книги из ГПНТБ / Лукьянов, П. И. Аппараты с движущимся зернистым слоем. Теория и расчет
.pdfповерхности сдвига равны или несколько больше сил внутреннего трения. После нарушения равновесия движение происходит
Рис. 32. Схемы к определению направлений площадок сдвига при помощи кру гов Мора (А —А и А '—А ' — семейства поверхностей скольжения)
безостановочно с постоянной скоростью без дальнейшего увели чения напряжения. Такое движение, называемое пластическим деформированием, развивается по
Рис. |
33. Схема к определению |
Рис. 34.. Сечения с наиболь- |
|
направлений |
главных площадок |
шими углами отклонения |
|
при |
заданном |
направлении сдвига |
|
достигает критического значения, определяемого общим условием равновесия
Ѳтах = ф. |
(23) |
На всех других сечениях, проходящих через данную точку, равновесие может быть устойчивым.
57
Для определения угла &0наклона опасного сечения (рис. 34) используют общее правило нахождения экстремального значе ния функции
d (tg Ѳ) da
Так как
|
(cfj — 03) sin а cos а _(щ — а3) tg а |
(24) |
||
|
o1cos2а + а3 sin2а |
ах + а3 tg2а ’ |
||
|
|
|||
то, учитывая условие |
(23), получим |
|
|
|
°Т + |
°з tg 2 «о = 2ст3 tg2 а о, |
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
tg а0= ± |
|
|
(25) |
Это выражение показывает, что через каждую точку сыпучего |
||||
тела можно провести два сечения /— I |
и II—II, |
по которым наи |
||
более вероятно разрушение. |
|
= tg a 0 из фор |
||
Подставляя в формулу (24) величину tg a |
||||
мулы (25), получим выражение для определения наибольшего угла отклонения Ѳтах на поверхности сдвига в состоянии предель ного равновесия
t§ Ѳтах — |
(qi-°»> |
Ѵ т ; |
qi — g3 |
(26) |
|
щ + 03± |
У ^ |
2V<h<h |
|||
|
|
||||
|
|
|
Используя условие (23), из формулы (26) получим следующие выражения:
в случае активного давления, когда а х > а 3(рис. 35, а)
‘8’ (-Т + ! ) > '
и следовательно,
а'о = |
я |
Ф_- |
т + |
2 ’ |
в случае пассивного сопротивления, когда а 3> о г (рис. 35, б)
Тз
и
а3= |
л |
Ф_ |
Т |
2 ' |
58
Гипотеза прочности Мора (как и гипотеза наибольших главных напряжений) учитывает только два из трех главных напряжений. Предполагают, что среднее по величине главное напряжение о 2 не влияет на предел прочности.
Результаты многих экспериментов в основном подтверждают эту гипотезу, хотя возможность уточнения критерия прочности на основе других гипотез не исключается. В частности, много внимания уделялось применению к грунтам условия прочности Губера—Мизеса, согласно которому критерием перехода к пла
Рис. 35. Предельное равновесие сыпучей среды:
а — активное давление (0! |
> <та); б — пассивное сопротивление (сга ;> сгх) |
1 |
— направление сдвига |
стическому деформированию является накопление в единице объема тела предельного количества потенциальной энергии упру гого формоизменения
А = [К - а2)2+(о1—о8)2+ (о2—о3)2].
Применяя это выражение к случают действия продольной силы (ох — ар; сг2 = о3 = 0), получают следующее выражение упругой энергии формоизменения:
А =
Поэтому общее условие прочности, выраженное через предел пропорциональности ор, имеет вид
( о 1— оу)2 + (о2 о3)2 + (о8 — Оі)2 < 2Op.
