
книги из ГПНТБ / Скворцов, М. И. Теория и практика решения задач кораблевождения с учетом влияния систематических ошибок учебник
.pdfгде S — счислпмый вектор относительного (относитель но водной среды) перемещения корабля за время плавания по счислению;
ус —единичный вектор, направление которого по
|
лучено |
вращением вектора S |
на 90° по ча |
|||||||
Пусть |
совой |
стрелке. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а п , к — с р е д н я я |
квадратическая |
величина |
постоянной |
|||||||
|
ошибки |
в |
поправке компаса, |
град; |
|
|
||||
°п . л —средняя |
квадратическая |
величина |
постоянной |
|||||||
|
ошибки в поправке лага, %. |
|
|
|
||||||
Тогда |
векториальные |
ошибки |
счисления, |
обусловлен |
||||||
ные влиянием |
постоянных |
ошибок |
в показаниях |
компаса |
||||||
и лага, |
будут |
равны |
соответственно |
|
|
|
||||
|
|
« c I W = ± W V « J |
|
|
< 2 Л 0 7 ) |
|||||
Как и следовало ожидать, эти формулы оказались ча |
||||||||||
стными случаями общего выражения |
(1.20). Они |
наглядно |
иллюстрируют своеобразие систематических ошибок счис ления.
Ошибка счисления после плавания корабля несколь кими частными курсами является суммой ошибок счисле ния, накопившихся на частных курсах. Если ошибки счис ления на двух разных частных курсах взаимно независи мы, будем называть их случайными, если коэффициент корреляции между их величинами равен единице,— си стематическими.
Рассмотрим пример. Пусть скалярная случайная величи на 2 представляет собой результат сложения случайных
величин X и Y. Тогда ее |
дисперсия |
выражается |
форму |
лой |
|
|
|
Dz = 4 + |
°\ + 2 г х у а Л , |
(2.109) |
|
где ау, ау — средние квадратические |
отклонения |
слагае |
|
мых величин от их математических ожида |
|||
ний; |
|
|
|
гху—коэффициент |
корреляции. |
|
. 90
Если /л-у = 0 |
(слагаемые |
величины некоррелированы), |
||
то |
|
|
|
|
|
= |
4 |
+ |
( 2 Л 1 ° ) |
Если /'л-у=±1 (слагаемые |
величины линейно |
зависи |
||
мы), то |
|
|
|
|
|
= |
|
±°у) я - |
(2.1П) |
Если ошибки счисления на частных курсах взаимно не |
||||
зависимы, то их |
сумма должна характеризоваться |
векто |
риальной ошибкой, отыскиваемой как результат квадратического сложения векториальных ошибок слагаемых ве личин. Правила такого квадратического сложения, являю щегося геометрической интерпретацией сложения корре ляционных матриц (§ 3.5) и обобщения формулы (2.110) на двухмерные случайные величины, изложены во многих пособиях [28, стр. 346—347], [34, гл. 1, § 4], [82, стр. 131 — 135], [59, § 60], поэтому нет необходимости останавливать
ся на |
этом вопросе. |
|
В рассматриваемом случае так подходить |
к оценива |
|
нию суммарной ошибки нельзя, поскольку |
слагаемые |
|
«ошибки |
взаимно независимыми не являются |
(постоянная |
ошибка курсоуказания на всех частных курсах одинакова, то же можно сказать о постоянной ошибке в , поправке лага). Чтобы учесть это обстоятельство, применим способ, который условно назовем векторным (линейным) сложе нием векториальных ошибок. Он является графической интерпретацией формулы (2.111).
Пусть надо оценить ошибку счисления, происходящую вследствие постоянной ошибки в поправке компаса. Век ториальные ошибки счисления на частных курсах вычис лим по формуле (2.107), затем заменим каждую из них вектором, направление которого совпадает с направлением линии курса, повернутым на 90° по часовой стрелке, а мо дуль равен модулю векториальной ошибки. Нетрудно убе диться, что, если геометрически сложить полученные век торы и затем приписать их сумме два взаимно противопо ложных направления ( ± ) , получится тот же результат, что и при непосредственном оценивании векториальной ошибки по формуле (2.107), если подставить гуда гене ральное плавание корабля.
