Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кикин, А. И. Конструкции из стальных труб, заполненных бетоном

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

6.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1512 13 14 15 > Следующая >>>

Для области линейной ползучести бетона считается

справедливым уравнение Маслова — Арутюняна [3]:
0(0	t	д с
0(0	Г	д с	(157)
е{° - £ ( 0 _	Г (т)	ÖT6(' ' T)dT’	(157)
е{° - £ ( 0 _	Г (т)	ÖT6(' ' T)dT’
	и
для области нелинейной		ползучести •—■уравнение
И. И. Улицкого [115]:
б(/)- £ ( 0	0 + £о	/[а(0]ф'-	(158)
б(/)- £ ( 0	0 + £о	/[а(0]ф'-
Используя известные соотношения
Рвн = J1	AlßH“ 1ozdF,		(159)
F		F

находим главный вектор и главный момент эпюры нор мальных напряжений в наиболее нагруженном сечении (см. рис. 50, а):

Я COS ß — Sin ф+(ф— n)cos cp+(sin 0— 0 cos 0)

Рви	2RtiOT'				~	cos ф			l-
				cos ß —		cos ф
			+ ~		R2°л X
sin3фі— 3 sin фі+3(фх— я) cos фі— sin3ß+3 sin ß— 3 (ß— л) cos ß ,
X				D						-r
			COS ß — COS фі
	(я — фх) COS Фі -f- Sin фі COS2 фі -\|----						Sin3 фх
+ R2 (<J2- aa) -----------------------					—-------------------- ------------				;	(160)
					1 +	COS фі
	TWBH—P~tICJT Ф —			Sin ф COS ф —0 -f- sin 0 cos 0				+
					C O S ß — COS ф
	+ (®2 — 0л)		R3			8	COS фх sin3 фх +
	+ (®2 — 0л)	4(1 +	cos фх)			Фі + —	COS фх sin3 фх +
		+	sin 4фі			on R3 X
						12
	-1					1	sin 4ß +	3ß
	2 sin 2фі— —	sin 4фі — Зфі — 2 sin 2ß -)------					sin 4ß +	3ß
X	4					4			,	(161
X	-----------------------------------------------------------------------------		COS	ß —	COS ф і				,	(161
где			COS	ß —	COS ф і				положе
где	ß — центральный			угол,		характеризующий			положе
	ние нейтральной оси сечения;								границу
	Ф, Ѳ— центральные			углы,		характеризующие			границу
	между упругими и пластическими зонами соот-

8—847

113

ветствеипо в сжатой и растянутой области стальной оболочки;

Фх— центральный угол, характеризующий границу между областями линейной и нелинейной пол зучести;

°л = 0,5о®; а2— краевое напряжение бетонного ядра на вогну

той стороне среднего сечения (максимальное напряжение).

Параметры ß, ф, фЬ 0 выражаем через краевые де

формации, используя		гипотезу	плоских сечений	(см.
рис. 50, а) :
ß =	arccos s2 — ei
		e2 + ei ’	ЙВт
Ф =	arccos 63		ЙВт
		еа + ej		( 162)
		е2 — Ex —	2 EJ]	( 162)
		е2 — Ex —	2 EJ]
Фх =	arccos ■ е2 + Ех
0 =	arccos	е2 — вх + 2ет
		е„+ ex
где е2) ех— краевые деформации соответственно				с во
гнутой и выпуклой стороны сечения;

ел— деформации волокна, лежащего на грани це между областями линейной и нелиней ной ползучести.

Используя приближенное выражение для кривизны

и геометрические	соотношения,			находим связь		между
длиной, прогибом и краевыми деформациями:
J__ е2 + ех		дгУ\			тс*	(163)
Р “	2R	дх2 ]х=о				(163)
Р “	2R	дх2 ]х=о
где f(t) — прогиб среднего сечения;
	y = f(t) cos		т е х
	y = f(t) cos		L	*
Из (163) имеем
/ ( 0 =	^ ( е 2	+	Е і )	=	+ е і ) ;	(164)
	L2
	л 2	‘2R		'

Далее записываем условия равновесия половины стерж ня, отделенной средним сечением:

114-

M Bn = P(e + f); РБП = Р.

( 1 6 5 )

В соответствии с [78] уравнения движения стержня имеют вид

dM — dMaп ; dPnn — 0 .