Если за направление координат принимают направления глав- V ных напряжений оу, о 2 и о3, то октаэдрические напряжения по площадке, нормаль к которой образует равные углы с направле-
59
ниями координат (площадке октаэдра), определяются выраже ниями:
т<жт = |
— CTä)2+ — стз)2+ (ст3—сті)3; |
|
|
а 0кт = |
(а 1 ~Ь а 2 + стз)- |
В теории пластичности принимают не октаэдрическое каса тельное напряжение т0КТ и октаэдрическую деформацию сдвига £ окт, а прямо пропорциональные им величины: интенсив ность касательных напряжений
S x = У Ч г |
_ 0*)* + (02 “ 0з)2 + (° 3 — <*1? |
и интенсивность деформации сдвига
Ех = У 4 “ К«і—ег)2+ (Ч —е3)а+ (е8—exf ,
где е1г е2, е3— главные деформации. При этом
Сравнение критериев прочности Мора и Губер—Мизеса для случая плоского напряженного состояния (сх3 = 0) при оу = 0 приводит к следующим выражениям:
по Мору
Y <ѣ+ |
tâ y < |
<Ѵ |
(27) |
по Губер—Мизесу |
|
|
|
У~°* + |
3г*у < |
0 р - |
( 2 8 ) |
Следовательно, величина ар, определяемая по формуле (27), несколько больше определяемой по формуле (28).
По теории Губер—Мизеса предельная поверхность / (аъ а 2, а3) = 0, на границе которой появляется пластическая деформа ция, представляет собой поверхность кругового цилиндра. Ось этого цилиндра наклонена под одинаковыми углами к направле ниям координатных осей оу, сг2> °з- По теории Мора предельной поверхностью является правильная шестигранная призма, ось которой также составляет с координатными осями равные углы.
60
Октаэдрическое напряжение т0КТ мало отличается от макси мального касательного напряжения ттах, причем их отношение изменяется в пределах
0,94] > JÜ2ÜL > 0,816.
°т а х
Исходя из представления о напряженном состоянии на окта эдрической площадке, А. И. Боткин составил новое условие проч ности, согласно которому пластическое деформирование мате риала начинается с момента, когда т0КТ составляет некоторую вполне определенную для данного материала долю tg срокт от
о = — (оу + сг2+ сг3) на той же октаэдрической площадке. Для несвязных сыпучих материалов
токт «£ tg ера и для связных сыпучих сред
^ 8 Фокт С окт)»
где Сокт •— сцепление на октаэдрической площадке; tg фокт — коэффициент внутреннего трения на октаэдрической площадке.
Предельное напряженное состояние сыпучей среды наступает при максимальном значении функции
0 + Я -
В общем случае пространственного напряженного состояния связной сыпучей среды
V |
4 - - 0г)2 + (02 - |
°з)2 + (а, - Щ)3 |
Ф — 1 — |
°------------------------------------------------------ |
, |
|
°1 + °2 + аз + |
ЗЯ |
где
Н^ 0КТ *-t§ Фокт-
М. В. Малышев показал, что условие прочности Губера— Мизеса—Боткина для сыпучих грунтов применять не следует.
Изменение порозности слоя при сдвиговых деформациях* Критическая порозность
Критическое напряжение сдвига зависит не только от нормаль ного напряжения, но и от плотности зернистого слоя, его пороз ности. Сдвиговые деформации в слое, имеющем порозность больше критической (рис. 36, а), вызывают уплотнение среды до «разно весного» состояния, при котором порозность слоя становится равной критической. Если порозность слоя меньше некоторой критической величины (рис. 36, б), то при сдвиге происходит разупрочнение сыпучего тела (ДѴ > 0).
61
Критическая плотность слоя, достигаемая после большой сдвиговой деформации, не зависит от начального состояния, в частности, от величины сил сцепления. Поэтому понятие крити ческой плотности применимо к массивам квазидискретных твер
дых тел.
Обобщенное условие прочности сыпучей среды выражается поверхностью, построенной в прямоугольных координатах т—а—е (рис. 37). На этой поверхности отмечена линия 1 крити ческой порозности. Если начальная порозность слоя сыпучего материала в сдвиговом приборе больше критической (точка А), то при консолидации этого слоя
Рис. 36. Графики изменения объема |
Рис. 37. Поверхность предельного |
сыпучего тела при сдвиговой дефор |
состояния |
мации |
|
под действием постоянного нормального напряжения аппроисхо дит уплотнение его до порозности, соответствующей точке В.
