Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Скворцов, М. И. Теория и практика решения задач кораблевождения с учетом влияния систематических ошибок учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

6.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2014 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Предположим (рис. 3.2), что начало системы координат совпадает с _центром эллипса. Тогда, как известно, вели

чины ± \' 1\п п ± }' К22

будут соответственно абс

циссами и ординатами параллельных осям координат сторон прямоугольника, в который вписан эллипс сшибок.

Абсцисса	течки касания А равна	/\Г12: К/С221	ордина
та точки	касания В равна К п '• V~Кц • Если		/(\|2 >0,

направление большой полуоси эллипса лежит в первой

Рис. 3.2. Эллипс ошибок и элементы корреляционной матрицы

(третьей) четверти, если /d2 <0,-J -BO второй (четвертой) четверти. Если К1а = У К ^ > то х Ц А ) = VW7i i х2 ф ) =

= V/<22- Это означает, что эллипс выродился в век ториальную ошибку (совпадает с диагональю прямоуголь ника).

Переход от первого способа характеристики ошибок места точки ко второму осуществляется по общеизвестной системе формул:

а? = Кп cos2	<j> +	/С12 sin 2<\|> +		К22 sin2 ф =»
= \ (Кп+К22)	+	V-T	~ К	^ 2 + / c i 2 ; (3-35)

130

£ 2 = i < u sin2 i| — Кп sin 2 t + K22 cos2 Ф =

от второго способа к первому — по формулам:

	/Сп =	л2 cos2 ф + ^2 sin2			(3.37)
	/C22 =	« 2 s i n 2 ^ +	^2 cos2 ^;		(3.38)
^	i 2 =	4 - ( A n - ^ 2 2 ) t g 2 « l > .			(3.39)
С л у ч а й н а я	ф у н к ц и я .		Если	величина X	случай
ным образом меняется		при изменении		аргумента	t, ее на

зывают случайной функцией аргумента t и обозначают

символом	X(t).	Величина		X(t'),	соответствующая некото
рому фиксированному			значению		f	аргумента t,		есть	слу
чайная величина. Она			называется			с е ч е н и е м		случайной
функции, соответствующим данному значению f									аргу
мента I.
М а т е м а т и ч е с к и м				о ж и д а н и е м			случайной		функ
ции Х(1)	называется		неслучайная			функция Mx{t)			аргу
мента t,	которая	при любом значении t					равна	математи

ческому ожиданию соответствующего сечения случайной функции:


	Mx(t)	= M[X(t)].			(3.40)
Случайная	функция,	математическое		ожидание		кото
рой при любых	значениях аргумента t равно				нулю,	назы
вается ц е н т р и р о в а н н о й			с л у ч а й н о й		функцией.
Д и с п е р с и е й случайной			функции	X(t)	называется

математическое ожидание квадрата отклонения случайной

функции от ее математического ожидания. Дисперсия

так

же

является

неслучайной функцией

аргумента

(/) =

D [X (01

—М{[Х

(t) - М х

(Z)]2 }.

(3.41)

К о р р е л я ц и о н н о й

ф у н к ц и е й

от

случайной

функции X(t)

называется

корреляционный

момент

сечений

случайной функции, соответствующих значениям f

и t" ар

гумента t.

Корреляционная

функция является

'неслучай

ной функцией

аргументов f

и t":

(*', t") =

M{[X

(t>) -

(?)]

(t") - Мх (t")}}.

(3-42)

X(t)

С т р у к т у р н о й

ф у н к ц и е й

случайной

функции

называется

математическое

ожидание

квадрата

раз

ности сечений

случайной

функции,

соответствующих

зна-

725*

131

чениям I' и I" аргумента t. Структурная функция тоже яв ляется неслучайной функцией аргументов t' и t"\

Sx	(?,	t") = М {[X	{t") - X	(О] 2 } .	(3.43)
И н т е г р а л	от	случайной	функции	X{t)	по аргумен

ту t является случайной функцией аргумента t. Математи ческое ожидание интеграла от случайной функции равно интегралу от ее математического ожидания. Корреляцион ная функция интеграла от случайной функции равна ре

