тем, которые мы получили бы при совмест­ ной обработке измерений первой и второй групп, могут быть найдены применением следующего алгоритма:

Полученный результат можно интерпретировать сле­ дующим образом. Пусть по результатам измерений второй группы составлено п" уравнений поправок, свободные чле­ ны которых вычислены по формуле (1.70), т. е. исходя не

31

из произвольных, а из счнслимых : значении искомых ве­ личин:

~II ^ i * ||л*1 ошибок этих уравнений, определяемых вы­

мально будем считать выражающими результаты некото­

этих уравнений будем считать идентичной корреляционной

вок (Г.'81), (1.82) обычным образом составить и решить систему нормальных уравнений, то, как нетрудно убедить­ ся, она приведет к тем же значениям оценок искомых ве­

ных уравнений поправок вида (1.82) к системе основных уравнений (1.81)? Эти дополнительные уравнения выра­ жают уверенность в том, что справедливы следующие утверждения:

— счислимые значения искомых величин, являющиеся результатами обработки выполненных ранее измерений,

мерений привела к оценке Xj поправки к счислимому зна­

трицы вектора ошибок, с которыми априори, до того как

32

выполнены измерения второй группы, мы можем ожидать,

что все поправки Xj к счислпмым значениям искомых ве­ личин окажутся равными пулю (иначе говоря, матрица К\ есть корреляционная матрица вектора ошибок, с которы­ ми можно полагать счислимые значения искомых величин равными математическим ожиданиям искомых величин).

Пример 1.1. Ведется артиллерийская стрельба по точечной цели. Вы­ пущен один снаряд, который упал с отклонением по дальности /]. Какая

поправка х должна быть введена в установку прицела, если oi — сред­ няя квадратпческая величина суммы ошибок измерения расстояния до

Если в прицел будет введена поправка х, то это означает, что выработанную ранее схемой ПУС установку прицела мы сочли отяго­ щенной той же по величине ошибкой. Это выражается еще одним уравнением поправок вида (1.82);

X = V2.

Корреляционная матрица его ошибок и матрица Вх суть

Решение (1.78) принимает вид

~ ^ — М

Pi-+ Pi

В соответствии с выражением (1.80) априорная оценка корреляционной матрицы его ошибок (в данном случае она представляет собой число — дисперсию ошибки скорректированной установки прицела) ра^вна

К~ = о», ( В 1 + В,)-' = 1: (а + Р2).

Перейдем к апостериорному ^ценива.нию' корреляцион­ ной матрицы вектора оценок искомых величин.

Введем обозначения:

V\ — вектор отклонений v'. в уравнениях поправок (1.82);

V2~ вектор отклонений v-, в уравнениях поправок (1.81).

Тогда формула для апостериорного оценивания диспер­ сии ошибки измерения, имеющего вес, равный единице, примет вид

где я * — ч и с л о уравнений поправок (1.82); а" — число уравнений поправок (1.81).

В случае когда матрица Р2 диагональна, а число а" уравнений поправок (К81) заметно превышает число in искомых величин, практически более удобным оказывает­ ся оценивание дисперсии а( 2 ( ) только через отклонения V{ уравнений (1.81). Тогда

мых величин может быть представлена как результат об­ работки некоторых воображаемых измерений первой груп­

ния первой и второй групп обрабатывались совместно, то дисперсию ошибки измерения, имеющего вес, равный еди­

вленная по отклонениям первой группы.

34

выдающиеся советские ученые — моряки и геодезисты про­ фессора В. В. Кавранский, А. С. Чеботарев, Н. Н. Мату-

ний [79, стр. 31]. В течение последних лет проблеме систе­ матических ошибок был посвящен ряд серьезных исследо­

положение, что в частном случае, когда число искомых

оценок искомых величин, обладающих наименьшими, ди­ сперсиями, должен представлять собой линейную комби­ нацию векторов оценок искомых величин, доставляемых способом наименьших квадратов и способом исключения систематической ошибки. Впоследствии эта идея, допол­ ненная соображением М. М. Лескова о том, что эффектив­ ная оценка исключаемой -систематической ошибки должна отыскиваться как среднее весовое из двух ее оценок — найденной из предыдущих наблюдений и доставляемой спо­

измерений, было предложено В. Т. Кондрашихиным [37], [38], В. А. Коугия [41], В. М. Полянским [58] и другими авторами.

Способы обработки результатов измерений, отягощен­ ных систематическими ошибками, можно разделить на че­ тыре основные группы.

Способ А — способ наименьших квадратов в его клас­ сическом виде (§ 1.2). При его применении мы ограничи­

и полагаем, что измерения отягощены только случайными ошибками, т. е. матрица КА = М (ДДт ) вектора истинных остаточных ошибок диагональна.

