Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Скворцов, М. И. Теория и практика решения задач кораблевождения с учетом влияния систематических ошибок учебник

.pdf
Скачиваний:
15
Добавлен:
19.10.2023
Размер:
6.54 Mб
Скачать

где S — счислпмый вектор относительного (относитель­ но водной среды) перемещения корабля за время плавания по счислению;

ус —единичный вектор, направление которого по­

 

лучено

вращением вектора S

на 90° по ча­

Пусть

совой

стрелке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а п , к — с р е д н я я

квадратическая

величина

постоянной

 

ошибки

в

поправке компаса,

град;

 

 

°п . л —средняя

квадратическая

величина

постоянной

 

ошибки в поправке лага, %.

 

 

 

Тогда

векториальные

ошибки

счисления,

обусловлен­

ные влиянием

постоянных

ошибок

в показаниях

компаса

и лага,

будут

равны

соответственно

 

 

 

 

 

« c I W = ± W V « J

 

 

< 2 Л 0 7 )

Как и следовало ожидать, эти формулы оказались ча­

стными случаями общего выражения

(1.20). Они

наглядно

иллюстрируют своеобразие систематических ошибок счис­ ления.

Ошибка счисления после плавания корабля несколь­ кими частными курсами является суммой ошибок счисле­ ния, накопившихся на частных курсах. Если ошибки счис­ ления на двух разных частных курсах взаимно независи­ мы, будем называть их случайными, если коэффициент корреляции между их величинами равен единице,— си­ стематическими.

Рассмотрим пример. Пусть скалярная случайная величи­ на 2 представляет собой результат сложения случайных

величин X и Y. Тогда ее

дисперсия

выражается

форму­

лой

 

 

 

Dz = 4 +

°\ + 2 г х у а Л ,

(2.109)

где ау, ау — средние квадратические

отклонения

слагае­

мых величин от их математических ожида­

ний;

 

 

 

гху—коэффициент

корреляции.

 

. 90

Если /л-у = 0

(слагаемые

величины некоррелированы),

то

 

 

 

 

 

=

4

+

( 2 Л 1 ° )

Если /'л-у=±1 (слагаемые

величины линейно

зависи­

мы), то

 

 

 

 

 

=

 

±°у) я -

(2.1П)

Если ошибки счисления на частных курсах взаимно не­

зависимы, то их

сумма должна характеризоваться

векто­

риальной ошибкой, отыскиваемой как результат квадратического сложения векториальных ошибок слагаемых ве­ личин. Правила такого квадратического сложения, являю­ щегося геометрической интерпретацией сложения корре­ ляционных матриц (§ 3.5) и обобщения формулы (2.110) на двухмерные случайные величины, изложены во многих пособиях [28, стр. 346—347], [34, гл. 1, § 4], [82, стр. 131 — 135], [59, § 60], поэтому нет необходимости останавливать­

ся на

этом вопросе.

 

В рассматриваемом случае так подходить

к оценива­

нию суммарной ошибки нельзя, поскольку

слагаемые

«ошибки

взаимно независимыми не являются

(постоянная

ошибка курсоуказания на всех частных курсах одинакова, то же можно сказать о постоянной ошибке в , поправке лага). Чтобы учесть это обстоятельство, применим способ, который условно назовем векторным (линейным) сложе­ нием векториальных ошибок. Он является графической интерпретацией формулы (2.111).

Пусть надо оценить ошибку счисления, происходящую вследствие постоянной ошибки в поправке компаса. Век­ ториальные ошибки счисления на частных курсах вычис­ лим по формуле (2.107), затем заменим каждую из них вектором, направление которого совпадает с направлением линии курса, повернутым на 90° по часовой стрелке, а мо­ дуль равен модулю векториальной ошибки. Нетрудно убе­ диться, что, если геометрически сложить полученные век­ торы и затем приписать их сумме два взаимно противопо­ ложных направления ( ± ) , получится тот же результат, что и при непосредственном оценивании векториальной ошибки по формуле (2.107), если подставить гуда гене­ ральное плавание корабля.

