Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Скворцов, М. И. Теория и практика решения задач кораблевождения с учетом влияния систематических ошибок учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

6.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2013 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

г л - е °.v(/-i)> axi — средние	квадратпческне	величины	оши
бок i— 1-й и 1-й обсерваций по направлению осп Ох.
Искомую величину AvTX	можно аппроксимировать		сум
мой степенных или тригонометрических		функций времени

сискомыми коэффициентами, например

Д-с'ТЛ. = хх +	x2t + xst°-	+ ...	(2.166)
Рассмотрим простейший	случай,	когда	уравнениями

(2.164) выражаются результаты наблюдений за промежу ток времени, в течение которого можно считать продоль ную проекцию вектора скорости течения практически по стоянной, т. ё. ограничиться первым членом разложения (2.166). Если, исходя из уравнений поправок (2.164), мы попытаемся составить систему нормальных уравнений, ру ководствуясь предписаниями способа наименьших квадра тов в его классической интерпретации, то она окажется не имеющей единственного конечного решения, поскольку

коэффициенты

при искомых

А1/

и Avrx

во всех уравне

ниях поправок

окажутся одинаковыми. Если же мы вос

пользуемся алгоритмом

последовательного' уточнения ис

комых величин, то получим

решение

^ т . , -

f = 1

„

;

(2.167)

Рс.с

+ 2 > /

( M y - M t . T r ) / , T . c

(2.168)

Pi. C + PfC

v T

= V

* .

(2.169)

Здесь

+ а

„'

(2-170)

V + ат. с + с

Р т . с

Pi.^-^j1-;

с т. с

(2.171)

Рк^-т-,

(2.172)

120

Г д е	а р т . с — средняя	квадратпческая		величина	ошибок,
	одинаковых в счислнмых значениях скорости
	хода и продольной проекции среднего				за вре
	мя серии наблюдений вектора скорости тече
	ния;
о с ,	° т . с — средние	квадратические		величины	индиви
	дуальных ошибок счислимых значений иско
	мых величин.
Найдя величину		AV	и оценив ее дисперсию,		из ана

логичных выражений нетрудно найти поправки, к счислп-

мым	значениям поправок лагов,	коэффициентов	измене
ния	скорости хода корабля от	влияния ветра,	волнения

моря и обрастания подводной части корпуса. Подобным

образом следует			подходить и к анализу невязок	счисления
в	направлении,		перпендикулярном линии курса. Если курс
и	скорость	хода	корабля не являются постоянными, ана
лиз невязок		счисления затрудняется взаимной		зависимо

стью оценок искомых величин. Общее решение (1.75) — (1.80) становится доступным только при условии примене ния более совершенной вычислительной техники, чем та, которой располагает рядовой штурман.

Г л а в а 3

ПОЯСНЕНИЯ, ПРИМЕРЫ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТАБЛИЦЫ

§3.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ А Л Г Е Б Р Ы МАТРИЦ

ИТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИИ

М а т р иц ей	называется			упорядоченная				совокупность
чисел (элементов),		записываемая в			виде		таблицы:
				Я , ;
		а21	Я 22 •	°2,	*2т
		ап	а12...	ai						(ЗЛ)

		апХап2...аП}...а
Чтобы показать, что матрица А					имеет п строк и т
столбцов и что	элемент, находящийся						в 1-й		строке и в
/-м столбце этой матрицы, есть a,-j,						пользуются				обозна
чениями
	А =	Ап	\ <*lj II =		II % \\nm-					(3.2)
Матрица, имеющая п			строк и один			столбец,			называется
в е к т о р о м (матрицей-столбцом).					Каждый л из				элементов
(компонентов)	вектора		снабжается		только			одним'		индек-

122

сом, показывающим, в какой строке матрицы он располо жен, например

£ = £ „ 1 = 11У„1 =

(3.3)

Две матрицы А и В считаются р а в н ы м и тогда, и только тогда, когда число строк первой равно числу строк второй, число столбцов первой равно числу столбцов вто рой и когда любой элемент первой матрицы равен соответ

ствующему

элементу

второй

матрицы,

т. е.