Нельзя -не видеть произвольности и условности этих

36

предположений. Так, при определении места корабля по результатам практически одновременных измерений двух навигационных параметров мы считаем «основными» иско­ мыми величинами географические координаты, при опре­ делении места по ряду разновременных измерений навига­ ционных параметров — также . и проекции вектора скоро­ сти течения, а иногда и их производные по времени, при определении маневренных элементов корабля на мерной линии — еще и поправку лага и аванс. Однако будем счи­ тать, что в каждом конкретном случае молено конкретно указать смысл, который придается понятию «основные ис­ комые величины».

Не меньше произвола и в предпололсении, что корреля­ ционная матрица АГД является диагональной. Как видно

из выражения (1.32), каледая из компонентов At вектора Д слагается из собственно ошибки измерения Д^ ошибки аппроксимации Дг* и ошибки Д™( возникающей вслед­ ствие случайных отклонений искомых величин от их ма­ тематических ожиданий. Стремясь уменьшить влияние слу­ чайных ошибок, мы нередко выполняем каждое измерение по нескольку раз и подставляем в выражение (1.28) сво­ бодного члена уравнения поправок среднее арифметиче­ ское результатов измерений. При этом дисперсии случай­ ных ошибок свободных членов уравнений поправок умень­ шаются пропорционально числу осредияемых результатов измерений, систематические л<е ошибки остаются неизмен­ ными и начинают преобладать по величине над случайны­ ми даже в тех случаях, когда такое преобладание вначале отсутствовало. Что же касается ошибок Д/ и Д " , то основании для предположения о диагональное™ их кор­ реляционных, матриц имеется еще меньше.

способа наименьших квадратов предположение о диаго-

37

Рассмотрим, к каким искажениям вектора \ оценок ис­ комых величин будут вести эти предположения в случаях, когда в действительности условие (1.89) не выполняется. Если поправки, вводимые в результаты измерений, явля­ ются несмещенными оценками компенсируемых ими си­ стематических ошибок, то в соответствии со сказанным в § 1.1 о свойствах остаточных систематических ошибок

Этот результат имеетпринципиальное значение, по­ скольку показывает, что способ наименьших квадратов, по праву считающийся одним из основных способов обработ­ ки результатов измерений и познания количественных за­ кономерностей окружающего нас реального мира, способен доставлять несмещенные, не искаженные систематическими погрешностями сведения об этих закономерностях не только в тех случаях, когда выполнены условия Гаусса — Колмо­ горова, но и в тех, когда считать остаточные систематиче­ ские ошибки пренебрежимо малыми нельзя.

Чтобы судить о том, как влияет пренебрежение систе­ матическими ошибками на оценку корреляционной матри­ цы вектора \ оценок искомых величин, обратимся к выра­ жению (1.14). Учитывая соотношения (1.35), (1.37) и то •обстоятельство, что матрица £п р приближенных значений искомых величин — не случайная матрица, а также то, что, как видно из выражений (1.12) и (1.43), при пользовании способом наименьших квадратов

38

Здесь матрица GFK7,(GFy отражает то влияние оста­ точных систематических ошибок, которым, производя урав­ нивание результатов наблюдений способом наименьших квадратов, мы пренебрегаем. Если надо оценить влияние, которое оказывает на точность оценок искомых величин некоторая конкретная систематическая ошибка, удобно пользоваться выражениями (1.19) и (1.20). Пример при­

иногда именуемые способами замещения, компенсации по­ грешностей по знаку и противопоставления [51, стр. 253— 257], [52, стр. 167—168]. Пользоваться способом В для об­ работки наблюдений, отягощенных систематическими ошиб­ ками, рекомендовали А. П. Ющенко [82, стр. 108], В. Ф. Дья­ конов [25] и другие авторы. Единственное его отличие от способа А заключается в том, что амплитуды поправок, предназначенных для компенсации систематических оши­ бок, включаются в число искомых величин, причем воз­ можные значения этих амплитуд какими-либо предположе­

искомых величин, которые при вычислении свободных чле­ нов уравнений поправок подставляются в формулу (1.28). Это полностью справедливо и по отношению к амплиту­ дам поправок, предназначенных для компенсации систе­ матических ошибок, включаемым в число искомых вели­ чин. Какие бы значения этим амплитудам ни были при­ даны при вычислении поправок, которыми исправляются результаты измерений, вводимые в выражение -(1.28), оценки искомых величин, доставляемые способом В, изме­ няться не будут. Следовательно, поправки, которыми ис­ правляются результаты измерений, могут вычисляться ис­ ходя из любых произвольных приближенных значений этих амплитуд. Например, если место корабля определяется по

39