Аналогично следует поступать и при оценивании влия­ ния систематической ошибки в поправке лага, но заменяя шрп этом векториальную ошибку счисления на очередном1

91

частном курсе вектором, направление которого совпадает с направлением относительного перемещения на этом кур­ се. Таким образом, при оценивании суммы взаимно неза­ висимых (случайных) направленных ошибок должно при­

меняться

квадратическое

сложение

векториальных оши­

бок, их характеризующих;

при оценивании

суммы система­

тических

направленных

ошибок

должно

производиться

геометрическое (линейное) сложение векториальных оши­ бок.

Отклонение zx(t) мгновенного значения ошибки курсоуказания в рассматриваемый момент времени от ее сред­ него значения, как уже упоминалось в § 2.1, может быть описано как стационарный случайный процесс с корреля­ ционной функцией (2.5). Обусловленная этой причиной

ошибка счисления, накопившаяся за

время /, будет равна

i

 

ё а ( 0 = \v^(t)zx(t)-j{t)dt.

(2.112)

о

 

Если заданный рулевому компасный курс неизменен, рассматриваемая ошибка счисления перпендикулярна ли­

нии курса корабля. Если и скорость хода

V

не ме­

няется, то,

выражая величину

о к ( м )

в градусах,

диспер­

сию этой ошибки

счисления

можно

оценить

формулой

 

 

 

 

t (

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

_

57.32 (aJ +

р)

\ 1

~

а? + Р ~

 

+

- J ^

r К*2 -

f)

cos V -

2a? sin щ].

 

(2.113)

Соответствующую векториальную ошибку можно прибли­ женно оценить" формулой

 

 

 

»

+ J

l

A

l /

I E I

• . •

 

С2 114)

 

 

W C 2( K)

 

57,3°

V

a? +\V'

 

 

K*^l*J

Если

считать a K ( M )

=

0,4°; a = 4,6 ч - 1

; р = 5 , 3 ч - 1

и

V p C =

= 20 уз, она будет

равна

0,06

мили

после

1 часа

плава­

ния,

0,12

мили

после 4

часов и т. д. Аналогично

можно

оценить

ошибки

счисления,

возникающие

при'

неавтома-

92

 

 

 

 

'

 

v

 

 

 

 

 

тизированном счислении вследствие неучитываемого рьь екания корабля на курсе.

. Отклонения ошибки курсоуказания от ее среднего зна­ чения, происходящие в моменты времени, удаленные один от другого более чем на час, практически взаимно неза­ висимы.. Следовательно, если время плавания корабля ча­ стными курсами измеряется часами, то взаимно независи­ мыми можно считать и обусловленные этой причиной ошибки счисления, накапливающиеся на каждом, из этих частных курсов. Векториальные ошибки, их характеризую­

щие,

следует

складывать

квадратически.

Ошибка учета ветрового дрейфа, подобно рассмотрен­

ным

выше ошибкам,, также можег быть представлена в

виде

суммы

систематической и случайной составляющих.

Приняв за основу одну из

моделей дрейфа, описанных, в

§ 2.2, нетрудно оценить соответствующие ошибки счисле­ ния.

Перейдем к оцениванию ошибок счисления, происходя­ щих вследствие ошибок в учете течения.

 

Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vT

(ср,

X, t)— истинное

значение

вектора

скорости

тече­

 

 

 

ния в точке моря с географическими коор­

 

 

 

динатами

ср, X в момент

времени

t;

 

 

 

М--—математическое

 

ожидание

вектора

скоро­

 

 

 

сти течения в этой.точке в тот же момент

 

 

 

времени;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vTi

с — счислимое

значение

вектора

скорости

тече­

 

 

 

ния (введенное в автоматический проклад­

 

 

 

чик или счислитель).

 

 

 

 

 

Истинная

ошибка

счисления,

которая

накопится

за вре­

мя

t,

равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

ё) (0 = 1 fr. с-^т (?, К

0] dt

= J (vT.

с -

м-) at

+

 

 

 

о

t

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 9 ) X , t)\dt.

 

 

 

 

 

 

 

+ j [ A f - - ^ T

 

 

 

(2.115)

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первый

член в

правой

части

формулы

(2.115)

выра-

.жает влияние систематической ошибки в учете течения, второй — влияние временной и пространственной, изменчи­ вости течения. Обычно нет причин, которые могли бы по­ вести ко взаимной зависимости векторов ( t / T , е М - ) и

93

[М- — 'X, t)]. Если, кроме того, первый из них в те­ чение времени плавания по счислению остается практи­ чески постоянным (район и условия плавания существенно не изменяются, приливо-отливные течения незначительны), то вектор ст (^) можно оценить корреляционной матрицей

 

 

j vT

(<р, к t) dt

(2.116)

где KTI—корреляционная матрица ошибок оценки мате­

матического ожидания вектора скорости течения.

