Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кикин, А. И. Конструкции из стальных труб, заполненных бетоном

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

6.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 159 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

не учитываем [11]. Из (75) находим .прогиб среднего сечения:

Мвн	е,	(76)
р

где е — концевой эксцентрицитет.

Из (74) и (76) получаем условие равновесия изогну

той формы	стержня			с учетом			развития		пластических
деформаций:
	л 2 Е /Маи (ß, ф, фі,					Ѳ)	R (cos ß — cos cp).			(77)
	СТт	V		Р			R (cos ß — cos cp).			(77)
	СТт	V		Р
Подставляя	(69) в			(77),	после		преобразований			имеем
L V		я2£	(	о*			„ ,	о*		(78)
—	= -----		\	А — —	т cos ß +			— т cos cp		(78)
R )		а*	\	oT				0T
где						е
				in		е
				in		~R'
						~R'
А =	—	j.t f(cp — sin cp cos cp) —(Ѳ—sin Ѳ cos 0)]— •
1	k	I		1		sin cpx —		3 cp x —	sin2 2ß +
— —	• —	sin2 2 c p i — —				sin cpx —		3 cp x —	sin2 2ß +
12	n	V		4
			+	~ ~ sin 4ß + 3ßj .						(79)

Далее, находим условие критического состояния стержня. Для этого в выражении (73) исследуем функ цию (80):

I	а *	о *	\	(80)
U = ІА — —		т cos ß4------т cos cp		(80)
\	огт	0т	/

на условный экстремум с помощью метода неопределен ных множителей Лагранжа; а* считается заданным.

В качестве дополнительных условий связи перемен ных используем (68) и (70):

Фг = cos ß — cos cpi — «(cos ß — cos cp) = 0;			(81)
В (ß, cp, cp-, 0)	о*	=0.	(82)
Ф« = — „	0X
cos ß — cos cp

Третье уравнение связи получаем из условия равен ства высот упругой зоны с в растянутой и сжатой части сечения (см. рис. 44, б):

Фз = 2cos ß — cos cp — cos 0 = 0

(83)

6— 847

Составляем функцию Лагранжа в виде суммы четырех слагаемых:

С = U -р -f- Ф^2 ~Ь Фз^з, (84)

где Яі, /С, Яз — неопределенные множители Лагранжа. Условием экстремума (84) является равенство нулю

частных производных:

dF	8F	8F	3F	(85)
дер - °’	5фх =	°’ : äjT = °’	Ö0 =
				°'

Из (85) получаем условие критического состояния тру бобетонного стержня:

(Лр в <?-	Вр) + ( А 0 Яр -				в ѳ	А р )	+ 2 ( А в	В ф -	Лф в ѳ) +
+ п(Лр. Фі			Ф. ^ß)~M*			п) (^Фі ^Ф		^Ф ^Фі)
-f (1 +л) (ЛѳВфі-			V	Во) + '		' (Вф + Лф, +			ß ß + в ѳ)
	~ ~		( Л Ф + \ + Aß+ л ѳ) = ° -						(86)
	~ ~		( Л Ф + \ + Aß+ л ѳ) = ° -
В (86) введены обозначения:
Лф = рзіпф ;		Лѳ =		— psinO;		А	2	k	sin» ф ;
Лф = рзіпф ;		Лѳ =		— psinO;		А	= —	• —	sin» ф ;
							О	fl
»ß =	— ~	■- ^ - sin3ß;			в ф = р		( я — ф); В0 = р Ѳ ;
									(87)
	Вр =	— ря —			^	sin ß + я — ßj ;
	Вф1=		k	I 1		,	\
	Вф1=		—	[— віпгфх + я — ф ^ .

Параметры ß, ф, фЬ 0, удовлетворяющие уравнению (86), позволяют получить из (78) критическую длину стержня.

Если в (86) принять равными нулю все члены, со держащие Ѳ, то можно получить из него уравнения кри тического состояния для случая односторонней текуче сти в среднем сечении.

Параметры ф и Ѳ можно выразить через ß и фі из (81) и (83):

Ф = arccos	п COS ß 4	------	СОЭфх :
		п

0 = arccos + — ) cos ß — — n I n

(8 8 )

COS фх

Таким образом, задача отыскания критических за висимостей сводится к решению системы двух нелиней ных уравнений (86) и (70) с последующим вычисле нием L из (78).