зультату		двукратного			интегрирования			корреляционной
функции		исходной	случайной			функции по аргументам ?
и t".	Если		Y(t) =t\x(t)dt,
			Y(t) =t\x(t)dt,							(3.44)
то					о
то
							t
		M[Y(t)] = My(t)=jjMx(t)dt;								(3.45)
Ry (*', t") = M{[Y(t<) - My								(*')] [ Y (t") -
			v	r
		= \ \				ndt'dl".				(3.46)
			6 б
Э л е м е н т а р н о й				с л у ч а й н о й ф у н к ц и е й						назы
вается случайная			функция			вида
				X(t) =Zf{t),						(3.47)
где	Z — обычная		случайная величина,					не	являющаяся
f		функцией		аргумента			t;
f	(t)—неслучайная				функция		аргумента		/.
Согласно доказанной В. С. Пугачевым теореме любая
случайная		функция,		дисперсия			которой	конечна,		сколь
угодно большим числом					способов		и со сколь		угодно	малой

ошибкой может быть представлена в виде суммы ее мате

матического	ожидания и конечного числа элементарных
случайных	функций:
	s
	Y{t)=My(t) + yiZrfr(t)-TR(t),	(3.48)

где ZXy ..., Zs — взаимно некоррелированные случайные ве личины с математическими ожиданиями, равными нулю;

132


R (t)—остаточный			член	канонического разложе
	ния (является случайной функцией аргу
	мента	t).
Выражение	(3.48)	называется		к а н о н и ч е с к и м	р а з
л о ж е н и е м	случайной		функции	Y (/). Для любой	случай

ной функции можно найти такой набор конечного числа


неслучайных функций fr(t),					чтобы дисперсия остаточного
члена R(t) ,была		меньше любого				наперед заданного числа.
Случайная		функция		X(t)	называется		с т а ц и о н а р
ной, если все ее вероятностные характеристики								(матема
тическое	ожидание,		дисперсия,			корреляционная		функция
и т. д.)	не изменяются,			когда	ко всем значениям			аргумен
та прибавляется одно и то же произвольное							число т (на
пример,	корреляционная			функция не изменится, если от ар
гументов	С и t"	перейти		к аргументам t' + t\			t"+x).
Математическое			ожидание		и	дисперсия	стационарной

случайной функции суть постоянные числа. Корреляцион ная п структурная функции являются функциями только

одного	аргумента			т,	где i = l" — /' — разность				значений t"
и V аргумента			t.	Имеют		место	важные	соотношения
					Rx(0) =		Dx;			(3.49)
			Sxtf		= 2[Rx(0)-Rx(x)].					(3.50)
Если	X(t)—стационарная					случайная		функция,		причем
Y (t) =	\ X	(t)	dt,		то в	силу	четности	корреляционной
	6
функции Rx(t)			дисперсия			случайной функции			Y(t)	равна
			Dy(0		= 2ij(t-x)Rxtfdx.					(3.51)
						о
	§ 3.2. ПРИМЕНЕНИЕ СПОСОБА НАИМЕНЬШИХ
	КВАДРАТОВ К ВЫЧИСЛЕНИЮ КООРДИНАТ
			ОБСЕРВОВАННОГО МЕСТА
Удобно		выбрать			систему		прямоугольных		координат

Ох\Х2 с началом в произвольной точке, близкой к прибли


женно	известному месту		корабля,	таким	образом,	чтобы
ось Ох\ была направлена			по меридиану		этой точки к се
веру,	а ось Ох2 — по	параллели к востоку. Тогда				абсцис
са Х\ будет совпадать		с разностью		широт,	а ордината х2 —

с отшествием искомой точки от начала координат. Пусть

6—858 133

зависимость измеряемого		навигационного		параметра от
географических	координат	аппроксимируется		выражением
£/j = c])i(<p, X),, причем
Ul	—исправленный		всеми	учитываемыми
	поправками результат измерения i-ro
	навигационного		параметра, приведен
	ный к	месту последнего		измерения;

^i(np) — значение

этого

навигационного

па

раметра, вычисленное исходя из гео

графических координат срПр, Хп р точки,

принятой

за

начало

системы

прямо

угольных

координат;

Ul ( П р )

(срПр,

^•пр);

gj — градиент

/-го навигационного

пара

метра;

Т ; — угол, который составляет вектор

gi с

осью

ОЛ'ь

ai =Si cost,.—проекция

вектора

на

ось

Ох\

(табл.

3.1);

&i = S i s l n i : t

—проекция

вектора gi на ось Ох2.

Тогда г-е уравнение

поправок примет вид

a. xv

+ blx2

— ll

— v,,

(3.52)

где

'| = Ц - 0 , ( п р > -

С 3 - 5 3 )

Вес

£-го уравнения

поправок

принимается

равным

Л- =

^ Ч

(3-54)

где

а 2 [ ( —дисперсия

ошибки

измерения,

вес

которого

принят равным

единице;

о2 —дисперсия ошибки измерения ;'-го навигацион

ного

параметра.