 

В неавтоматизированном

кораблевождении

удобно вме­

сто матрицы /СТ1 пользоваться средним квадратическим

эл­

липсом

постоянных ошибок

в учете

течения.

Пусть

a T i,

Ьц—его

главные полуоси.

Тогда ошибка счисления,

про­

исходящая от постоянных ошибок в учете течения, оцени­ вается подобным ему и так же ориентированным в про­ странстве средним квадратическим эллипсом, главные по­ луоси которого равны

e c( T)i =

«Ti';

*с,т)1 = М -

С 2 - 1 1 7 )

Совершенно очевидно,

что

одноименные

векториальные

ошибки (главные полуоси средних квадратических эллип­ сов ошибок), характеризующие эту ошибку счисления на нескольких частных курсах, при оценивании суммарной ошибки счисления должны складываться линейно.

Несмотря на удобство такой оценки, до сих пор выска­

зываются рекомендации

характеризовать

постоянные

ошибки в учете течения средними квадратическими

вели­

чинами ошибок

в учете его направления и скорости.

Такая

оценка обладает

рядом недостатков. Во-первых,

она

ведет

к излишним вычислениям. Во-вторых, она пригодна только тогда, когда ошибки направления и скорости течения вза­

имно независимы. В-третьих, в

тех

случаях, . когда

а ц >

>M{Vj),

эта оценка

становится

неприменимой.

 

 

 

 

t

 

 

Корреляционная

матрица К

vT

(?, К t) dt

в фор­

муле (2.116) характеризует ошибки счисления, обуслов­ ленные временной и пространственной изменчивостью те­ чения. Современные исследования показывают, что поле вектора скорости течения в ограниченном районе океана приближенно можно считать стационарным и локально

94

изотропным [34], [56], [57]; корреляционная функция векто­ ра скорости течения может рассматриваться как функция двух аргументов: расстояния р между двумя любыми точ­

ками

рассматриваемого

горизонта и промежутка

т

между

двумя

любыми

моментами

времени.

 

 

 

Исследование

статистических

характеристик

простран­

ственной изменчивости

поля

течения в

океане, по

сущест­

ву, только начинается.

Судить

о них

мы можем

.лишь

на основании общих теоретических представлений и по аналогии с другими физическими полями, изученными бо­ лее полно. В частности, можно предположить, что если учитывать не только временную, но и пространственную изменчивость вектора скорости течения, то корреляцион­ ную функцию любой его компоненты (например, мери­ диональной) можно аппроксимировать выражениями того

же

вида, -что

и при характеристике одной

только

времен­

ной

изменчивости:

 

 

 

 

 

 

 

RVrx

= °\хе~аЫ

[cos fk + J L sin p h l] •

(2-118)

Дисперсия ошибки счисления, обусловленной этой при­

чиной,

равна

 

 

 

 

 

 

 

D

J[\R

d t

i d

t " =

Ы+

E 2 - 3 * 2

+

 

UC(t)X — J J *V a l

U l

a 2+ (J2

- t "

„ 2 + p 2 - t -

00

+- % f £ e~« cos V + - ^ f f в - sin p*] . (2.119)

Соответствующую

векториальную

ошибку

счисления

можно

оценивать

приближенно

формулой

 

 

 

 

 

m

, .г

= +

;

'

т г .

 

 

(2.120)

Как

известно

[8], [57, § 25], параметры

корреляционной

функции

(2.118)

в

океане

могут

иметь

значения: от*,

а т у о т

0,1 до 0,5 уз; а о т

0,1

до 0,6 ч - 1

; {3 — от 0,3 до

0,7 - 1 . Представление

о том, к

каким

ошибкам

счис­

ления это ведет, дает следующий

пример. При °тх = аТу =

= 0,3 уз; а — 0,3 ч - 1 ; § =

0,4 ч - 1

средняя

квадратическая

величина оши'бки счисления-составит

0,6 мили

за

1 час

плавания,

1,9 мили — за 5 часов,

2,8 мили — зъ

10 часов.