при

любых

выполняется

равенство

а,

(3.4)

Таким

образом,

выражение

— R

(3.5)

является

"•пт

"-"пт

вида

сокращенной

записью

пХт

выражений

(3.4).

а,\\, а22 ..

матрицы (3.1),

у каждого из ко-

Элементы

торых

первый

индекс

(обозначающий

номер

строки) и

второй индекс (обозначающий номер столбца)

совпадают,

называются

д и а г о н а л ь н ы м и ,

диагональ,

на

которой

они

расположены,— г л а в н о й

д и а г о н а л ь ю .

Если

матрицу

повернуть

вокруг главной

диагонали,

то

получится

матрица, которую называют

т р а н с п о н и р о

в а н н о й

по

отношению

матрице

обозначают

сим

волом

АТ:

1 ап

а21.,.

ani

а\1

&22 • • • &п2

А л т

= \\ач\Г =

(3.6)

а1т

а2т

• <

-апт

123

С л о ж е н и е двух матриц А и В определено тогда, и только тогда, когда число строк матрицы А равно числу строк матрицы В и число столбцов матрицы А равно чис лу столбцов матрицы В. Тогда суммой этих матриц назы

вается матрица, составленная из сумм

соответствующих

элементов матриц

А и В:

! «1 1 +

^11

«1 2 +

ьп-•

• аы

ьш

Ащп ~\г &п

I « 2 1

^21

« 2 2 +

*22 • • • аЪп

+ #2ш

/ Л2 '

l K +

* / , I U

(3.7)

Аналогично определяется и вычитание, матрицы

б из

матрицы

А:

Апт — В,т =

|| а, ; —

||л„;.

(3.8)

Матрица, все элементы которой равны нулю, назы

вается

н у л е в о й

и обозначается

символом

0 или Опт;

(3.9)

П р о и з в е д е н и е м

матрицы

^ =

||а/.||ят

на

ч и с

л о с

называется

матрица, каждый из элементов

которой

получен

умножением

соответствующего

элемента

матри

цы А на число с:

сАпп, = Аптс

- ]

(ЗЛО)

Если |число столбцов матрицы А„т

равно

числу

строк

другой матрицы Bmq,

то п р о и з в е д е н и е м АВ этих ма

т р и ц называется

матрица

Cnq,

определяемая по

прави

лу: чтобы найти

элемент сц,

находящийся

в t-й строке и

в /-м столбце матрицы

С, надо

каждый

из элементов t-k

строки матрицы А умножить на соответствующий

элемент

/-го столбца матрицы

В и полученные

произведения

сло

жить

(рис. 3.1)":

c t ] =

aixbx.

4- ai2b2j

- f . . . +

ciimbnJ.

(3.11)

Произведение двух матриц равно транспонированному произведению транспонированных сомножителей, взятых в обратном порядке:

АВ = ( 5 М Т ) Т

(3.12)

124

Приведем другие формулы, выражающие основные свойства сумм и произведений матриц:

А+(В	+	С) = (А +		В) + С; А +	В=В	+	А;	(3.13)
А(ВС)		=	(АВ)С;	(А + В)С =	АС +	ВС.		(3.14)
Матрица,	разделенная			горизонтальными		и	вертикаль
ными прямыми		линиями		на несколько	частей,		называется
б л о ч н о й	(клеточной),			а матрицы, из которых она со
стоит,— б л о к а м и			(клетками). Если		существует			произве
дение АВ матриц			А и В,	то можно разбить		их на блоки

Рис. 3.1. Умножение матриц С т = АтпВ

таким образом, что станет возможным отыскивать произ ведение АВ по общему правилу умножения матриц (рис. 3.1), обращаясь с блоками так, как будто это чис ла. Для этого надо следить; чтобы выполнялось условие, при котором умножение блоков возможно: число столбцов в первом сомножителе обязательно должно быть равно числу строк во втором сомножителе. В частности, если