Вычисление коэффициентов и решение системы нор

мальных уравнений

осуществляются

по

общим

правилам

(§ 1.2, 3.3, 3.4). Может

применяться

также

графоаналити

ческое

решение [34, гл. IV]; [82, §

11], [59, § 76], однако оно

не ведет к заметному уменьшению

объема

вычислений и

не предусматривает

контроля

их

правильности.

Оценки

134

					Т а б л и ц а 3.1
Проекции градиентов			о с н о в н ы х навигационных		п а р а м е т р о в
	на	меридиан		и параллель
				Проекции градиента
Навигационный	Размер
параметр	ность		на	меридиан	на	параллель
параметр	проекции		ех	— S COS т	ev	= g sin т
	проекции

	На	плоскости и на с ф е р е
Расстояние Д	Мили на		— cos А		— sin А
до ориентира	милю

Разность рас Мили на — (cos А2 — cos Ai) стояний Дт~Д\ милю до двух ориен тиров

			На п л о с к о с т и
Пеленг		А на	Градусы	57.3° .	,
Пеленг		А на	Градусы
ориентир			на милю
Пеленг		Q с	Градусы	57,3° .	п
Пеленг		Q с	Градусы	Д
ориентира		на	па милю	Д
ориентира		на	па милю
корабль
Горизонталь			Угловые 3438'	'sin Л2	sin J4J
ный	угол	а =	минуты		Д\
= А2—Л, между			на милю
направлениями
на	ориентиры
			На	с ф е р е
Высота Л све			Угловые	cos А
тила			минуты
			на милю

(sin А2 — sin At)

57.3°	cos А
Д
57,3° cos		Q
Д
-3438' / cosAo		cosA

sin А

Пеленг (ази Градусы мут) А на и а милю ориентир

Пеленг (ази Градусы мут) Q с ориен на милю тира на корабль

60	ctg Д' sin А	— "j^f ( c	t g Д c o s А—
60
		—	tg<?)
	sin А		cos A
	60 sin Д	60 s i n ^ '

П р и м е ч а н и я :					1. Ш а плоскости» — при малых расстояниях до
ориентиров, когда			можно пренебречь				сферичностью		Земли. «На		сфе
ре* — при больших				расстояниях		до	ориентиров,	когда сферичностью
Земли		пренебречь	нельзя.
2.		А — пеленг	(азимут) с корабля на ориентир;						Q — пеленг		(ази
мут)	с	ориентира	на		корабль;	Д — расстояние		до	ориентира,	мили;
Д' — величина угла				в	угловых	минутах, численно			равная	расстоя
нию	Д,

135

£,

Е.,а

"о

Ei,a

Е»Ь'

£,

12 |

§ 3.3. СХЕМА Р Е Ш Е Н И Я СИСТЕМЫ НОРМАЛЬ

					5
\раа]	ipaft]	\рас\	1рв/'\|	\pas\
£ „ = - 1	£ia =\|ii \pab\	Ец = 14 \|ря<1	£u=P-i \|ро/'\|	£ц =	\|Ч 1р<"\|
	\РЬЬ\	IPM	\рЫ'\	\|р**1
	г,ш=Еп \pab\		Гч = Еч \paV	г<з=	Я , з \pas\
	u2 2 =lpft*]+r,j		* а = 1 Р * ' ' 1 + / - «

£ 2 2 = - 1

С-я :

"22

Вертикальная горка

£..

£ з з л " з

* i = £ u +

£ a J - \|iau		£з< - Р-з*			Г
				Ец =	р.,Ь

\|р«1		\|рс/'\|		I P " ]
/ • „ = £ „ [рас\|		'•а* = Еи \|ря/']		'"81= £.з \pas]
				fib — £aj
с 3 3 =	\|рсс] +			c 35 =	l ^ " 1 +
+ г„ •+ /-.»		+ rtl +r „
				+	+ 'iS
£ „	= - 1	£,i =	(ije		f
				£ss =	Р-з С
	— 1

Р 3 =	—7 —				Конт
	с 33
х,	=	\paa]	xi	\pob\ .r,

		\|pa»\| л-j		\|рйй\| Д'а
		(рас] .v,		IpftfI * з

|po/'| \РЫ'\

НЫХ УРАВНЕНИЙ		( Д Л Я Т Р Е Х	Н Е И З В Е С Т Н Ы Х )
Контроль		Q)\
6		7	8	9
		— 1	N
£•• + £и +	£ „ = \|М (-1)
+ £•> + £ . .
			— I	-
	Г,7 =	Е„ (-1)