( 1 6 6 )

Для данного случая из (166) получаем:

- Ркі-х =	(5/Ѵ/вн
	двх ' е1 +

ЭМ ,

—е 2 +

Эе ,

	дМт	ЭЛ'Івн	и2>
дРп	6ел Ел т	Зст3
	дРы ■ ,дР			( 1 6 7 )
				6л +
д&х	е 2	+
	де.	дел

дРщ ст. = 0.

да.

Решая систему дифференциальных уравнений (167) сов местно с (158), получаем:

•	А3•—		А4А4	^
*	A i	1	- A , _
	A i	—	- A , _
1	As-		А4Аі	+ А4;
Е ’		1
	A i	Е	- А s
				( 1 6 8 )
Р в,	1A3—		А4Аі
ч = —	[ Ах —		А2Е
Р е,	[ Ах —		А2Е
-^3 — А4Ах				Р е л « л
Р е, W4 2	1			Р Е ,
Р е, W4 2	*			Р Е ,

Т- А'

В(168) введены обозначения:

Р,

A ^ P k - M ^

tPk + M <

1Г РкМъ 1 Г

е, с.

( 1 6 9 )

Л3= М в 6л + —	ел Pk~ MËl ~р~ ел!
Ei	Ві

A4 = — f[a2(i)Wt.

В (169) Ме , М ... — частные производные, определяе мые ниже;

= М ьße, +			M q>Фе, +	МФ, Фіе, +		M Q0e, =
	ße2 +		Фе, +	Мф,Фіе, +		M QѲе. '■
Ре, =	Pß ße, + РФФе, +			РФ, Фіе, + РѲѲе, 1
Ре, =	Р \|5 ße, +		Рф Фе, +	РФ, Фіег +		Р0 0е, !
М г„ — ЛѴ Фіе,"’ Рел = РФ, Ф іе'
ße.“ ---------- ß e ,= -						еі
ße.“ ---------- ß e ,= -				(SI +		S„) у ejEsj
(So + ех) у			8]ё2	(SI +		S„) у ejEsj
Фе. =			St> — 8-р
Фе. =		ег) УЧ 8т — 8і ет — 4
(8і+		ег) УЧ 8т — 8і ет — 4				+	Еі Ч
			—	— Б-р
(еі +		е2)	У е2ет — e1 sT- e ;			+	s1 82	(170)
Фіе,=
	(еі +	82)	82 ел -	Е18л -	8л +		8182
____________ — Si — 6л_____________
Фіе
	(81 +	8г) У Ч 8л -		818л -	8л +		81 82
Ѳг,=			So “I“ £т
Ѳг,=			Учч—8г 8Т +
( 8і +		8г )	Учч—8г 8Т +		е і ет — 8Т
(еі +		®2)	У Ч Ч — Ч Ч + Ч Ч — ‘

Фіе„— У чч -чч -е1+ >1 2

Частные производные Мß, УИф ... в (170) находим из выражений (160) и (161):

	8	cos ф і sin3 ф	1
Mст2	„ я — ер* + —	cos ф і sin3 ф	і + — sin ф г
Mст2	4 ---------------------------------	1 + cos cpt	--------:	(>71)

116

			(я — (ft) cos фі +		sin фх cos2фі -]- — sin3фі
Ра, =		R2					и
Ра, =		R2			1 +	cos фі
					1 +	cos фі
Afp = R2toT			ф — sin (pcosqt — 0 + sin 0 cos 0					CF R3X
Afp = R2toT			(cos ß — cos ф)3				sin ß— —	CF R3X
			(cos ß — cos ф)3				12	л
			(cos ß — cos ф1)(соэ 4ß —
		- 4 cos 2ß +		3) + ^2 sin 2фі —			sin 4фі —
	X	— Зфі — 2 sin 2ß -f-				sin 4ß +	3ß) sin ß
	X			(cos ß — cos фі)2
				(cos ß — cos фі)2
			м^	^	-	ая) Т х
(1 +	COS фі)^—1— —			sin4Фі+Scos2фі sin2фл+СОЭ 4фі I -f-
+	/		8			1	\
+	I Я	— фі + — cos фі Sin3фх + — sin 4фіІ sin фі
X				(1 -Ьсовф!)2
				(1 -Ьсовф!)2
				1	ал R3 X			(171)
				12	ал R3 X			(171)
		(cos ß — cos фх)(4 cos 2фі — cos 4фх — 3) ■
						1
			— \|2 sin 2фг— — sin 4фх—
			- Зфі — 2 sin 2ß +			sin 4ß +	3ß) sin фі