Для того чтобы построить все поле критических за висимостей а*/(Тт—т—LJR, необходимо рассмотреть случай, когда среднее сечение полностью сжато (см. рис. 44, а). Критические зависимости для этого слу

чая получены		таким	же	методом,	как и для случая
двусторонней		текучести.		Опуская	промежуточные		рас
суждения, приведем окончательный результат.
Главный	вектор		эпюры нормальных			напряжений
среднего сечения
Л,„ = та.,. Я — ---- (sin ф — ф COS ф) +						R1Ст? X
			с
X	я —-— (3 sin фх — sin3 фх — Зфі cos фх)						(89)
		О

Главный момент эпюры нормальных напряжений сред него сечения

стт			1	°т
Мья — R4 —	(ф — sin ф cos ф) +		— ‘ — R3 X
С			12	С!
X	sin 4фх — 2 sin 2фі +		Зфі\| ,	(90)
б
где с = — ;
6 — расстояние от нейтральной			оси сечения до зо
ны текучести стали, определяемой парамет
ром ср;
сх— сп.
Из (89) получаем, учитывая условие				совместности
деформаций:	о*
	о*	В (я — 1)		(91)
	СГТ	COS ф—COS ф!		(91)
	СГТ	COS ф—COS ф!

где

(р + k) Я

В= —----- j---(cos ф — COS Фі) -f- Р (ф COS ф — Sin ф) +

1■k

+— • ----(sin3 ф! — 3 Sin фі -f Зф! COS фі).

оп.

(92)

Выражение для длины стержня в зависимости от параметров наиболее нагруженного сечения имеет вид

{ L	y	я 2£ {	а*	cos ф — cos фг-
1	R )	а* \	стт т	(93)
				п — 1

где	1 іі	1_
1	1 іі	1_	• (94)
А = — Р (Ф — sin ф cos ф) А г -		sin 4фА—2 sin 2фл+3фі	• (94)
	п	4
Уравнение, связывающее переменные в критическом
состоянии:

77К	+	Ь	т77(Вф+в^ + (,г - ‘) х
		Х ( Л ф іЯф - Л		ф0фі) =	0,		(95)
где		2	/е			(а +	k) я
\ = ц sin ф ;				sina Ф і ;	=
	Л ф і = —		• —			— Р Ф — - ~	Г ;
В =	k				(и +	А) я
	—	(sin фі cos фі — фі) Н---------- :----.
	п				п— 1
Решение полученных уравнений для отыскания кри
тических зависимостей произведено на ЭВМ.
Ряду авторов, в частности [134], решение данной за

дачи представлялось невозможным. Первая постановка этой задачи содержится в [104]. Аналогичным способом позднее данная задача решалась в [143] без учета по вышенной прочности бетонного ядра и без вывода ана литического условия критического состояния стержня. Общие зависимости с учетом упругого защемления кон дов стержней получены в [78]. Внецентренное сжатие коротких трубобетонных стержней рассматривалось в [29, 88].

2. Устойчивость составных трубобетонных стержней при кратковременном внецентренном сжатии

Исследуется устойчивость стержней, имеющих сече ния, изображенные на рис. 30, а, д. Расчетные форму лы, полученные для этих сечений, легко распространить на остальные виды сечений по рис. 30. При исследова нии используются предпосылки, принятые в п. 1 данной главы. В отличие от предыдущего в данном пункте за дача усложняется необходимостью учитывать влияние

сдвига соединительной решетки на критические зависи мости внецентренно-сжатых стержней.

Для двухтрубного сечения эпюры распределения на пряжений и деформаций показаны на рис. 45, а, для сечения с растянутым поясом в виде листа — на рис. 45, б. Составляем уравнения равновесия для половины стерж ня. Находим главный вектор и главный момент относи тельно оси л:—X . Для этого используем известную тео-

Рис. 45. Расчетные схемы продольных напряжений и деформации

впоперечном сечении составной колонны

а— двухтрубное сечение; б — стержень с листом в растянутой области

рему (в проекциях) о том, что главный момент относи тельно нового центра приведения равен главному мо менту относительно старого центра приведения, сложен ному с моментом главного вектора, помещенного в старом центре приведения относительно нового центра приведения. Главный вектор инвариантен к центру при ведения:

(л — ß) cos ß +

sin ß —

sin3 ß

r ,

CT2 H

—

„ 9

B H

= 2 n

l l l ----------9 --------- +

° 2 H --------------------------

• cos ß

“

(h — R i — R 2) b (<T0+ a 2H) +

2/?2^2CTT

я — —

(sin Ф — cp cos cp)

+ RU 6

я — ----(3 Sin cpi —- sin3 cpx — 3 <РХCOS cpx)

(96)

OCj

MBU = Y

Я/г»^

+ ңГ°**

3 (я—ß)

2 sin 2ß —

sin 4ß

cos ß

+ ~ Y (ll — R l — Я 2) 2 b (Сто — сти і)+

+ Я2t-2 —

(ф — Sin ф COS cp) +

• — R l

I -J Sin 4фі —

1 Jd

у 4

— 2 sin 2фі +

Зср!

P DH

2JIR I ti (a2H

a1H)

(я—ß) cos ß+sinß—— sin3

- 2 Я ( <

1 + cos ß

h + Я2 — Ri

(A- * -

Яг) b (а0 CJ2H)

(97)

где

c =

обозначения

видны на

— ; Cj_=

— ; остальные

рис. 44.

Я2

Яг

Вводятся условия совместности деформаций из подо

бия соответствующих треугольников на рис. 44:

с (п — 1) =

cos ф — cos фіі

1 — п +

я cos ф — cos фх

(98)

8 Q =

б ?

CO S Ф — COS ф х

COS Ф— COS Фі

п - 1

8 IH =

e2H= eTh-y(1 — n) + г) (n— 1) + ti cos cp — cos cp! cos ф — cos фх

/іг (а — 1) + rj (?t— 1) + cos фі — n cosф COS Ф— COS ф!

Po..______ aT(/l— ')	_r]_
1+ COS ß (COS ф — COS фх)	n
где т] = /?1//?2; lli= h/R2, n=e®/eT.
Вводятся обозначения

(99)

( 100)

( 101)

о*	Рт	( 102)
	0 , 4
		'

Из выражения для главного вектора (96) можно за писать:

о* В (п — 1)

(103)

0Т COS ф — COS фі ’

где

	В —(р2 + ЩЯ COS ф — COS Фі					[Х2 (ф COS ф — Sin ф) +
				п — 1
	+-			(sin3 Фх — 3 sin фх +			3 Фх cos Фі)
	г ИхЛД- ■			[Л х	( 1 — п) + п COS ф — COS фх] +
	А,	г	(я — ß) cos ß +			1	sin3 ß +	—	— —
_]----— Т\|3		L			sin ß — —
	n					3	\	2	2
1 \		(1—н)+(я—1)(Ч—0+ 2ncos							1
- —	j &x [Лх						ф—2 cos фх]----—;

—

(104)

				F°2		?o.
				1CT	Pi = •	o,
				puO,. '	Pi = •	o,
				б		‘F,б
— коэффициенты армирования					ветвей	0 2 и Op,
ат	,	aT\ г	Г	— пределы		*
k = ----;	йх =	-----; ст®, ст3		— пределы		текучести бето-
0Т		0-р

на в трубе для ветвей 0 2 и 0\.

Определяем длину стержня в функции параметров напряженного состояния наиболее нагруженного сече-

ния; при этом рассуждаем			так же, как и в п.	2 гла
вы 111:
п2Е	[	а*	cos ер — cos фх	(105)
:-----	А — —		т --------------------	(105)
а*	V	сгх	п — 1