й 22 +	*23+6 24		fc27 = rL1
£за-г-£аз"Т"£а*			En	= (i a u 2 7
			r« = £n (—4
с 33	+	с 34	^Зу =	Г"в7 "f" Г"в7
£зз +		£31	<?» = И-зС37
роль				£ii<?ii
роль

*2в =		-	'	-
£ a s	= llj^aj
				-1
Г,1—	£аз	(-1)
c 38 "'		r	"	4 =	- 1
					r
				Рзэ =	P->c39
	£iaPs3			£l3<?33

[рас\ хх	£зз<?з,		£азРза	£аз0,з
[рас\ хх
\рЬс\ х.	Qai==^£a:-t-£asQ3i		Qaa=£ae-f"£3jQs3	<?as = £зз<?зз
\рЬс\ х.	E11Q21		£i a Qaa	£lsC?3s
	E11Q21		£i a Qaa	£lsC?3s
\рсс\ X,	£..<?..		EisPsa	£lSC?.!
2 .	£iaQai		£iaQsa	£iaQaa
2 .
\pcV\	• <?„ = £ „	+	Qia = £ uQi9 +
	+ E i . G . i	+	"f" £iaQaa
	-f-EnQai

o 5

Q 3 j

Контроль no £ ,

ЕазС3 ,

Q*J

Контроль no Ei

«1/

Ыg*

u '

12'

13'

14'

15'

16'

17'

18'

136	137

географических координат (координаты обсервоваш-юй точки) вычисляются по формулам:

Фо = <РпР +

* i ;

х о =

КР

+ х2 sec српр.

(3.55)

Пояснения

к схеме

решения

системы

нормальных

уравнении

С т р о к а

Выписываются

коэффициенты,

свободный

член

и контрольная сумма первого нормального уравне

ния

(1.53),

вычисляемые

по формулам

(1.52).

столб

це Qji

(у нас — столбец

записывается

— 1 . В

столб

цах

Qj2, Qj3 и т. д. должны

бы

стоять нули, но по тради

ции

делаются

прочерки.

С т р о к а

называется

первой

элиминациоиной

стро

кой

(от

латинского eliminare — исключать, изгонять). Она

служит

для

исключения

первого

неизвестного Х\ из

систе

мы нормальных уравнений. В столбце 1 проставляется ве


личина Еп =—1,			под ней записывается частное			от	деле
ния	щ ——1 : [pad]. Во			всех последующих столбцах,			кроме
столбца		«Контроль»,		записываются	произведения		величи
ны	на	числа	строки 1. В столбце		«Контроль»	записы
вается сумма первых (до столбца I' включительно)							чисел
элиминациоиной			строки. Если сумма		не равна	(с	точно

стью, соответствующей точности вычислений) числу, стоя щему в столбце 5 элиминациоиной строки, надо найти и

устранить ошибку, допущенную	в вычислениях.
С т р о к а 3. Выписываются,	начиная с диагонального,

коэффициенты, свободный член и контрольная сумма вто


рого	нормального		уравнения. В		столбце Q j 2 проставляется
— 1 ,	в остальных		столбцах QH, QJ3 И Т . д. делаются				про
черки.							Ei2,
С т р о к а		4.	Записываются		произведения	числа
стоящего в		первой элиминациоиной строке над числом
[pbb],	на числа строки			1.
С т р о к а		5 называется строкой коэффициентов при не
известных,		свободных		членов	и контрольных	сумм	вто

рого уравнения системы, эквивалентной системе нормаль ных уравнений. В каждом из столбцов,.начиная со столб

ца 2, записывается	сумма чисел строк 3 и 4.
С т р о к а 6. Это	вторая элиминационная строка. Она

отыскивается из расположенной над ней строки 5 анало гично тому, как первая элиминационная строка отыски валась из -расположенной над ней строки,

138

С т р о к а

Аналогична

строкам 1

и 3.

С т р о к и

8—11. Над числом [рсс] строки

7 в

располо

женных выше элиминационных строках 2 и

находятся

два числа: Е п

и E2Z.

Произведения

первого из них на числа

строки 1

записываются

строке

произведения

второго

(Е23)

на числа строки

5 — в

строке

Остальные.действия

аналогичны описанным выше для строк

3—6.

