книги из ГПНТБ / Скворцов, М. И. Теория и практика решения задач кораблевождения с учетом влияния систематических ошибок учебник

После введения поправок результаты измерений оказы­ ваются t отягощенными остаточными систематическими ошибками. Величина r-й остаточной систематической ошиб­ ки в результате /-го измерения равна

чайной величиной уже потому, что оценка £г как функция результатов некоторых предыдущих измерений, неизбеж­ но отягощенных случайными ошибками, есть случайная ве­ личина. Естественным является предъявить требование,

практике назначения поправок, служащих для компенса­ ции систематических ошибок, это требование, как правило, удовлетворяется. Для отыскания поправок применяется способ наименьших квадратов, а он, как известно, дает несмещенные оценки искомых величин. Но тогда, как не­

же амплитуды остаточной систематической ошибки в об­ щем случае отлична от нуля, поскольку наблюдения, из

1 Несмещенной называется такая оценка искомой величины, мате­ матическое ожидание которой равно истинному значению искомой величины.

10

где о2—дисперсия амплитуды zT рассматриваемой оста­ точной систематической ошибки.

В некоторых случаях для вычисления элементов, ма­ трицы Кг удобно пользоваться правилом, сформулирован- 'ным В. Ф. Лукьяновым [49]: корреляционный момент двух случайных величин равен сумме дисперсий их общих сла­ гаемых.

Из выражения (1.5) видно, что коэффициент корреля­ ции между величинами, которые принимает остаточная систематическая ошибка в двух любых измерениях одной совокупности, равен единице ( + 1 или — 1) . В этом со­ стоит наиболее существен«ое отлимие систематических оши­ бок от случайных (коэффициент корреляции между слу­ чайными ошибками двух любых измерений одной сово­ купности, как видно из приведенного выше определения случайных ошибок, равен нулю). Расположив элементар­ ные ошибки измерений в порядке возрастания коэффи­ циента корреляции между их величинами в двух любых измерениях одной совокупности, мы увидим, что случай­ ные и систематические ошибки являются предельными чле­

нуля, и от единицы, принято называть зависимыми. Чет­ ких границ, которые отделяли бы одни ошибки от других, не существует: случайные и систематические ошибки яв­ ляются предельными частными случаями зависимых.

Говорить о том, что та или иная ошибка является слу­ чайной, зависимой или систематической имеет смысл толь­ ко тогда, когда одновременно указывается, в какой со­ вокупности измерений рассматриваются свойства этой ошибки. Одна и та же ошибка в одной совокупности изме­

11

ракет от цели и выступает как систематическая ошибка стрельбы. Если несколько кораблей независимо один от другого ведут стрельбу по одной цели, то ошибки курсоуказания каждого из них ведут к различным, взаимно не­ зависимым отклонениям точек падения ракет от цели и выступают как случайные ошибки.

Нельзя отождествлять термины «случайная ошибка» и , «ошибка измерений, являющаяся случайной величиной». Случайными называются не всякие ошибки, являющиеся Случайными величинами, а лишь те из них, которые в рас­ сматриваемой совокупности измерений взаимно независи­ мы (некоррелированы). Систематические ошибки — слу­ чайные величины, хотя случайными ошибками не являют­

Можно предположить, |Что встречающееся во многих по­ собиях по теории ошибок противопоставление случайных ошибок, как обладающих свойствами случайных величин, систематическим ошибкам, как якобы этими свойствами не обладающим, явилось следствием несовершенства термино­ логии, приводившего к невольной подмене понятий (ото­ ждествлению понятий «случайная ошибка» и «ошибка, яв­ ляющаяся случайной величиной»). С этой точки зрения термины, которыми пользовался Гаусс, были более удач­ ными. Он подразделял ошибки измерений на правильные (regulare, regelmaJHge) и неправильные (irregulare, unregelniafige). Однако мы будем и впредь применять ставшие уже привычными современные термины.

Каноническое представление ошибок измерений. Из выражений (1.1) и (1.3) видно, что систематические ошиб­ ки измерений являются элементарными случайными функ­ циями (§ 3.1) параметров, характеризующих условия из­ мерений. Сопоставим это обстоятельство с гипотезой об аддитивной структуре ошибок измерений [27, стр. 271—274], [32, стр. 9], [50, стр. 116]. Согласно этой гипотезе ошибки измерений представляют собой суммы большого числа элементарных ошибок разного происхождения, чем объ­ ясняется близость распределений реально наблюдаемых ошибок к нормальному распределению. Обратим внима­ ние на другой аспект проблемы. Обозначим истинную ошибку г'-го измерения

12

функцию параметров, характеризующих условия измере­ ний. В соответствии с теоремой о каноническом представ­ лении случайной функции [61, гл. 6], [11, гл. 16] она может быть сколь угодно большим числом способов представлена

брав достаточно большое число s, можно сколь угодно большим числом способов представить ее в виде (1.7) та­ ким образом, чтобы дисперсия остаточного члена oi была меньше любого наперед заданного положительного числа. Это приводит к следующей формулировке утверждения об аддитивной структуре ошибок измерений. Если дисперсия истинной ошибки в рассматриваемой совокупности изме­ рений конечна, то с любой наперед заданной точностью эта ошибка может быть представлена в виде конечного числа систематических ошибок.

Обычно нас удовлетворяют не любые представления ошибок измерений в виде (1.7), а лишь те из них, которые

ние того же коэффициента в разложении ошибок другой совокупности измерений, отделенной от первой некоторым промежутком времени. Если можно приближенно считать, что справедливо равенство

причем дисперсия ошибки, с какой оно удовлетворяется, доступна оцениванию, то это означает принципиальную возможность, найдя из результатов первых измерений

оценку Сг этого коэффициента, компенсировать r-ю систе-

13

ошибок, с какими удовлетворяются равенства (1.8), были минимальными, составляет одну из важнейших задач тео­ рии и практики измерений. Практически оправдано введе­ ние в результаты измерений лишь тех поправок, в отно­ шении которых с удовлетворяющей нас точностью требо­

ния (1.7), мы уже не можем считать остаточный член Зг пренебрежимо малым.

