книги из ГПНТБ / Пакулов, Н. И. Мажоритарный принцип построения надежных узлов и устройств ЦВМ

1) исправив! три кайала й восстанавливающий opraii (ВО);

2)исправны два канала и ВО, один канал восста­ навливается;

3)исправны три канала; ВО восстанавливается с ин­

тенсивностью восстановления рь 4) исправны два канала; ВО и один из каналов вос­

станавливаются; б) исправен один канал и ВО, два других канала

неисправны, один из каналов восстанавливается с ин­ тенсивностью р;

6) исправен один канал, два других канала и ВО неисправны, один из каналов и ВО восстанавливаются;

7)исправен ВО, все три канала неисправны, один из каналов восстанавливается;

8)неисправны три канала и ВО, один из каналов и ВО восстанавливаются.

Рассматриваемый полумарковский процесс содержит эргодическую марковскую цепь, так как все состояния процесса являются сообщающимися. Составим матрицу

Рис. 3.4. Граф переходов трехканалыюй мажоритарной си­ стемы с одним восстанавли­ вающим органом.

вероятностей переходов Рм данного процесса. Матрица вероятностей перехода определяется из следующих со­ ображений [49]. Если в t-м состоянии процесс находит­ ся в течение случайного времени имеющего показа­ тельное распределение с параметром А,-, равным сумме интенсивностей переходов во все соседние состояния, то функция распределения безусловного времени пребы­ вания процесса в i-м состоянии определится следующим образом:

а среднее значение времени пребыванияпроцесса в i-u состоянии

00

(3.17)

О

161

При известных интенсивностях переходов kij вероят­ ность перехода процесса за один шаг из состояния i в состояние / определяется из следующего выражения:

Рц —'Kijflti*

Матрица вероятностей переходов Рм в данном случае имеет следующий вид:

Множество возможных состояний мажоритарной си­ стемы Rc={i} разбиваем на два подмножества Ri и R2 так, что /?(,= ./?! (J R2. Подмножество /?1={1, 2} включает в себя состояния нормального функционирования,, при которых число исправных каналов не менее двух и ис­ правен ВО, а подмножество /?2= {3, 4, ..., 8} — состояния «ненормального» функционирования {<иотказовые» состо­ яния системы). На рис. 3.4 отказовые состояния обозна­

162

где I — единичная матрица; Ры{Ra)— матрица Рм с вы­

черкнутыми столбцами и строками, номера которых со­ ответствуют отказовым состояниям (/, /еТ?2), определим среднее время до первого отказа ММС. При начальном состоянии системы ( = 1 (исправны три канала и ВО) среднее время до первого отказа Т\, т. е. до первого попадания в подмножество R2, будет равно

где Ч),г — i-й элемент первой строки матрицы АД. Эле­ менты «1,, матрицы NMопределяют среднее число попа­ даний процесса в состояние г из начального состояния «1» до поглощения в подмножестве состояний R2.

Матрица (I—Рм(1, 2))~* имеет вид

= 773,67 ч. При ц=Ц1=0время 7’, = 78ч. Таким образом, при выбран­ ных исходных данных для восстанавливаемой мажоритарной системы

163

и среднего времени восстановления Г3 могут быть полу­ чены на основании матрицы РмЕсли в качестве опор­ ного состояния выбрать состояние г|\ то искомые време­ на определятся из матрицы

где Ям(ф) — матрица Рм с вычеркнутыми г|)-й строкой и 1|)-м столбцом.

Значение -ф выбирается из соображений, что в данной строке матрицы Рм имеется минимальное количество не­ нулевых элементов. В данном случае г|з = 8. Тогда

/* I (Ai^Ps ,Tj rAit6P t ,e) P ^ t

i=i

164

где

Окончательное выражение для наработки на отказ Т2 принимает следующий вид:

Р — '~Ч

S ( yl''’ i l 7 T p + Л -S6Р, + Р

S G 4'’7 кч + к- +i4<,*Pi + р ) mi + m‘hQ i=i

(3.27)

Полученные соотношения справедливы и для систем без восстановления, если принять p = pi= 0 . Определе­ ние численных значений величин Л, Т2, Т3 по формулам

165

(3.22), (3.25) — (3.27) для широкой области изменений значений X, h, ц и целесообразно проводить на уни­ версальной ЦВМ.

ММС с тремя восстанавливающими органами

Произведем оценку надежности ММС с тремя ВО (рис. 3.3). Группа ВО в мажоритарной системе откажет только тогда, когда откажут все три ВО (на входе кана­ ла выходные сигналы ВО объединяются с помощью

элемента ИЛИ).

стремя восстанавливающими чают следующие состоя­

ВО; 13 — исправны один канал и один ВО; 14 — отказа­ ли три канала и исправен один ВО; 15 — исправен один

множество Rz — состояния 7—16. Отказовые состояния системы (подмножество /?г) на рис. 3.5 показаны двой­ ными кружками. Матрица переходных вероятностей Р„ для данного случая имеет вид

166

Здесь

Учитывая соотношение (3.21), получим окончательноевыражение для Тt рассматриваемой системы

168

Для определения наработки па отказ Т2 и среднего времени восстановления Т3 используем приведенную ма­ трицу QM1. Состояние з|)=16 выбираем в качестве опор­ ного. В этом случае матрица QMi имеет вид

При i— 1 Pi,3 = 0 для всех / = 7 ... 15; при t= 2, Р2,у- = 0 , если /=у=9. Для j — 9

Р 2,9 — 2Х/ ( 2 Х + З А .1 + ц ) ;

при г —3 Рз,з= 0 для всех \ — 7 ... 15; при i= 4 Pi,j= 0,

если 11. Для j — 11

Р4,11=2Я/(2'А,-|- 2?ii+ (.i-|- pi);

при 1 = 5 As,j= 0, если ]'Ф 7. Для / = 7

Рь,ч— Xi/(3X+Xi + (J-i);

при i— 6 P e , j — 0, если } ф 8 и /=£13. Для / = 8

Pe,s=^\l (2^,+Xi + ц+ pi).

Для / = 13

Рб,1з=2Я,/ (2Я+ А,1 + ц + Ц1).

Среднее время восстановления ММС с тремя feO можно найти из следующего соотношения:

15

Т2 (4 ч Л ,,.» + Ai,»p n.i%)n4 + ml%bQJ ^ R A. (3.35)

Коэффициент готовности МС с тремя ВО определяет­ ся по формуле

в

( - ^ i , 1 4 ^ 1 6 , 1 4 + ■ ^ l , 1 5 ^ 3 l « 11 6 ) m l - b , n l 6 ^ Q M i

1=1

Формулы (3.31), (3.33), (3.35), (3.36) справедливы «для ММС без восстановления при p.= p,i=0.

Аналогично можно произвести оценку основных ко­ личественных характеристик пяти- и семиканальных ма­ жоритарных систем.

Рассмотренный метод оценки основных количествен­ ных показателей надежности ММС отличается просто­ той организации вычислений и сводится лишь к опера­ циям над матрицами NMи QM, которые определяются на основании матрицы Рм.

Вычисления основных показателей надежности функ­ ционирования ММС при известной матрице переходных вероятностей Рм можно производить в следующем по­

2.Осуществляется разбиение множества всех воз­ можных состояний на подмножество состояний Pi нор­ мального функционирования ММС и подмножество со­ стояний Р2 ненормального функционирования ММС.

3.На основании матрицы Рм записывается фунда­

ментальная матрица поглощающей марковской цепи

матрицы AM(i<=Pi) и согласно (3.20) или (3.31) опре­ деляется средняя наработка до первого отказа 7\ ММС.

176