Влияние возвратных сдвиговых смещений нагрузочного диска характеризуется графиком на рис. 38. Он построен в плоскости постоянного нормального напряжения, проходящей через точки В и N на рис. 37. Линия CD (см. рис. 38) образована пере сечением указанной плоскости с поверхностью прочности Хворслева, а точка С лежит на линии критической порозности. Если начальное состояние сыпучего тела соответствует точке В, то каждое смещение нагрузочного диска вызывает небольшое изме нение порозности (BJ). Если возвратные смещения прекращаются в положении G и образец затем подвергается сдвиговой деформа ции, порозность слоя снижается (точка С -— состояние разру шения). Дальнейшие сдвиги происходят при постоянных значе ниях касательного напряжения и порозности слоя. Величина
62
сдвига в приборе ограничена, и если перемещение прекращается перед точкой С, разрушение образца не происходит; при этом зависимость между напряжением т и деформацией е изображается линией А на рис. 36, а. При низкой начальной порозности слоя (точка К на рис. 38) консолидационные возвратные перемещения нагрузочного диска вызывают разуплотнение слоя. Если ука занные перемещения прекращаются в точке L и образец разру шается, его порозность возрастает и сдвиговое напряжение повы шается до точки М на поверхности разрушения. Затем пороз ность возрастает и сдвиговое напряжение снижается по линии MC. В точке С порозность слоя и напряжение сдвига достигают по
стоянных |
критических |
значе |
|
|
|
|
|
|
|
||||
ний. |
образом, подготовка |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Таким |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
образца к испытанию в сдвиго |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
вом приборе |
сводится к дости |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
жению критической порозности |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и |
соответствующего |
критичес |
|
|
|
|
|
|
|
||||
кого напряжения сдвига (точки |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
N |
и С на рис. 38). |
Если |
по |
|
|
|
|
|
|
|
|||
розность. исходного слоя |
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
критической, |
сдвиг происходит |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
без изменения плотности слоя. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
По методу |
Дженике |
после |
|
|
|
|
|
|
|
|||
определения числа возвратных |
Рис. 38. Изменение порозности при |
||||||||||||
консолидационных |
смещений |
возвратных |
смещениях |
нагрузочного |
|||||||||
нагрузочного |
диска, |
необходи |
диска под действием постоянной нор |
||||||||||
мых для |
достижения |
заданной |
мальной нагрузки консолидации (вер |
||||||||||
зависимости |
между |
напряже |
тикальное сечение |
по BN на |
рис. 37) |
||||||||
нием и деформацией при раз |
|
|
таким |
образом, |
чтобы |
||||||||
рушении, новый образец испытывают |
|||||||||||||
его |
состояние соответствовало |
точке N на рис. |
38. |
В образце |
|||||||||
создается |
сдвиговое |
напряжение, |
равное |
95% от необходимого |
|||||||||
для его разрушения. |
Если |
исходное |
состояние образца |
соот |
|||||||||
ветствует |
точке N, |
эта |
нагрузка |
не |
должна |
вызывать в нем |
|||||||
изменения порозности, и возрастание напряжения будет харак теризоваться линией NC до момента вблизи точки С, но ниже по верхности разрушения. После удаления нагрузки образец при нимает исходное состояние (точка N). Если исходное состояние образца соответствует точке слева от точки N (например, точке G), усилие сдвига, составляющее 95% от максимального напряжения, приводит к изменению состояния, соответствующему положению вблизи точки М, ниже поверхности разрушения. После удаления нагрузки состояние образца характеризуется положением ближе к точке N , чем к исходной точке G. Если порозность исходного образца значительно меньше критического значения, то прекра щение консолидационных смещений нагрузочного диска в момент, соответствующий точке N, и последующее нагружение до 95%
G3
от разрушающего напряжения, снова приведет к состоянию вблизи точки N.
Данная методика может быть использована для определения огибающей предельных кругов Мора по результатам испытания образцов с нормальной степенью консолидации. Образец подвер гается действию нормального напряжения о' в точке N (см. рис. 37) непосредственно под кривой 1. Затем напряжение сни жается до а" и состояние образца соответствует точке Р, не лежа щей под кривой 1. Следовательно, для новой нагрузки образец имеет завышенную степень консолидации и при сдвиге изменение его состояния характеризуется линией PRS (в точке R — макси мальное сдвиговое напряжение). Если испытание проводят при
другой нормальной нагрузке, сдвиг происходит |
в точке Т. |
Линия CTR на поверхности разрушения является |
линией проч |
ности, а проекция этой линии на плоскость т—а — огибающая предельных кругов Мора.
Рассмотренная методика подготовки образцов к испытанию не применима к некоторым порошкообразным материалам, кото рые плохо консолидируются даже при большом числе возвратных сдвигов нагрузочного диска. В связи с этим разработана мето дика, по которой консолидация производится под нагрузкой, превышающей нагрузку рабочего испытания.