Аналогично следует поступать и при оценивании влия ния систематической ошибки в поправке лага, но заменяя шрп этом векториальную ошибку счисления на очередном1
91
частном курсе вектором, направление которого совпадает с направлением относительного перемещения на этом кур се. Таким образом, при оценивании суммы взаимно неза висимых (случайных) направленных ошибок должно при
меняться |
квадратическое |
сложение |
векториальных оши |
|
бок, их характеризующих; |
при оценивании |
суммы система |
||
тических |
направленных |
ошибок |
должно |
производиться |
геометрическое (линейное) сложение векториальных оши бок.
Отклонение zx(t) мгновенного значения ошибки курсоуказания в рассматриваемый момент времени от ее сред него значения, как уже упоминалось в § 2.1, может быть описано как стационарный случайный процесс с корреля ционной функцией (2.5). Обусловленная этой причиной
ошибка счисления, накопившаяся за |
время /, будет равна |
i |
|
ё а ( 0 = \v^(t)zx(t)-j{t)dt. |
(2.112) |
о |
|
Если заданный рулевому компасный курс неизменен, рассматриваемая ошибка счисления перпендикулярна ли
нии курса корабля. Если и скорость хода |
V |
не ме |
||||||
няется, то, |
выражая величину |
о к ( м ) |
в градусах, |
диспер |
||||
сию этой ошибки |
счисления |
можно |
оценить |
формулой |
||||
|
|
|
|
t ( |
|
|
|
|
|
|
|
"О о |
|
|
|
|
|
|
_ |
57.32 (aJ + |
р) |
\ 1 |
~ |
а? + Р ~ |
• |
|
+ |
- J ^ |
r К*2 - |
f) |
cos V - |
2a? sin щ]. |
|
(2.113) |
Соответствующую векториальную ошибку можно прибли женно оценить" формулой
|
|
J£ |
|
» |
+ J |
l |
A |
l / |
I E I |
• . • |
|
С2 114) |
|
|
W C 2( K) |
|
— |
57,3° |
V |
a? +\V' |
|
|
K*^l*J |
||
Если |
считать a K ( M ) |
= |
0,4°; a = 4,6 ч - 1 |
; р = 5 , 3 ч - 1 |
и |
V p C = |
||||||
= 20 уз, она будет |
равна |
0,06 |
мили |
после |
1 часа |
плава |
||||||
ния, |
0,12 |
мили |
после 4 |
часов и т. д. Аналогично |
можно |
|||||||
оценить |
ошибки |
счисления, |
возникающие |
при' |
неавтома- |
|||||||
92 |
|
|
|
|
' |
|
v |
|
|
|
|
|
тизированном счислении вследствие неучитываемого рьь екания корабля на курсе.
. Отклонения ошибки курсоуказания от ее среднего зна чения, происходящие в моменты времени, удаленные один от другого более чем на час, практически взаимно неза висимы.. Следовательно, если время плавания корабля ча стными курсами измеряется часами, то взаимно независи мыми можно считать и обусловленные этой причиной ошибки счисления, накапливающиеся на каждом, из этих частных курсов. Векториальные ошибки, их характеризую
щие, |
следует |
складывать |
квадратически. |
Ошибка учета ветрового дрейфа, подобно рассмотрен |
|||
ным |
выше ошибкам,, также можег быть представлена в |
||
виде |
суммы |
систематической и случайной составляющих. |
|
Приняв за основу одну из |
моделей дрейфа, описанных, в |
§ 2.2, нетрудно оценить соответствующие ошибки счисле ния.