FUm	В:	(3.15)
А ==
Н пт		Г m.q
то	FT	CS.+ FU
CL +
АВ =		(3.16)
GL+HT		GS + HU
Матрица, число, m строк которой равно числу столбцов,
называется к в а д р а т н о й	матрицей порядка т. Квадрат
ная матрица Атт=* \|\|аи\\	называется с и м м е т р и ч е -

125

с ко и, если ее элементы, симметричные относительно глав ной диагонали, равны между собой, т. е. при любых i и / соблюдается равенство

a l j = a j l .	(3.17)
Из этого определения ясно, что симметрическая	матри
ца равна своей транспонированной матрице:
Л = Л Т .	(3.18)

При умножении двух симметрических матриц (только симметрических!) в обратном порядке их произведение не меняется:

	АВ=ВА.	(3.19)
Д и а г о н а л ь н о й	называется	квадратная матрица,

все элементы которой, не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Очевидно, что любая диагональная матрица

. является симметрической.

Е д и н и ч н о й называется диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице. Она обо значается символом Е или, если надо указать, что ее поря


док	равен п, символом		Епп.
П р о и з в е д*е н и е			любой матрицы			/Г на	е д и н и ч-
н у ю	м а т р и ц у	равно исходной матрице:
	Епп^пт =		Л л т ,	АптЕтт	=	Апт,	(3.20)
Для каждой		квадратной		матрицы	существует		ее о п р е-
д е л и т е л ь (детерминант)—число,					отыскиваемое по об

щим правилам вычисления определителей [9, стр. 146—148]. Если в матрице Апт выбрать k произвольных строк и столько же произвольных столбцов и образовать из элемен-. тов, стоящих на их пересечении, квадратную матрицу, то

определитель этой матрицы	называется м и н о р о м /е-го
порядка матрицы Л. Р а н г о м	матрицы А называется мак

симальный порядок минора этой матрицы, отличного от нуля. Очевидно, что ранг матрицы Апт не может быть больше, чем минимальное из /чисел п и т. Важно знать также, что ранг произведения нескольких матриц не пре восходит минимального из рангов отдельных сомножите

лей.
Квадратная матрица,		ранг	которой равен	ее	порядку
(т. е. такая	квадратная	матрица, определитель			которой
отличен от	нуля), называется		н е о с о б е н н о й .	Для каж-

126

дой неособенной матрицы Л„„ существует матрица Л - ' , называемая о б р а т н о й по отношению к матрице А и отыскиваемая из уравнения .

	Л Л " 1 = ЕПП	или А-1 А = Е„	( 3 . 2 1 )
Операция	отыскания матрицы, обратной по отношению
к матрице Л,	называется	о б р а щ е н и е м этой	матрицы.
Если матрица	А — симметрическая, то и матрица		Л - 1 так

же будет симметрической. Нам придется обращать только симметрические матрицы. Для этого удобно пользоваться схемой Гаусса. Пример таких вычислений приведен в § 3.5.

Наиболее простым является обращение диагональных матриц. Пусть дана такая матрица С, причем для упро щения записи г'-й отличный от нуля элемент, находящийся в 1-й строке и в i-м столбце, обозначен символом с,-:

				С!	О . . .		О . . . О
				О с 2 . . . О . . . О
	C = \\ct\			О 0 . . . с , . . . О					(3.22)
				О 0 . . . с , . . . О
				О 0 . . .			0.
Тогда матрица	С - 1	= \|\| dl \|\| пП			будет также				диагональной,
причем ее- t'-й	отличный		от	нуля		элемент		d{,	находящийся
в 1-й строке и в i-м		столбце,		равен
		di	= \\cl		=	с~К			(3.23)
К в а з и д и а г о н а л ь н о й				называется				блочная матрица
вида
			\| К,	0	. . .	0
			О К2...			О			(3.24)
									(3.24)

О О

где Ки К2, • • •, Km — квадратные матрицы, а все остальные элементы — нули.

