книги из ГПНТБ / Паньков, Н. П. Ремонтопригодность автомобильной техники учебное пособие

00

(1.29)

М{%}= J t f ( t ) d t .

О

Подставив в зависимость (1.29)

выражение

(1.28),

получим

оо

-I

М {*} = J t \ e ~ Xt dt = l f

te~lt d t = - f

(1.30)

О

0

Плотность экспоненциального распределения для различных

значений .параметра

X. приведена на

рис. 1.7.

Рассмотренная схема

минованных

отказов

по­

зволяет обратить .внима­

ние

на

следующие

два

момента:

1) отказ детали на­

ступает

не в

результате

постепенного

изменения

ее

свойств

(износа,

структуры и т. д.), а

лишь как следствие внеш­

него

случайного

воздей­

ствия, имеющего величи­

ну

больше

допустимой;'

2) уровень

предельно

допустимой

нагрузки

Qn

остается

постоянным

в течение всего

времени

эксплуатации

машины.

Отсюда 'следует важ-

т яый для практики вывод.

При

экспоненциальном

Рис. 1.7. Плотность экспоненциального рас­

распределении

времени

безотказной

работы

нет

пределения для различных значений пара­

метра X.

смысла

прибегать

к

предварительной

заме-

Обозначим

через д долю

дефектных деталей, а через

1

— д

долю высококачественных.

Вели из общей совокупности изготовленных деталей выбрать

одну, то она

с вероятностью

1—д будет .принадлежать ко

II

и с

Т у

наугад выбранного

экземпляра

машины

определится

по

формуле

Р(Т) = ( 1 - д ) Р 1(Т) + дР,(Т) ,

(1.31)

где

Рг (Г) — вероятность безотказной работы

детали,

не

име­

ющей технологических дефектов;

с техно­

Р3 (Т) — вероятность безотказной работы деталей

логическим дефектом.

Плотность распределения времени безотказной работы в этом

случае определяется по

формулам:

при

Т < О

f ( T ) = 0

;

при

Г > О

(1.32)

f(T) = (\ — д)11е - 1'т+ дХ2е-'^т ,

гическими дефектами;

Т2 • **т N-Ni — время

безотказной

работы деталей

Тогда

тов.

N - N ,

д

•

ч ...

Л2

(1.33)

д/

jv- ^

5

JV,

>

2

^

7=1

(=1

СХЕМА ВОЗНИКНОВЕНИЯ

ИЗНОСНЫХ

ОТКАЗОВ

И ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ

Износ удовлетворительно 'сконструированного сопряжения

характеризуется, как правило, тремя периодами:

I —периодом

приработки,

II —периодом

установившегося или

нормального из­

носа

и

III—периодом

ф орсир01Ванно/го

износа.

На рис. 1.9 приведе­

на типичная кривая из­

носа.

приработки I

Период

характеризуется

тем,

что

трущиеся

поверхности

приспосабливаются

друг

к другу и к условиям на­

гружения. В них проис­

ходят изменения в на­

правлении

создания

оп­

тимальной

для

данных

условий

работы шерохо­

ватости

и

микротвердо­

сти. Скорость износа в

этот

период

постепенно

уменьшается

и

отличает­

Рис. 1.9.

Типичная кривая износа и соответ­

ся

взаимной

зависимо­

стью

приращений

из­

ствующая ей кривая отказов.

носа.

На рис. 1.10 показано изменение интенсивности износа в ходе

приработки.

В начале

приработки

(на участке

Tv Тх-f- Д Т)

при­

ращение

износа

состави­

ло

A v 1(t),

а

в конце

приработки

(на

участке

Т2, r 2 +

A T ) - A v 2(t).

При этом приращение из­

носа

Д v2{t)

зависит

от

того, какова была его ве­

личина

в предшествую­

щий момент времени.

Период установивше­

гося или нормального из­

носа

II

характеризуется

постепенным

ростом

за­

зора

в

сопряжении

без

изменения

физической

картины

взаимодействия

трущихся деталей. Вэтой

Рис. 1.10.

Изменение!

интенсивности износа

зоне

величина

прираще-

в ходе

приработки.

ния износа Д©!^)

не влияет сколько-нибудь ощутимо

на

вели­

чину приращения

Изменения, которые протекают

в соп­

ряжении, носят в основном количественный характер.

разрушения

сопряжения.

Из

-рис.

1Л1 следует, чт-о .приращение износа на участ­

ке 7\,

Тх А- Д Т вызывает еще .большее увеличение интенсивности

износа на участке Т2, Г2 -f- АТ.

ностей, рост шероховатостей и, в

конечном

счете,

разрушается

подшипник.

т

(рис. 1.12) при равномерном

Межремонтный -срок -службы

износе сопряженной пары определится по выражению

с

_

с

° т а х

° н

(1.34)

2tg а

Следовательно,

для определения

t необходимо

знать Д’н — на­

чальный

зазор по-сле приработки;

— предельно допустимый

V(i)i

dVzk)

^

iVM

Рис. 1.11.

Реализация

процесса износа

Рис. 1.12.

Изменение зазора в со­

в период разрушения сопряжения.

пряжении в зависимости от времени

ного

износа своевременным

восстановлениемсопряжения.

/Рассмотрим, каким законам подчиняется время безотказной

работы детали в

период ее нормальной работы.

