книги из ГПНТБ / Лукьянов, П. И. Аппараты с движущимся зернистым слоем. Теория и расчет

Е 0 = 4,7-ІО“5 и 5,3-ІО-5; G = 2,6-ІО“5 и 2,9-ІО-5.

При увеличении плотности среды возрастает скорость распро­ странения прямых волн: например, увеличение плотности горных пород от 2,5 до 3,5 г/см3 приводит к возрастанию скорости про­

бокового давления сопротивление образцов разрушению значи­ тельно возрастает. На них нет видимых поверхностных трещин и лишь наблюдается скольжение одних зерен относительно других.

При р 2= 0 хрупкие образцы разрушаются в результате обра­ зования видимых трещин, преимущественно под углом 45° к на­ правлению действия главного напряжения. Это объясняется тем, что на площадках действуют наибольшие касательные напряжения

т = о sin 2а.

При разрушении менее хрупких материалов в условиях одно­ осного сжатия плоскости скалывания образуют с направлением действия внешней силы больший угол, который при абсолютной пластичности вещества достигает 90°.

Для объяснения особенностей разрушения горных пород при больших давлениях в условиях всестороннего сжатия используют теорию Кулона, обобщенную Мором. Согласно гипотезе Кулона,

18

пластические деформации твердого тела происходят вследствие смещения зерен вещества одно относительно другого в определен­ ных плоскостях, называемых плоскостями скольжения. В момент сдвига на плоскости скольжения действуют скалывающее т и нор­ мальное оп напряжения, между которыми существует зависи­ мость

где т 0— молекулярное сцепление; f — коэффициент пропорцио­ нальности.

Рис. 3. Схема сил при скольжении тела по наклонной плоскости

(о) схема пояснения при помощи кругов Мора явления скольжения зерен вещества друг по другу (б)

Для уточнения физического смысла коэффициента f исполь­ зуют уравнение равновесия твердого тела на наклонной плоскости

(рис. 3, а):

где С — сила сцепления на поверхности скольжения. Из сравнения уравнений (9) и (10) следует, что

/ = tg ер.

Для подробного рассмотрения особенностей этой гипотезы ис­ пользуют круги Мора (рис. 3, б).

Если напряженное состояние в точке характеризуется глав­ ными напряжениями а г > а 2 > о3, то круг Мора, соответствую­

щий стх и ст3, имеет центр в точке Р с абсциссой ОР = 0і °3- и

Из точки М с ординатой ОМ = т 0проводят прямую MN под углом ф. В соответствии с предыдущим ордината произвольной точки D на этой прямой определяется выражением

Если окружность не соприкасается с прямой MN, то ВС < < BD и

X < т 0+ СГ„ tg ф.

Это означает, что условие (11) не выполняется и в деформируе­ мом теле отсутствует плоскость, по которой может произойти сдвиг.

При других соотношениях между наибольшим и наименьшим нормальными напряжениями, а именно а( и аз, о'{ и 03, соответ­ ствующие круги Мора касаются прямой ММ и, следовательно, упомянутое условие выполняется.

Нормаль к плоскости скольжения составляет с направлением максимального главного напряжения угол

а = 45° -f- ~~ .

Согласно гипотезе Кулона, кажущийся угол внутреннего тре­ ния ф имеет постоянную величину. Однако многочисленные опыты показали, что он зависит от нормального напряжения. Поэтому Мором предложено обобщение гипотезы Кулона, состоящее в том, что предел прочности является непрерывной функцией нормаль­ ного напряжения

получим геометрическое место точек касания F этих окружностей с прямыми, проведенными под углом ф к горизонтали (рис. 4). Это геометрическое место точек является огибающей кругов Мора и называется кривой внутренних свойств. Если круг Мора, по­ строенный по известным значениям 0Хи о3, касается этой кривой, то равновесие (прочность) материала в рассматриваемой точке нарушается, причем не обязательно в виде сдвига, как преду­ сматривается гипотезой Кулона.

По гипотезе Мора внутренние перемещения после наступления состояния предельного равновесия могут происходить в любых направлениях и лишь в случае, когда разрушение происходит в виде сдвига (по Кулону) огибающая кругов Мора определяет на­ правления нормалей к плоскостям скольжения.