Перейдем к оцениванию ошибок счисления, происходя щих вследствие ошибок в учете течения.
|
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vT |
(ср, |
X, t)— истинное |
значение |
вектора |
скорости |
тече |
|||||||
|
|
|
ния в точке моря с географическими коор |
||||||||||
|
|
|
динатами |
ср, X в момент |
времени |
t; |
|
||||||
|
|
М--—математическое |
|
ожидание |
вектора |
скоро |
|||||||
|
|
|
сти течения в этой.точке в тот же момент |
||||||||||
|
|
|
времени; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vTi |
с — счислимое |
значение |
вектора |
скорости |
тече |
||||||
|
|
|
ния (введенное в автоматический проклад |
||||||||||
|
|
|
чик или счислитель). |
|
|
|
|
|
|||||
Истинная |
ошибка |
счисления, |
которая |
накопится |
за вре |
||||||||
мя |
t, |
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
ё(Т) (0 = 1 fr. с-^т (?, К |
0] dt |
= J (vT. |
с - |
м-) at |
+ |
|||||||
|
|
|
о |
t |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 9 ) X , t)\dt. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
+ j [ A f - - ^ T |
|
|
|
(2.115) |
||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первый |
член в |
правой |
части |
формулы |
(2.115) |
выра- |
.жает влияние систематической ошибки в учете течения, второй — влияние временной и пространственной, изменчи вости течения. Обычно нет причин, которые могли бы по вести ко взаимной зависимости векторов ( t / T , е — М - ) и
93
[М- — 'X, t)]. Если, кроме того, первый из них в те чение времени плавания по счислению остается практи чески постоянным (район и условия плавания существенно не изменяются, приливо-отливные течения незначительны), то вектор ст (^) можно оценить корреляционной матрицей
|
|
j vT |
(<р, к t) dt |
(2.116) |
|
где KTI—корреляционная матрица ошибок оценки мате |
|||||
матического ожидания вектора скорости течения. |
|
||||
В неавтоматизированном |
кораблевождении |
удобно вме |
|||
сто матрицы /СТ1 пользоваться средним квадратическим |
эл |
||||
липсом |
постоянных ошибок |
в учете |
течения. |
Пусть |
a T i, |
Ьц—его |
главные полуоси. |
Тогда ошибка счисления, |
про |
исходящая от постоянных ошибок в учете течения, оцени вается подобным ему и так же ориентированным в про странстве средним квадратическим эллипсом, главные по луоси которого равны
e c( T)i = |
«Ti'; |
*с,т)1 = М - |
С 2 - 1 1 7 ) |
Совершенно очевидно, |
что |
одноименные |
векториальные |
ошибки (главные полуоси средних квадратических эллип сов ошибок), характеризующие эту ошибку счисления на нескольких частных курсах, при оценивании суммарной ошибки счисления должны складываться линейно.
Несмотря на удобство такой оценки, до сих пор выска
зываются рекомендации |
характеризовать |
постоянные |
||
ошибки в учете течения средними квадратическими |
вели |
|||
чинами ошибок |
в учете его направления и скорости. |
Такая |
||
оценка обладает |
рядом недостатков. Во-первых, |
она |
ведет |
к излишним вычислениям. Во-вторых, она пригодна только тогда, когда ошибки направления и скорости течения вза
имно независимы. В-третьих, в |
тех |
случаях, . когда |
а ц > |
||
>M{Vj), |
эта оценка |
становится |
неприменимой. |
|
|
|
|
|
t |
|
|
Корреляционная |
матрица К |
vT |
(?, К t) dt |
в фор |
муле (2.116) характеризует ошибки счисления, обуслов ленные временной и пространственной изменчивостью те чения. Современные исследования показывают, что поле вектора скорости течения в ограниченном районе океана приближенно можно считать стационарным и локально
94
изотропным [34], [56], [57]; корреляционная функция векто ра скорости течения может рассматриваться как функция двух аргументов: расстояния р между двумя любыми точ
ками |
рассматриваемого |
горизонта и промежутка |
т |
между |
||||
двумя |
любыми |
моментами |
времени. |
|
|
|
||
Исследование |
статистических |
характеристик |
простран |
|||||
ственной изменчивости |
поля |
течения в |
океане, по |
сущест |
||||
ву, только начинается. |
Судить |
о них |
мы можем |
.лишь |
