книги из ГПНТБ / Скворцов, М. И. Теория и практика решения задач кораблевождения с учетом влияния систематических ошибок учебник

Величина а-,) называется коэффициентом при искомой величине Л'3- в i-м уравнении поправок, величина U — сво­ бодным членом. 1-го уравнения поправок.

Величины 5i, 5j, • •., Sm> входящие в уравнения (1.21) и (1.23), в общем случае являются случайными величина­ м и — случайными функциями времени и некоторых других параметров. Задачей обработки наблюдений следует счи­ тать оценивание математических ожиданий этих случай­ ных величин. Поэтому условимся, что символами %\, ... ,

kj, • 5m нами обозначены оценки математических ожида­ ний случайных величин £ь ... , ?j, ... , U - Все последующие

Тогда вместо уравнения (1.23) можно рассматривать'экви­ валентное ему- (с точностью до величин второго порядка малости) уравнение, которое принято, называть у р а в н е ­ н и е м о ш и б о к:

h - ( « , Л + ••• + atJXj + ... + ашхт) = Д„ (1.31)

20

измерения. Но в действительности она имеет более слож­

возникающая вследствие случайных отклонений величин^,

... , Sj, ..., jj„, от их математических ожиданий. Каждая из них может быть представлена в виде суммы элементарных ошибок, которые в зависимости от того, какая совокуп­ ность измерений рассматривается, могут проявлять свой­ ства систематических или случайных ошибок.

£ = [[£..|[т 1 —вектор оценок искомых величин;

X = \\Xj\\ml — вектор оценок поправок к произволь-

'ным приближенным значениям иско­

21

Тогда система из п уравнении поправок (1.26) может быть записана в виде одного матричного уравнения

чиной, не является таковой и величина ^ П р, которую при обработке наблюдений выбирают произвольно, исходя из

ставленных по их результатам, было не. меньше числа m искомых величин);

— ранг матрицы А коэффициентов при неизвестных в уравнениях поправок равен числу m искомых величин.

22

Если второе условие выполнено, то может быть най­

— компоненты вектора должны быть несмещенными оценками искомых величин, т. е. должно выполняться ра­ венство

ваемых нами ошибок. Все выводы этого и предыдущего параграфов справедливы при любых распределениях этих ошибок, если только их дисперсии конечны. Теперь же возникла необходимость в таком предположении, посколь­ ку способ удовлетворения второго из перечисленных тре­ бованийсущественно зависит от того, каковы распреде­ ления вероятностей ошибок hi. В теории способа наимень­ ших квадратов доказывается, что в частном (но имеющем наибольшее практическое значение) случае, когда эти рас­ пределения нормальны, второе требование удовлетворяет­

Нетрудно показать, что при этом удовлетворяется и первое требование. Действительно,, из выражения (1.42) следует, что

23

откуда, учитывая равенства (1.37), (1.39), (1.35) и (1.36), получим

симметрические, а вектор £пр не случаен, следует, что кор­ реляционная матрица К~ вектора % оценок искомых ве­ личин равна

Если в выражение (1.46) подставляется величина (дисперсия ошибки измерения, вес которого принят рав­ ным единице), оцененная при обработке некоторых преды­ дущих измерений, то формула (1.46) выражает действие, которое называется априорным (от латинского а priori — изначально, до опыта) оцениванием корреляционной ма­ трицы К~. Но может быть выполнено и апостериорное (от

латинского а posteriori — из последующего, после опыта)

Отклонения Vi результатов измерений от уравновешен­ ных значений характеризуют разброс, разногласие в ре-

24

зультатах измерений. Если они невелики (величина мала), говорят о хорошем внутреннем согласии результа­ тов измерений, в противном случае — о плохом согласии.

Поэтому апостериорное оценивание величины о( 1 ) часто называют также оцениванием точности измерений по их внутреннему согласию. Его частным случаем является оценивание точности непосредственных измерений иско­ мой величины по отклонениям их результатов от среднего арифметического значения.

Выше мы говорили, что изучение функций /г (а, |3 . . . ) , т. е. -характера функциональных зависимостей системати­ ческих ошибок от параметров, характеризующих условия измерений, является необходимым условием повышения

результатов- исследуемых измерений с результатами бо­ лее.точных (эталонных) измерений, разности этих резуль­ татов, условно именуемые наблюденными значениями ис­

(у эталонных измерений эти отклонения условно можно считать равными нулю).