Следует

иметь в виду, что эта ошибка

возникает

не только

при априорном учете

течения,

когда вектор скорости

тече-

95

нпя выбирается из навигационных пособии, но и При учете течения, определенного навигационным способом по невяз­ кам обсерваций или из эпизодических сличений показаний абсолютного и относительного лагов.

Как бы ни были велики успехи науки и техники в соз­ дании абсолютных лагов и средств определения места ко­ рабля, они не могут освободить мореплавателей от необ­ ходимости пользоваться прогнозами течений хотя бы по­

тому,

что

без

них

невозможны

предварительные

расчеты

плавания корабля.

 

Характеристики

течений, приводимые

в

пособиях" для мореплавателей, должны

давать

ответы

на

два

основных

вопроса:

 

 

 

 

 

 

какой вектор

течения

следует

учитывать в

данной

точке

моря

(океана)

в данный

момент времени?

 

 

каковы

возможные отклонения - фактического тече­

ния от выбранного

из пособия и к каким ошибкам

счисле­

ния они могут

привести?

 

 

 

 

 

 

Способ

ответа

на первый вопрос сомнений не вызы­

вает:

в

пособиях

 

должны

указываться

статистические

оценки математического ожидания вектора скорости тече­ ния как функции даты, поля ветра и (для приливо-отлив­ ных течений) астрономических факторов. Насколько позво­ ляет изученность течений, сведения такого рода, помещае­ мые в .пособиях, потребностям мореплавания удовлетво­ ряют. Ответа же на второй вопрос из современных пособий штурман, к сожалению, не получает. Так называемые розы течений оказываются практически бесполезными. Чтобы удовлетворить современным требованиям, в пособиях дол­ жны отображаться следующие статистические характери­ стики течений:

1. Оценка возможных отклонений приведенной в атла­ се оценки от математического ожидания вектора скорости течения. Она может указываться элементами матрицы Кц или эквивалентного ей среднего квадратического эллипса постоянных ошибок учета течения. Безусловно, при их оце­ нивании должны учитываться не только точность и рас­ сеивание результатов измерений, но и дополнительные ошибки, возникающие в результате приблизительности предположения о стационарности и однородности' поля те­ чения (вследствие не учитываемой в нашей модели круп­ номасштабной изменчивости вектора скорости течения по времени и в пространстве). Тогда, пользуясь формулами (2.116) или (2.117), будет нетрудно оценить и соответст­ вующую ошибку счисления.

96

2. Характеристики временной и пространственной из­ менчивости вектора скорости течения. Их следует пред­ ставлять в таком виде, чтобы при минимуме вычислений можно было оценивать корреляционную матрицу ошибок счисления, обусловленных этими причинами, или эквива^ лентный ей средний квадратический эллипс ошибок.

Рассмотренные выше ошибки счисления можно разде­ лить на следующие основные группы:

— нарастающие пропорционально времени (обуслов­ ленные постоянными ошибками в учете течения);

нарастающие примерно пропорционально квадратпому корню от времени (обусловленные временной и про­ странственной изменчивостью течения, случайными коле­ баниями ошибок курсоуказания и измерения скорости хода корабля относительно их средних значений);

нарастающие пропорционально генеральному пла­ ванию (обусловленные постоянными ошибками курсоука­

зания и поправки лага).

Это обстоятельство, следует учитывать при апостериор­ ном оценивании точности счисления. В печати высказыва­ лись предложения считать среднюю квадратическую ошиб­ ку счисления нарастающей пропорционально времени или квадратному корню от времени. Как видно из сказанного выше,' более оправданной следует считать ее аппроксима­

цию

формулой

 

 

 

Мс =

Vkxt + k2P,

(2.121).

где

k\, k2 — эмпирически

определяемые

коэффициенты.

§ 2.5. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е МЕСТА КОРАБЛЯ

Пусть несколько линий положения, отягощенных слу­ чайными и систематическими ошибками, образуют фигу­ ру погрешностей. Нам необходимо найти обсервованиое место корабля и оценитьошибки обсервованного места.

В общем случае мы не должны пренебрегать ни той ин­ формацией о месте корабля, которая выражается линия­ ми положения, полученными в результате измерений нави­ гационных параметров, ни той, которая отображается счислимым местом корабля. Но в практике кораблевожде­ ния преимущественное распространение получили прибли­ женные алгоритмы отыскания обсервованного места, ос­ нованные на предположении о пренебрежимо малой точ-

•1-858

97

I - I O C T I I счислпмого .места по сравнению с точностью линии положения.