на основании общих теоретических представлений и по аналогии с другими физическими полями, изученными бо лее полно. В частности, можно предположить, что если учитывать не только временную, но и пространственную изменчивость вектора скорости течения, то корреляцион ную функцию любой его компоненты (например, мери диональной) можно аппроксимировать выражениями того
же |
вида, -что |
и при характеристике одной |
только |
времен |
||||
ной |
изменчивости: |
|
|
|
|
|
||
|
|
RVrx |
= °\хе~аЫ |
[cos fk + J L sin p h l] • |
(2-118) |
|||
Дисперсия ошибки счисления, обусловленной этой при |
||||||||
чиной, |
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
J[\R |
d t |
i d |
t " = |
Ы+ |
E 2 - 3 * 2 |
+ |
|
UC(t)X — J J *V a l |
U l |
a 2+ (J2 |
- t " |
„ 2 + p 2 - t - |
00
+- % f £ e~« cos V + - ^ f f в - sin p*] . (2.119)
Соответствующую |
векториальную |
ошибку |
счисления |
|||||||||
можно |
оценивать |
приближенно |
формулой |
|
|
|||||||
|
|
|
m |
, .г |
= + |
; |
' |
т г . |
|
|
(2.120) |
|
Как |
известно |
[8], [57, § 25], параметры |
корреляционной |
|||||||||
функции |
(2.118) |
в |
океане |
могут |
иметь |
значения: от*, |
||||||
а т у — о т |
0,1 до 0,5 уз; а — о т |
0,1 |
до 0,6 ч - 1 |
; {3 — от 0,3 до |
||||||||
0,7 :ч- 1 . Представление |
о том, к |
каким |
ошибкам |
счис |
||||||||
ления это ведет, дает следующий |
пример. При °тх = аТу = |
|||||||||||
= 0,3 уз; а — 0,3 ч - 1 ; § = |
0,4 ч - 1 |
средняя |
квадратическая |
|||||||||
величина оши'бки счисления-составит |
0,6 мили |
за |
1 час |
|||||||||
плавания, |
1,9 мили — за 5 часов, |
2,8 мили — зъ |
10 часов. |
|||||||||
Следует |
иметь в виду, что эта ошибка |
возникает |
не только |
|||||||||
при априорном учете |
течения, |
когда вектор скорости |
тече- |
95
нпя выбирается из навигационных пособии, но и При учете течения, определенного навигационным способом по невяз кам обсерваций или из эпизодических сличений показаний абсолютного и относительного лагов.
Как бы ни были велики успехи науки и техники в соз дании абсолютных лагов и средств определения места ко рабля, они не могут освободить мореплавателей от необ ходимости пользоваться прогнозами течений хотя бы по
тому, |
что |
без |
них |
невозможны |
предварительные |
расчеты |
||||||
плавания корабля. |
|
Характеристики |
течений, приводимые |
|||||||||
в |
пособиях" для мореплавателей, должны |
давать |
ответы |
|||||||||
на |
два |
основных |
вопроса: |
|
|
|
|
|
||||
|
— |
какой вектор |
течения |
следует |
учитывать в |
данной |
||||||
точке |
моря |
(океана) |
в данный |
момент времени? |
|
|||||||
|
— |
каковы |
возможные отклонения - фактического тече |
|||||||||
ния от выбранного |
из пособия и к каким ошибкам |
счисле |
||||||||||
ния они могут |
привести? |
|
|
|
|
|
||||||
|
Способ |
ответа |
на первый вопрос сомнений не вызы |
|||||||||
вает: |
в |
пособиях |
|
должны |
указываться |
статистические |
оценки математического ожидания вектора скорости тече ния как функции даты, поля ветра и (для приливо-отлив ных течений) астрономических факторов. Насколько позво ляет изученность течений, сведения такого рода, помещае мые в .пособиях, потребностям мореплавания удовлетво ряют. Ответа же на второй вопрос из современных пособий штурман, к сожалению, не получает. Так называемые розы течений оказываются практически бесполезными. Чтобы удовлетворить современным требованиям, в пособиях дол жны отображаться следующие статистические характери стики течений:
1. Оценка возможных отклонений приведенной в атла се оценки от математического ожидания вектора скорости течения. Она может указываться элементами матрицы Кц или эквивалентного ей среднего квадратического эллипса постоянных ошибок учета течения. Безусловно, при их оце нивании должны учитываться не только точность и рас сеивание результатов измерений, но и дополнительные ошибки, возникающие в результате приблизительности предположения о стационарности и однородности' поля те чения (вследствие не учитываемой в нашей модели круп номасштабной изменчивости вектора скорости течения по времени и в пространстве). Тогда, пользуясь формулами (2.116) или (2.117), будет нетрудно оценить и соответст вующую ошибку счисления.