Учитывая обозначения (1.1) — (1.3) и (1.7), можно представить в виде канонического разложения и истинную

но было бы назвать остаточной ошибкой. Но этот термин уже применяется для обозначения другого понятия. По­ этому будем называть ее пост-остаточной ошибкой /-го

Будем считать, что при любых г и i случайные вели­ чины zT и S; взаимно независимы. Тогда в соответствии с

14

выражением (3.32) корреляционная матрица вектора Д равна

днагональна), то их можно называть случайными ошиб­ ками измерений, в противном случае — зависимыми ошиб­ ками. Но в обоих случаях величина В; является случайной функцией параметров, характеризующих условия измере­ ний, и-.также может быть представлена в виде (Г.7). Та­ ким образом, называть случайные и зависимые ошибки

электронов, условно называются атомами (неделимыми). Столь же условно и выражение «измерения, свободные от систематических ошибок». Его можно понимать только в переносном смысле для обозначения предположения, что компоненты векгора Д в рассматриваемой совокупности из­ мерении обладают свойствами, мало отличающимися от свойств случайных ошибок.

Сложная структура случайных ошибок любых измере­ ний проявляется ощутимо каждый раз, как обнаруживает­ ся новый, дотоле неизвестный источник систематических ошибок. Тогда оказывается, что вновь открытые система­ тические ошибки являются составными частями тех оши­ бок, которые ранее считались случайными, т. е. элемен­ тарными. Этот процесс выделения систематических оши­ бок из случайных является одной из необходимых предпо­ сылок повышения точности измерений. Чем больших успе­ хов мы добиваемся на этом пути, тем большую практи­ ческую значимость приобретает изучение свойств систе­ матических ошибок.

Влияние систематических ошибок измерений на точ­

ность оценок искомых величин. Пусть вектор X = || jc |j„a

15

оценок искомых величин отыскивается как произведение матриц:

циально организованном эксперименте. Истинная ошибка каждого измерения оценивается как разность его резуль­ тата и эталонного значения измеряемой величины (ре­ зультата более точного измерения), которое принимается за истинное. Получив таким образом ряд наблюденных значений истинных ошибок, вычисляют их корреляцион­ ные моменты. Это осуществляется способами, общеприня­ тыми в математической статистике и описанными во мно­ гих пособиях, например [11, § 14.6], [39, § 10]. Считая, что корреляционные матрицы однотипных измерений в сход­ ных условиях примерно одинаковы, распространяют затем

ошибки, что приводит к выражению (1.11). Этот путь несравненно более прост и удобен, поскольку не требует проведения специальных сложных экспериментов и экс­ траполяции их результатов на все измерения, какие пред­ стоит выполнять в будущем. Чтобы получить возможность

16

идти этим путем, надо уметь оценивать корреляционные матрицы Kz и /(•.. Ниже будет описан способ обработки результатов измерений, который позволяет получать оцен­ ки не только искомых величин, но и корреляционной ма­ трицы Кг- Что же касается корреляционной матрицы Кй, то в нередко встречающихся случаях, когда ее можно по­ лагать диагональной, она может оцениваться по разно­ стям уравненных и измеренных значений измеряемых ве­ личин, как это принято при классическом применении спо­

т. е. считать, все остальные систематические ошибки со­ ставными частями пост-остаточной ошибки. Тогда равен­ ства (1.11) и (1.14) примут вид

Х(г)

ошибок в оценках искомых величин, обусловленных влия­ нием r-й остаточной систематической ошибки измерений. Поскольку ранг матрицы Fr равен единице, ясно, что ранг матрицы К~ также равен единице, т. е. ошибки оценок

искомых величин, происходящие от влияния рассматри­ ваемой r-й систематической ошибки измерений, линейно зависимы. По аналогии с терминами, применяемыми в от­ ношении двухмерной случайной величины, можно сказать,

17

ся /71-мерным средним квадратическим эллипсоидом оши­ бок (или, что то же самое, системой из т взаимно неза­ висимых векториальных ошибок), то ошибки оценок иско­

мерениях рассматриваемой совокупности. Подвергнув его тому же преобразованию, каким из вектора L отыскивает­

{—агС}) •

*

§1.2. СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ И АЛГОРИТМ

ПО С Л Е Д О В А Т Е Л Ь Н О Г О УТОЧНЕНИЯ ОЦЕНОК ИСКОМЫХ

ВЕЛИЧИН

Способ наименьших квадратов. При обработке наблю­ дений часто встречаются случаи, когда измеряются не сами искомые величины непосредственно, а некоторые другие величины, являющиеся функциями искомых. На­ пример, при определении места корабля искомыми явля­ ются его географические координаты, измеряются же на­ вигационные параметры — пеленги, расстояния до ориен­ тиров и т. д., зависящие от места корабля на земной по­ верхности и являющиеся функциями географических ко­ ординат.

Пусть зависимость между истинными значениями £ ь

. . . , 5ji • • •> 5m искомых величин и истинным значением

18

висимость между исправленным всеми учитываемыми по­ правками результатом 1-го измерения С,- и истинным зна­

щены неизбежными ошибками. Найти из результатов из­ мерений истинные значения искомых величин невозможно,

искомых величин и результатом /-го измерения £Д- выра­

искомую величину Sj выражают как сумму ее произвольного

19