В обычных сдвиговых приборах величина возможного смеще ния верхней части образца относительно нижней ограничена, что является причиной плохой консолидации при испытании некото рых сыпучих материалов. При испытании сыпучих тел в кольце вых сдвиговых приборах это затруднение не возникает.
Результаты испытания плотных сыпучих тел в сдвиговых при борах показали, что их прочность обусловлена силами, необхо димыми для разрыхления слоя, перестройки структуры с прео долением сжимающей нагрузки. При изучении механизма этого процесса много внимания уделено разработке теории сдвиговых деформаций сыпучего тела как системы дискретных элементов. Рассмотрен также метод расчета критической порозности слоя, состоящего из частиц произвольной формы. Результаты расчетов в основном удовлетворительно согласуются с опытными данными.
ГЛАВА II
ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ СЫПУЧИХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ВЫПУСКЕ ИЗ ЕМКОСТЕЙ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
В этой главе рассмотрены особенности гравитационного выпу ска сыпучих материалов из емкостей через относительно узкое отверстие в горизонтальном плоском днище в отсутствии потока газа или жидкости.
Две основные формы движения
Многие исследователи отмечали, что в зависимости от свойств сыпучего материала, а также от формы и размеров емкости при ее опорожнении возникает одна из двух форм движения. В одних условиях над выпускным отверстием образуется узкая зона истечения (рис. 39, а), вокруг которой сыпучий материал не подвижен. В других условиях движется весь слой материала (рис. 39, б) и только в нижней части образуется зона с мало подвижным или полностью неподвижным материалом.
Возникновению второй формы движения способствует разрых ление слоя, например из-за длительного выпуска сыпучего мате риала в условиях его рециркуляции. Первая форма движения обычно возникает в начальный период выпуска из плотного зер нистого слоя.
Влияние структуры слоя на форму движения и другие особен ности процесса деформации выявлены с помощью опытов на пло ской монослойной модели, состоящей из прозрачных листов 2 шириной 500 мм и высотой 1700 мм, установленных вертикально на расстоянии 5 мм один от другого (рис. 40). Подвижные торцовые стенки и горизонтальное днище модели изготовлены из стальных пластин толщиной 5 мм. Каждая торцовая стенка состоит из не скольких сменных пластин 4 высотой 100 мм. Вместо каждой из них поочередно устанавливали рамку с электротензометрическим датчиком 5 для измерения бокового давления. Импульсы от дат чика непрерывно регистрировались на фотобумаге, одновременно
5 П. И. Лукьянов |
65 |
производилась киносъемка картины движения. В качестве сыпу чего материала использовали стальные шарики диаметром 4,9 мм. Их загружали в модель из бункера 1 и выгружали из нее в прием ный бункер 3 через узкое отверстие в днище со скоростью свобод ного истечения.
Во время заполнения модели при закрытом выпускном отвер стии в ней образуется слой, в котором шарики расположены гори зонтальными рядами (рис. 41, а). При выпуске шариков из слоя с такой структурой наблюдает ся типичная картина движения по второй форме, для которой характерны практически одина ковые скорости частиц во всем объеме модели, за исключением
нижней зоны высотой h и в пограничном слое. В последнем
Рис. 39. |
Первая, пассивная (а) |
Рис. |
40. Плоская монослойная мо |
и вторая, |
активная (б) формы |
дель |
аппарата для исследования |
|
движения |
|
движения |
наблюдается интенсивное разрыхление сыпучего материала вслед ствие значительного градиента скорости, возникающего под дей
ствием сил трения частиц о стенку. Толщина пограничного |
слоя |
|
б в среднем равна двух-трехкратному диаметру |
шариков. |
/— I |
Прослойка меченых шариков опускается из |
положения |
|
в положение I I —II, оставаясь практически |
горизонтальной, |
|
и только в нижней части модели наблюдается быстрое изменение формы прослойки вследствие больших градиентов скорости во всем объеме центральной зоны.
При длительном выпуске шариков в условиях непрерывного поступления их из верхнего бункера происходит самопроизволь ная перестройка структуры с образованием вертикальных рядов (рис. 41, б). При этом одновременно резко изменяется распреде ление скоростей в верхней части модели. Прослойка меченых
66