96
2. Характеристики временной и пространственной из менчивости вектора скорости течения. Их следует пред ставлять в таком виде, чтобы при минимуме вычислений можно было оценивать корреляционную матрицу ошибок счисления, обусловленных этими причинами, или эквива^ лентный ей средний квадратический эллипс ошибок.
Рассмотренные выше ошибки счисления можно разде лить на следующие основные группы:
— нарастающие пропорционально времени (обуслов ленные постоянными ошибками в учете течения);
—нарастающие примерно пропорционально квадратпому корню от времени (обусловленные временной и про странственной изменчивостью течения, случайными коле баниями ошибок курсоуказания и измерения скорости хода корабля относительно их средних значений);
—нарастающие пропорционально генеральному пла ванию (обусловленные постоянными ошибками курсоука
зания и поправки лага).
Это обстоятельство, следует учитывать при апостериор ном оценивании точности счисления. В печати высказыва лись предложения считать среднюю квадратическую ошиб ку счисления нарастающей пропорционально времени или квадратному корню от времени. Как видно из сказанного выше,' более оправданной следует считать ее аппроксима
цию |
формулой |
|
|
|
Мс = |
Vkxt + k2P, |
(2.121). |
где |
k\, k2 — эмпирически |
определяемые |
коэффициенты. |
§ 2.5. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е МЕСТА КОРАБЛЯ
Пусть несколько линий положения, отягощенных слу чайными и систематическими ошибками, образуют фигу ру погрешностей. Нам необходимо найти обсервованиое место корабля и оценитьошибки обсервованного места.
В общем случае мы не должны пренебрегать ни той ин формацией о месте корабля, которая выражается линия ми положения, полученными в результате измерений нави гационных параметров, ни той, которая отображается счислимым местом корабля. Но в практике кораблевожде ния преимущественное распространение получили прибли женные алгоритмы отыскания обсервованного места, ос нованные на предположении о пренебрежимо малой точ-
•1-858 |
97 |
I - I O C T I I счислпмого .места по сравнению с точностью линии положения.