Если число искомых величин больше трех, то аналогич

ные

однообразные

действия

продолжаются

до

тех

пор,

пока ие будут исключены все

неизвестные величины,

кро

ме

последней

(в

столбце,

соответствующем

последней

не

известной

хт,

последней

элиминационной

строке

будет

записано

Етт

=—1).

Тогда

столбце

/' этой

(последней)

элиминационной

строки

окажется

записанным

значение

последней

неизвестной

хт.

Для вычисления

остальных

не

известных служит особая схема, помещенная в левом ниж


нем углу,— «Вертикальная горка».
« В е р т и к а л ь н а я			г о р к а » .		В	первой строке				(в на
шей	схеме — строка 12)		записываются числа, расположен
ные	в столбце /' всех		элиминационных				строк.		Последнее
из них		(у нас — число	£ 3 4 ) представляет					собой		искомое
значение		последней неизвестной			(у	нас	х3	= ЕЗА).	Его про
изведения на ч-исла, записанные				над		ним	в	элиминационных
строках		(у нас — на числа Е1г		и £ 2 з ) , записываются в сле
дующей		строке «Вертикальной		горки». Сумма					последнего

из этих произведений с расположенным над ним числом

даст	искомое	значение предпоследней неизвестной (у нас
x2 — E2i + E23x3).		Его произведения на числа, расположен
ные	над ним	в элиминационных строках, записываются в

той же строке слева, затем находится сумма последнего из этих произведений и чисел, стоящих над ним в «Вертикаль

ной горке», и т. д,, пока не будут найдены все

неизвест

ные.

К о н т р о л ь .

середине

нижней

части схемы

столб

це а

записываются

произведения

[раа]

хи

[pab]x2,...,

[pah]

хт

и подсчитывается

их

сумма.

Она

должна

быть

равна

(с точностью,

соответствующей

точности

вычисле

ний)

свободному

члену [pal'] первого нормального уравне

ния,

взятому с

обратным

знаком.

Аналогично

осущест

вляется

контроль

правильности

вычисления

неизвестных

139

по коэффициентам	последующих		нормальных урав
нений.		АТРА
О б р а щ е н и е	м а т р и ц ы	АТРА	осуществляется в
столбцах QJU Qj2 и т. д. правой		части	схемы. Действия, вы

полняемые в каждом из них, аналогичны действиям, вы полняемым в столбце /' основной схемы, но с тем отли

чием,

что, как

было описано выше, вместо чисел

[pal'],

[рЬГ]

и т. д. тут записываются

величины — 1

или

делаются

прочерки. В итоге в последней

элиминационной

строке

(у

н а с — в строке

11)

окажутся

записанными

элементы

по

следней

(м-й)

строки

матрицы Q =

|| Q... \\ „„„ =

(ЛГРА)~

в нашей

схеме

это

числа

Q 3 ) ,

Q 3 2 ,

С?зз-

строке

«Кон

троль

по

Е\»

записываются

произведения

первого

из

них

на число

Ей

первой

элиминационной

строки,

второго—-на

число

£12

и т. д. Сумма этих произведений должна

быть

равна

нулю.

Затем выполняются действия, аналогичные проделанным

ранее

во

втором справа

столбце «Вертикальной

горки»,

тем отличием, что для экономии места числа из предпо следней элиминационной строки внизу еще раз не пере

писываются. Таким образом будет найдена				предпослед
няя строка матрицы Q	(у	нас — числа	Q2\, Q22, 0.2г)- Ре
зультат контролируется	по	строке Е\	(сумма	произведе

ний должна быть равна нулю). Эти однообразные дейст вия, аналогичные выполняемым в «Вертикальной горке», продолжаются до тех пор, пока не будет найдена первая (верхняя) строка матрицы Q. Для дополнительного кон троля проверяется, оказалась ли эта матрица симметриче ской (ее элементы, симметричные относительно главной


диагонали,		должны	быть одинаковы).
	§	3.4. П Р И М Е Р		ВЫЧИСЛЕНИЯ КООРДИНАТ
	О Б С Е Р В О В А Н Н О Г О			МЕСТА КОРАБЛЯ СПОСОБОМ
		НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
С	корабля измерены радиопеленги четырех радиомая
ков.	Исправленные		поправкой компаса, табличными зна

чениями радиодевиации, ортодромическими поправками и приведенные к одному месту значения измеренных пелен гов Яг -, средние квадратические величины а{ случайных

ошибок измерений, а также		значения пеленгов		/7;( п р ) и
расстояний до	радиомаяков	Дг(пр),	вычисленные	исходя
из координат	приближенного	места	корабля, проекции

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2014 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