Критерий прочности Кулона—Мора не учитывает влияние среднего главного напряжения а 2. Опыты многих исследователей подтвердили правильность этого допущения.

В соответствии с тем, что разрушение может происходить под действием растягивающих и сжимающих усилий, график внутрен­ них свойств состоит из двух частей (рис. 5). Первая соответствует усилиям растяжения R', простому сжатию R и сжатию при не­ большом боковом давлении. Имеются поэтому две ветви SA и SA', расходящиеся от оси нормальных напряжений под большим углом к ней.

20.

Вторая часть графика — ветви ВС и В 'С , соответствующие сжатию при сильном боковом распоре. При больших значениях стх

исг3, соответствующих кругу с центром в точке Р ', деформация

иразрушение происходят вследствие сдвигов. При меньших зна­ чениях главных напряжений окружность Мора с центром в точке Р касается двух частей графика в точках А, А' и В , В', поэтому разрушение может происходить как от сдвига, так и от растяжения.

Вусловиях одноосного сжатия разрушение происходит при меньшем напряжении.

Предполагая, что разрушение происходит в результате сдвига,

иопределяя с помощью построения кругов Мора направление плоскости скольжения, приходим к выводу, что последняя откло-

няется от направления главного напряжения тем больше, чем больше интенсивность всестороннего сжатия. При этом материал все больше проявляет способность деформироваться пластически.

Изготовление образцов правильной формы, необходимых для испытаний на одноосное сжатие, во многих случаях затруднительно. В связи с этим разработан способ испытания на сдвиг образцов произвольной формы в специальных матрицах, позволяющих из­ менять угол между действующим усилием и плоскостью среза.

При этом в формуле (11) значения т и оп выражают касательную и нормальную составляющие напряжения о. Коэффициент вну­ треннего трения / и сцепление С определяют по результатам опы­ тов при двух различных углах наклона а:

втором испытаниях.

Коэффициент внутреннего трения уменьшается при повышении давления; например, для каменного угля при увеличении давле­ ния от 0 до 1000 кгс/см2величина / снижается от 33 до 15°. Вместе с этим в условиях всестороннего сжатия при высоких давлениях

21

возрастает относительная пластическая деформация к моменту разрушения. Например, у известняка при давлении 10 000 кгс/см2 высота образца перед разрушением уменьшается на 32%.

Отличие наблюдаемой хрупкой прочности кристаллов от теоре­ тической явилось основой для разработки теории разрыва, на­ чинающегося вследствие наличия неоднородностей. Меньшая веро­ ятность нахождения «слабых мест» в образцах меньших размеров подтверждается опытными данными о зависимости предела проч­ ности от размеров образцов. Отмечено также, что распределение числа разрывов по выделяемой ими энергии инвариантно к из­ менению размеров деформируемых тел.

характери сти ка конглом ерата зерен

Гранулометрический состав

Для определения гранулометрических характеристик исполь­ зуют ситовой, седиментационный и микроскопический методы ана­ лиза. Из них первый, рекомендуется для классификации материалов с размером частиц меньше 75 мкм, второй — от 75 до 1 мкм, тре­ тий — меньше 1 мкм. В последнем случае также применяют метод адсорбции и др.

Опытные данные классификации сыпучего материала обычно рассматривают как статистическую совокупность или эмпириче­ ский вариационный ряд и представляют их в виде гистограммы (рис. 6). Если интервалы классов крупности одинаковы, частота признака определяется отношением веса фракции или числа частиц в ней к общему весу всех фракций или соответственно к общему числу частиц. При различных интервалах классов крупности ча­ стота определяется отношением указанных величин к длине соот­ ветствующих интервалов.

При уменьшении интервалов ступенчатая линия, ограничи­ вающая вершины прямоугольников, приближается к плавной кри­ вой и в пределе дает так называемую дифференциальную кривую распределения (см. рис. 6).

По определению дифференциальная функция распределения Е (х) — это функция, произведение которой на величину dx выра­ жает долю материала Е (х) dx, крупность которого лежит в пре­

X,

где ДАДх — частота, т. е. число зерен в узком классе.