Будем рассматривать ошибки (смещения) линий положения, обусловленные -ошибками измерений навигацион­ ных параметров, применяя к ним те же термины, что и к ошибкам измерений. Если смещения нескольких линии по­ ложения являются попарно независимыми случайными ве­

личинами,

будем

называть их случайными,

если

их взаим­

ная зависимость

может

 

быть

 

описана

выражением

вида

(1.3),— систематическими.

Введём

обозначения,

несколько

отличные

от принятых в гл. 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х,

у— прямоугольные

координаты

места

ко­

 

 

 

 

рабля (разность широт и отшествие

 

 

 

 

относительно точки, принятой за на­

 

 

 

 

чало

координат);

 

 

 

 

 

 

 

 

хс,

ус

— координаты

 

счислпмого

места

ко­

 

 

 

 

рабля;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U'[ — измеренное

значение 1-го навигацион­

 

 

 

 

ного

параметра,

исправленное

всеми

 

 

 

 

учитываемыми

поправками;

 

 

 

Uic = 'h (хс> Ус) — счислимое

 

значение

навигационного

 

 

 

 

параметра

 

(вычисленное

исходя

из

 

 

 

 

координат

 

счислпмого

места

ко­

 

 

 

 

рабля);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z f C счислимое

 

(определенное

из предыду­

 

 

 

 

щих

наблюдений)

значение

амплиту­

 

 

 

 

ды поправки, служащей для компен­

 

 

 

 

сации

r-й

систематической

ошибки;

гг(А)

и

zr(B)—оценки

 

поправок

к величине Zrc,

полу­

 

 

 

 

ченные способами А и В;

 

 

г-п

 

 

 

 

Сг — истинное

значение

амплитуды

си­

 

 

 

 

стематической

ошибки;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o*c =

M[(;r

+

Z r c n ,

 

 

 

(2.122)

 

 

^r(A) = =

^rc + Z

г(А) > ^ПВ) ~

^гс + Z

г(В)'

(2-123)

0 r ( A ) =

A f [ ( < r +

 

Z r ( / J ] ;

< ^ =

4 ( c / + Z r U J ] .

(2-124)

Простейший

 

случай

определения

места

 

корабля — по

двум линиям положения,

когда

за

обсервованное

место

принимается точка их пересечения. Влияние случайных ошибок измерений на точность обсервованного места мо-

98

жет оцениваться средним квадратическим эллипсом (это описано в любом современном учебнике навигации), кор­ реляционной матрицей или средней квадратической ошиб­ кой обсервованного места:

где ol f

С7г — средние

квадратические

величины

случай­

 

ных ошибок измерений первого и второго

 

навигационных

параметров;

 

gi,

g2—модули

градиентов навигационных

пара­

 

метров;

 

 

 

 

 

 

б — угол между

градиентами;

 

Кхх,

Куу—диагональные

элементы

корреляционной

 

матрицы

вектора

ошибок

координат

обсер­

вованного места.

Общий путь оценивания влияния систематических оши­

бок выражен формулами (1.19), (1.20) и

(1.18).

Поль­

зуясь ими, нетрудно получить выражение

и для

векто­

риальной ошибки обсервованного места, обусловленной влиянием некоторой (г-н) остаточной систематической

ошибки

измерений:

 

 

 

 

 

 

 

 

где

аг С —средняя

квадратическая величина

амплиту­

 

 

ды г-н

остаточной

систематической

ошибки;

frufr?

— значения,

которые

приняла

функция

fr(a,

 

 

р , .. ) при измерениях

первого

и второго на­

 

 

вигационных

параметров.

 

 

 

Частные случаи формулы (2.126) приведены В. Т. Кон-

драшихиным [39, §

17]:

 

 

 

 

 

 

 

если f r i = / г 2 =

+ 1

(измерения

отягощены

повторяю­

щейся

систематической

ошибкой),

 

 

 

 

если, кроме того, g\—gz,a

+ 1

(место

корабля

опре­

деляется

по высотам

двух

светил или по расстояниям до

двух

ориентиров),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m , =

a,c sec

2 .

 

 

(2.128)

4*

99

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