Формулы (1.40), (1.43), (1.46) — (1.48) представляют собой матричную запись алгоритма так называемого обоб­ щенного способа наименьших квадратов, при нормальном распределении ошибок измерений дающего эффективные оценки искомых величин как в тех случаях, когда эти ошибки являются взаимно независимыми случайными ве­ личинами, так и в тех, когда они взаимно зависимы. При его обосновании используется только часть условий Гаус­ са—Колмогорова (условия нормальности распределений, равенства нулю математических ожиданий всех остаточ­ ных ошибок и конечности их дисперсий). Если, кроме того, полагается удовлетворенным и условие взаимной некор­ релированности двух любых остаточных ошибок (предпо­ лагается, что систематические ошибки отсутствуют, т. е. остаточные ошибки случайны и, следовательно, корреля­ ционная матрица АГД днагональна), то этот алгоритм принимает .вид своего частного случая — классического

25

способа наименьших квадратов, преимуществами которого являются однообразие и удобство вычислении, а также возможность постоянного контроля их правильности. Эти преимущества и то обстоятельство, что обнаружить недиагональность матрицы , т. е. несоблюдение одного из

условий Гаусса — Колмогорова, обычно очень трудно, при­ вели к тому, что способ наименьших квадратов в его клас­ сическом виде нередко применяется и в тех случаях, когда условия, на котсрых зиждется его обоснование, не выпол­ нены.

Коль скоро матрица /Сд диагональна, ее обращение

существенно упрощается. Как следует из выражений (1.40) и (3.23), в этом случае матрица Р также диагональна (она называется матрицей весов уравнений поправок). Ее г'-й

Значительно облегчается и составление системы урав­ нений ("1.42). Взамен ранее применявшихся введем новые обозначения коэффициентов при искомых величинах в уравнениях поправок:

26

Тогда матричному уравнению (1.42) будет соответст­ вовать система из т линейных уравнений с т неизвестны­

Наиболее удобно решение системы нормальных урав­ нений по схеме Гаусса. При этом одновременно произво­ дится обращение матрицы АТ РА> т - е - вычисление эле­ ментов матрицы (Ат РА)-1 • Контрольные суммы

[pas] =/? 1 « 1 s 1 4- / W ? 2 + ••• + / W ? n ;

'. (1-54)

[phs] = p^Sj 4- p2h2s2 4- ... -4- pnhnsn

служат для контроля правильности вычислений. Полученные при решении системы нормальных уравне­

ний оценки хи Хо, .... x-j xm искомых величин подстав­ ляются в уравнения поправок (1.26): вычисляются откло­

ц корреляционной матрицы К~ . Пример этих вычислений

свободный член уравнения поправок вычисляется по фор­ муле (1.28) как разность измеренного (исправленного всеми учитываемыми поправками) и вычисленного (исходя

27"

из приближенных значений искомых величин) значений измеряемой величины. В общепринятых схемах решения нормальных уравнений свободному члену приписывается противоположный знак. Поэтому впредь будем обозна­ чать

пр>? 2 пр> •••> %j пр> •••» %т пр). (1.56)

Алгоритм последовательного уточнения оценок иско­ мых величин представляет собой одну из разновидностей способа двухгруппового решения систем нормальных урав­ нений, разработанного Бесселем по идее Гаусса. Иногда этот алгоритм называется также объединением распреде­ лений [16], линейным динамическим фильтром или комплексированием измерений. Но выражение «последова­ тельное уточнение оценокискомых величин» лучше отра­ жает его сущность.

Пусть измерения выполнялись группами. Сначала вы­

ляются взаимно некоррелированными случайными величи­

28

где

Обозначим символом Л блочную матрицу коэффициен­ тов при неизвестных, символом L — блочную матрицу сво­ бодных членов совокупной системы уравнений поправок:

Предположим теперь, что обработка результатов изме­ рений первой и"второй групп ведется раздельно. По ре­ зультатам измерений первой группы составлены нормаль­ ные уравнения, найдены вектор *.#i=='| xj^)\m\ первич­ ных поправок к приближенным значениям искомых вели­ чин и вектор £с = || ZjC \\п1 оценок, которые мы будем

29