Из правила умножения блочных матриц следует, что

•Л'Г1	О . . . О
О	/ С ; - ' . . . О
/ С - 1 =	(3.25)
о	о . . . /с-'

Большой интерес представляет частный случай обра щения квазидиагональной матрицы

1<1	0
0	(3.26)
0

когда все диагональные элементы квадратной матри цы /<,—очень большие (практически бесконечно большие)

числа, а недпагональные	элементы конечны.		Тогда
	О	о	(3.27)
r " - i	6 к-1		(3.27)
	6 к-1
С л у ч а й н о й матрицей называется матрица, элемен
тами которой являются случайные величины.			М а т е м а т и
ч е с к и м о ж и д а н и е м	M(W)	случайной	матрицы W

называется матрица,, каждый из элементов которой равен

математическому

ожиданию

соответствующего

элемента

матрицы

Пусть

Х =

|| д-. || д 1

—случайный

вектор;

Л —вектор,

компонентами

которого

являются

отклонения

элементов

случайного вектора X от их математических

ожиданий:

Д:

1М1,„ = х, -

М (Xj)

||я1 — X — М {X),

(3.28)

где М{...)—символ

математического

ожидания.

Рассмо

трим матрицу ДДТ . Ее элемент,

расположенный в /-й строке

и в /'-м столбце,

представляет

собой

произведение

диагональными

элементами

будут

квадраты

Д 2 , Д|,

Д2 отклонений

компонентов

случайного

вектора

А' от их

матемэтических

о ж ид а н ий.

Кх

К о р р е л я ц-и о н н о й

м а т р и ц е й

случайного

вектора X называется

матрица

КХ

М(ЬАТ).

(3.29)

128

Из этого определения видно, что корреляционная ма трица есть симметрическая квадратная матрица. Ее диаго нальными элементами являются дисперсии компонентовхи Х2, х„ случайного вектора X. Элемент, расположенный в /-й строке и в j'-u столбце корреляционной матрицы, представляет собой корреляционный момент случайных ве личин Xj и Ху.

Если G = G m n — некоторая неслучайная матрица и зави симость между случайными векторами Хт\ и Уп\ устанав ливается выражением

		X — GY,					(3.30)
имеют	место	важные равенства
		M(X)	=	GM(Y);			(3.31)
	Кх = М (Д^Дт.) =			М [GAY	(GAyy]	=
		= GM (Ду Др) G T = GKYG\					(3.32)
где
Ку — корреляционная			матрица		вектора	Y.
К о р р е л я ц и о н н а я м а т р и ц а и э л л и п с о ш и
б о к .	Пусть	^ = 11^11 — случайный			вектор,	компонентами
которого являются прямоугольные координаты хи							х 2 неко
торой	точки	на плоскости	(например, разность				широт и

отшествие счислимого или обсервованного места корабля относительно условной точки, принятой за начало коорди

нат).	Тогда его корреляционная матрица
/ ^ =	Л Г { 1 ^ - Ж ( ^ ) ] [ ^ - М ( ^ ) ] Т )	=	Кп	Кп	(3.33)
			к21	К22
характеризует ошибки, с которыми			известно		положение

этой точки (место корабля). Другим способом, каким мож но характеризовать эти ошибки, менее удобным в вычис лениях, но в кораблевождении получившим большее рас пространение, поскольку считается, что он более нагляден,

является	указание полуосей a, b среднего квадратического
эллипса	ошибок и угла ф, который его большая			полуось
составляет с осью Ох\.
Корреляционную матрицу можно считать не менее на
глядной	характеристикой:	если она известна,	то	размеры
и ориентировку эллипса		ошибок легко себе	представить.

7,5—858

129

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2013 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