Будем рассматривать ошибки (смещения) линий положения, обусловленные -ошибками измерений навигацион ных параметров, применяя к ним те же термины, что и к ошибкам измерений. Если смещения нескольких линии по ложения являются попарно независимыми случайными ве
личинами, |
будем |
называть их случайными, |
если |
их взаим |
||||||||||||
ная зависимость |
может |
|
быть |
|
описана |
выражением |
вида |
|||||||||
(1.3),— систематическими. |
Введём |
обозначения, |
несколько |
|||||||||||||
отличные |
от принятых в гл. 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
х, |
у— прямоугольные |
координаты |
места |
ко |
||||||||||
|
|
|
|
рабля (разность широт и отшествие |
||||||||||||
|
|
|
|
относительно точки, принятой за на |
||||||||||||
|
|
|
|
чало |
координат); |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
хс, |
ус |
— координаты |
|
счислпмого |
места |
ко |
||||||||
|
|
|
|
рабля; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
U'[ — измеренное |
значение 1-го навигацион |
||||||||||||
|
|
|
|
ного |
параметра, |
исправленное |
всеми |
|||||||||
|
|
|
|
учитываемыми |
поправками; |
|
|
|
||||||||
Uic = 'h (хс> Ус) — счислимое |
|
значение |
навигационного |
|||||||||||||
|
|
|
|
параметра |
|
(вычисленное |
исходя |
из |
||||||||
|
|
|
|
координат |
|
счислпмого |
места |
ко |
||||||||
|
|
|
|
рабля); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Z f C — счислимое |
|
(определенное |
из предыду |
|||||||||||
|
|
|
|
щих |
наблюдений) |
значение |
амплиту |
|||||||||
|
|
|
|
ды поправки, служащей для компен |
||||||||||||
|
|
|
|
сации |
r-й |
систематической |
ошибки; |
|||||||||
гг(А) |
и |
zr(B)—оценки |
|
поправок |
к величине Zrc, |
полу |
||||||||||
|
|
|
|
ченные способами А и В; |
|
|
г-п |
|
||||||||
|
|
|
Сг — истинное |
значение |
амплитуды |
си |
||||||||||
|
|
|
|
стематической |
ошибки; |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
o*c = |
M[(;r |
+ |
Z r c n , |
|
|
|
(2.122) |
|||||
|
|
^r(A) = = |
^rc + Z |
г(А) > ^ПВ) ~ |
^гс + Z |
г(В)' |
(2-123) |
|||||||||
0 r ( A ) = |
A f [ ( < r + |
|
Z r ( / J ] ; |
< ^ = |
4 ( c / + Z r U J ] . |
(2-124) |
||||||||||
Простейший |
|
случай |
определения |
места |
|
корабля — по |
||||||||||
двум линиям положения, |
когда |
за |
обсервованное |
место |
принимается точка их пересечения. Влияние случайных ошибок измерений на точность обсервованного места мо-
98
жет оцениваться средним квадратическим эллипсом (это описано в любом современном учебнике навигации), кор реляционной матрицей или средней квадратической ошиб кой обсервованного места:
где ol f |
С7г — средние |
квадратические |
величины |
случай |
||
|
ных ошибок измерений первого и второго |
|||||
|
навигационных |
параметров; |
|
|||
gi, |
g2—модули |
градиентов навигационных |
пара |
|||
|
метров; |
|
|
|
|
|
|
б — угол между |
градиентами; |
|
|||
Кхх, |
Куу—диагональные |
элементы |
корреляционной |
|||
|
матрицы |
вектора |
ошибок |
координат |
обсер |
вованного места.
Общий путь оценивания влияния систематических оши
бок выражен формулами (1.19), (1.20) и |
(1.18). |
Поль |
зуясь ими, нетрудно получить выражение |
и для |
векто |
риальной ошибки обсервованного места, обусловленной влиянием некоторой (г-н) остаточной систематической
ошибки |
измерений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
аг С —средняя |
квадратическая величина |
амплиту |
|||||||
|
|
ды г-н |
остаточной |
систематической |
ошибки; |
|||||
frufr? |
— значения, |
которые |
приняла |
функция |
fr(a, |
|||||
|
|
р , .. ) при измерениях |
первого |
и второго на |
||||||
|
|
вигационных |
параметров. |
|
|
|
||||
Частные случаи формулы (2.126) приведены В. Т. Кон- |
||||||||||
драшихиным [39, § |
17]: |
|
|
|
|
|
|
|
||
— |
если f r i = / г 2 = |
+ 1 |
(измерения |
отягощены |
повторяю |
|||||
щейся |
систематической |
ошибкой), |
|
|
|
|
||||
— |
если, кроме того, g\—gz,a |
+ 1 |
(место |
корабля |
опре |
|||||
деляется |
по высотам |
двух |
светил или по расстояниям до |
|||||||
двух |
ориентиров), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m , = |
a,c sec |
2 . |
|
|
(2.128) |
4* |
99 |