На рис. 1.13 приве­

h

дена

расчетная схема,

из

которой

следует,

что

размер

предельно

„Ал

допустимого

и з но с а

можно

разделить

на

А

„/■“ одинаковых поясов

5

„у“, х а р а к т е р и з у ю ­

А

_______

щих

собою

прирост

4

3

7л

износа. Н а к л о н н а я

2 — А^

пунктирная

линия со­

0 ^

г

ответствует

средней

величине износа,

на­

~ Т+АТ ^

копленного за время t.

б

\

Случайные

изменения

величины т) (t) около

этой

прямой

обуслов­

Рис. 1.13. Расчетная схема износа деталей,

лены случайностью мо­

скачкообразного

изменения

износа.

мента

возникновения

Г до Г -f-

Вероятность

возникновения скачка за время от

+ Д Т будет равна

Т(Г) =

Т = ХЛ7. +

0(Д Т)

(1.35)

и ,не будет зависеть от того,

сколько таких скачков было на участ­

Тогда величина износа в момент времени Т будет

■n{T)=yW(T) .

(1,36)

Прирост износа за время Д Т определится как разность

7](Г+ДГ) — M T) = y [ W { T + L Т ) - W(T)] .

(1.37)

щение, равное 0 с вероятностью 1 — f. Поэтому

математическое

ожидание приращения износа

будет равно

М Ы Г + Д П - т ] ( 7 ' ) } = тз/ +

(1 -_ у )0 = \ кАТ +0 { АТ) } у . (1.38)

Бели принять ,во внимание,

что -математическое

ожидание раз­

M{- q( T+A Г)}— M h ( 7 ) }

= [ХД7’+ 0 ( ДГ ) ] у .

(1.39)

Разделив

обе части равенства

на

А Т и перейдя к

пределу

при А Т -> 0,

получим

dM |т] Г}

= 1у

(1.40)

dT

Из зависимости (1.40) следует, что

Ху от времени не зависит,

Эволюция износа детали (см. рис.

1.13)

описывается цепочкой

•$0

-> S 2 - > . . . .

Sr->

... ,

мпновенного

повреждения.

Поэтому время безотказной работы должно исчисляться до мо­

мента получения г-го по счету приращения износа.

В этом случае вероятность перехода

Sk — Sk+ 1 за время А Т

определяется

формулой

Ч(Т) = \ А Т + 0(АТ) .

(1.41)

Причем

состояние

износа

детали

будет

характеризоваться

функциями

{Рь (Т)ХК — 0,1, 2. ..) , где

Рк (Т)

есть не что иное,

как вероятность того,

что к моменту Т деталь

будет находиться

в состоянии

Sk .Чему равно

Я* (Г)?

накопленных к моменту Т повреждений

(в

нашем

случае число

ступеней износа) на детали.

Т) — х ( Т)

на

интервале времени

Приращение

х ( Т А

от Г до Т 4- А Т

является

суммой

приращений

х (А Т) — х (Т)

и х ( Т 4- А Т) — х (А Т), соответствующих интервалам от Г до

А 7

и о т Д 7 ' д о 7 + А 7 ' .

того,

что

х(Т-{-А Т) — х(А Т)

Пусть hn{T) — вероятность

примет значение

«(где

« = 1 , 2 , 3 . . . ) .

х ( Т + А Т ) — х ( АТ)

w

Аналитически

зависимость

величин

х ( АТ) — х(Т) может быть выражена

системой равенств

М Т + д Т) = 2

hj (А Т)

(Т) .

(1.42)'

i=o

Р*(Т) = Ч { !

6

при ЛС>0 .

(1.43)

Сумма вероятностей Р0 (Т) + (Т)

Pr l

(Т) есть не что

P{ *>T} = % P k(T) .

(1.44)

fc= 0

■

( 1 ' 4 5 )

т

1

F ( T ) = \ f ( T ) d t = - ~ ^ T r- 1 ех 7

dt .

(1.46)

о

о

Плотность же этого распределения при

Г < 0 равна 0,

а при

Т > 0 имеет вид

/( П = гТТ) xr

е~ХТ

'

(1-47)

Г (>) — гамма-функция,

определяемая

формулой

Г (г) = J

x r ~l

е~х

dt

,

(1.48)

о

Для целых г справедливо соотношение

Г (г) =

(г — 1) !

(1.49)

В наиболее общем виде плотность гамма-распределения может

быть записана так

___ ^

,

(1.50)

)

Г (а 4-1)

где а и р — параметры

распределения,

которыми

могут быть

любые положительные числа.

Математическое ожидание

М {т}

и дисперсия гамма-распреде­

ления D {т} равны

f -

;

.

(1.51)

ния,определяемаяуравнением

(1.47), стремится

<к

виду

= в

.

(1.52)

г

U

(Г-С)2

f ( T)

=

е

232

.

(1.53)

т/2 7Г О

Сопоставляя уравнения (1,52)

и

(1.53), маходам, что

C = - f

, а

=

у

.

(1.54)

3. При малых значениях а

по сравнению со средним

временем безотказной работы

С — М (т) значения

плотности f(T)

Таким

образом, функции f (t) и

F(t)

задают распределение

Случайной .величины т

при условии, что ее значения не выходят

за пределы заданного

промежутка

Тх и Ту, т. е. они являются

функциями условных распределений.

3.

Определяются

значения начальных и центральных момен

тов. При

этом,® первую

очередь, находятся

значения первых двух