22

Эти данные используют длд построения интегральной (куму­ лятивной) кривой (рис. 7), ординаты которой определяются вы­ ражением

х а

F (х) = I Е (х) dx. .

о

Правомерность построения кривой распределения в примене­ нии к гранулометрическому анализу такая же, как к любому дру­ гому эмпирическому вариационному ряду. В работе С. В. Андреева и др. показано, что дифференциальные кривые хорошо выражают фракционный состав смеси. По~их виду легко определить, какие

частицы преобладают в смеси, каких частиц очень мало. По ку­ мулятивной кривой, наоборот, трудно выявить отсутствие или малое количество частиц данного размера.

Сопоставление распределения по крупности обычно проводят с помощью дифференциальных кривых.

Предложено много уравнений для аналитического описания эмпирических распределений частиц по крупности.

Закон нормального распределения частиц по крупности выра­ жается уравнением

из всех наблюдений; о — стандартное (среднеквадратическое) от­ клонение

23

Этим законом приближенно описываются распределения для материалов с частицами правильной формы узкого фракционного состава (гранулированные катализаторы, адсорбенты).

Для многих материалов удовлетворительное выравнивание эм­ пирических распределений достигается с помощью логарифми­ чески нормального закона

Число частиц размером меньше х

получим

n = -Ш , Г e 2 dt = 0(t). 2Л

Эта формула позволяет вычислять п с помощью интеграла веро­ ятностей, значения которого приведены в математических табли­ цах. Некоторые значения п, рассчитанные с помощью интеграла вероятностей, приведены ниже:

Для проверки приемлемости логарифмически нормального рас­ пределения часто используются так называемые логарифмически вероятностные (лог-вер) координаты. По оси абсцисс в них откла­ дывается диаметр частиц в логарифмическом масштабе, а на оси ординат наносится суммарный выход в масштабе, основанном на интеграле функции распределения. Если предполагаемое распре­ деление удовлетворяет опытным данным, зависимость между ука­

24

занными переменными в лог-вер координатах выражается прямой линией.

Более широко применяется распределение Розина—Раммлера

W ( x ) = 100

где W (X) — весовой выход частиц крупностью меньше х; хе — характерный размер средней крупности; т — коэффициент одно­ родности материала.

При X = хе я т = I W (х) = 100 ^ 1 ---- ^ = 63,2%.

Следовательно, хе обозначает размер, меньше которого имеют частицы, составляющие 63,2% от общего количества сыпучего материала.

Рис. 8. Гранулометрический состав по распреде­ лению Розина—Раммлера

Для определения выхода материала с частицами крупностью больше заданной величины х используют выражение

Следовательно, в координатах

log xe и log log-~~

график уравнения (12) изображается прямой линией. При х = хе

£ = - ^ = 36,8% (рис. 8).

25

Проводя от оси ординат горизонтальную прямую до пересече­ ния с указанным графиком и опуская из точки пересечения пер­ пендикуляр на ось абсцисс, определяем хе, т. е. размер частиц, крупнее которых в смеси содержится 36,8% материала. При умень­ шении хе прямая сдвигается влево. Показатель т, определяемый путем параллельного смещения прямой до прохождения ее через

нием функции распределения времени пребывания веществ в не­ прерывно действующих аппаратах идеального смещения. Поэтому дальнейшее улучшение выравнивания экспериментальных данных может быть достигнуто на основе применения аналитического вы­

ного смешения. Это подтверждается данными работав которых использована формула вида

7?(х)=100

где хе— размер частиц, отвечающий их среднему времени пре­ бывания в рабочей зоне аппарата.

Весь диапазон крупности частиц многих дробленых материалов трудно описать одним уравнением, так как характер распределе­ ния зависит от способа измельчения и от природы исходного твер­ дого вещества. Высказано предположение, что наиболее общим выражением для материалов, встречающихся в природе, является комбинация кривых гиперболического вида и асимметричной кри­ вой распределения вероятностей.

На рис. 9 приведены наиболее типичные кривые распределения, полученные для дробленых материалов.

26