В (105) т = ----				(е — эксцентрицитет);
			Rо
			А =		■Мп	Cos ф — COS ф і				(106)
					+ Rl	п — 1
Подставляя			(97)	в (106), найдем:				k /
	-	1				,	1	k /	1
	А =	—	1<2 (Ф — sin ф cos ф) +				—-------- —		sin 4фі ■
		2					12	п '	4
— 2 sin 2фх +		Зфі I +			I]'1 —	[з (я — ß) +		2 sin 2ß ■ ■		sin 4ß j-
			~i---- іг
1	1			12 1 n			l a *
1	1						l a *		COS ф —	COS ф ]
+ —	JW l4 + — ■(Лі — 11 — l)3 bl +						— h	—
			12
	-		k\						sin3 ß
	-	hAf — (я — ß) cos ß -f- sin ß — —							sin3 ß
			n
	— /г^ррі2 •				1 [Лі (1 — n) + n cos ф — cos фх] —
	— ~		(Лі+ 1— 'l) (Лі —'ll— 1) h — l— 1(1—11+
		4					n	— 1
			+ Лі) (1 — n) + 2n cos ф — 2 cos фх].							(107)
Для получения соотношения, характеризующего со
стояние потери устойчивости, функция
					а*	cos ф — cos фх				(108)
			U — А — —			т --------------------				(108)
					СГг		п — 1
исследуется на условный экстремум.
Составляем функцию Лагранжа:										(109)
					F =	U -у ХФ,				(109)
где буквой Ф обозначено уравнение								(103). Условия экс
тремума (109):					dF	dF
					dF	dF	=0.			(ПО)
					— = 0; —		=0.			(ПО)
					0 ф	0 ф і
Из (ПО) получим уравнение критического состояния:
			+ (п-1)(ДфіВф- Л ф0фі) = 0,							( H l )

где

= ц

кг

„ „

о*

Sin ф — —

1Г1 -------- Sin3

ß — —

/і! — • -------- -

я — 1

ат п — 1

— М 3 —

[(ß — я) — sin ß cos ß] + М раН 2 —

n — 1

а — I

~rU h +

1— 11) Uh — 11 — i ) 6i

n — 1

k i

и ^ sin3P +

— sin3(Pi + T

* —

n (n — l)

+ ~T Ih ~

■

П— 1

-I- M 3-

-kl п ' [(ß — Я) — Sin ß cos ßj —

От

П(п— 1)

—

- 1 -

—-7- Uh +

1 — iß Uh — 11 — 1) И — Ц - ; (42)

— Uh —

= -

0*2

k )

7 3 Г _

B <p

fWY*

11 — 1) b l -------- H-------- -- [(ß — Я) — sin ß cos ß] —

11-- 1

11--

—Uh—11— 1)&:1

, »

n — 1

Bw, — (+

k) -------Г

------(Sin Tl C0S Фі — <Pl) +

4 “

' n — 1

+ РіЯТ)2

’

II3 (ß— n — Sin ß cos ß) +

n —

n (n —

+ (/«1-11-1) n —

Параметры ß и cp выражаем через cpi и стщ:

ß = arccos /гх (1 —	п ) + П COS ф — COS ф і	(113)
	11(«— О
Ф = arccos cos ф! (сг1п +	ff-г) + От(n — 1) Uh + il)	(114)
	CTlH+ ати

Таким образом, если составной стержень имеет сплошную стенку, задача определения критических за висимостей сводится к решению системы двух нелиней ных алгебраических уравнений (103) и (111).

Для составного сквозного трубобетонного стержня необходимо учесть влияние поперечной силы на критиче ские зависимости. Учет производится приближенным

способом, предложенным С. П. Тимошенко [101]. Этот способ дает довольно хорошие практические результаты, что подтверждается точными исследованиями [11]. Точ ные исследования показывают, что если число панелей, на которые разбит сжатый стержень, более четырех (что обычно и бывает на практике), то и точный, и прибли женный методы дают практически совпадающие резуль таты.

В [82] сформулирован критерий потери устойчивости составным сквозным стержнем в том случае, когда ветви работают в упругопластической стадии или в условиях ползучести. Аналитическая запись этого критерия та кова:

Ш = 6M011 — Ру,бМ„п; бРва = 0;	(115)
6М = P5f,

где ÖM— вариация момента внешних сил;

YJL— угол-сдвига при Q= 1 (Q — поперечная си ла) — величина, постоянная при данном ти пе решетки;

б/— вариация прогиба наиболее нагруженного сечения.

Если уі мал (сплошные стержни), то (115) имеет вид

6М = ÖM™; бРпп = 0.

(116)

В [84] было показано, что критерии (116) и (ПО) да ют одинаковый результат.

Из (115) получаем:

Раскрываем определитель, составленный из коэффи циентов при вариациях в (118), (117), и приравниваем его нулю; получаем условие критического состояния

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 159 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