Рф = 2 ^ а 7

(cos ß — cos фх)2

(cos ß — cos ф)(я — ф) sin ф — [я cos ß — sin ф + + (Ф — я) cos ф + sin 0 — Ѳcos 0] sin ф

(cos ß — cos ф)2

’

M'P= R2t1cTX

2 cos ß sin2ф — 2 cos ф sin2ф —

— (ф — Sin ф COS ф — 0 + sin 0 cos 0) sin ф

(cos ß — COS ф )2

— P 20 X

Фі 3 л

(cos ß — COS Фі)[3 sin2фх COS фі — 3 (фі — я) sin фх] —

— [sin3 фі — 3 sin фі + 3 (фі — я) COS ф! — sin3ß + '________ + 3 sjnß— 3 (ß — я) cos ß] sin фі

(cos ß — COS ф і ) 2

117

(1 -f- COS cpi)2

Рр = !У?/1ат Х

(cos ф — COS ß) 3t sin ß -f- [я cos ß — sin Ф +
X + (ф —-я) COS ф + sin 0 — 0 cos 0] Sin ß		f	3 R*oлХ (171)
	(cos ß — COS ф)3
	(cos ß — COS фх)[— 3 sin2ß COS ß + 3 (ß — я) sin ß] +
	+ [sin3Ф і — 3 sin фі +3(ф! — я) COS Ф і —		sin3 ß +
X	-f- 3 sin ß — 3 (ß — я) cos ß] sin ß
X	(cos ß — COS фг)3
	(cos ß — COS фг)3

0 sin 0

Система уравнений движения (168) представляет со бой нормальную систему дифференциальных уравнений третьего порядка. Если принять основной закон нели нейной ползучести по Н. X. Арутюняну [3], то система дифференциальных уравнений движения имеет пятый порядок, а результаты расчетов мало отличаются от ре зультатов, полученных по вышеприведенным формулам. Вообще говоря, данный подход позволяет решать задачу с использованием любого закона нелинейной ползучести.

Для решения задачи Коши системы дифференциаль ных уравнений (168) задаемся тремя начальными усло виями, определяемыми из уравнений равновесия в мо мент загружения:

-ei(fo) — е0; вг(^о) — 620; оД^о) — П20 — Бго^о-

Сама задача Коши для системы (168) легко решается по стандартным программам, имеющимся на ЭВМ; в частности, в исследованиях [82] данная система реша лась на ЭВМ «Минск-22».

Определив кинематические уравнения движения, на ходим условие потери устойчивости стержня. В соответ ствии с [78] стержень теряет устойчивость, когда вариа ция момента внешних сил станет равной вариации мо-

118 .

мента внутренних сил при равенстве нулю вариации продольной осп:

0М = 6МПП; 6Р ВІ1 = 0.

(172)

В [83] показано, что этот критерий находится в соответ ствии с определением устойчивости (по А. М. Ляпуно ву). В данном случае условие (172) имеет вид:

P 6 f = ^ ^ ö ß		дМв	бф • дМв 6Ѳ +
ар		аф		дО
	дМвп	,	дМ,	бст.
дРщ	афі		да,	дРв	(173)
	■ дРвн				(173)
	■ дРвн
ар ■ер	аф бф •			аѳ	■60 +
дР.	- бфі + ■дРп			ба2 = О,
ö'Pi			Зст»

Варьируя условия совместности деформаций, запи сываемые в данном случае так же, как в главе III [фор мулы (81), (83)], имеем:

бф!	п sin ф	(п — 1) sin р
бф!	sin фх бф -	sin Cpj ■ep:	(174)
	5 в _ А Ё + вр. sin cp		(174)
	5 в _ А Ё + вр. sin cp
	sin Ѳ	sin 0 бф.
Кроме того,
бст.2 — Е (/Кр) 6s2—Е (tКр)		ор бр + £(/Кр) бф'бф.	(175)

Используя уравнения (162), (164), прогиб среднего се чения f ( t ) и деформация ег выражаются через парамет

ры ß и ср:	crTL2		1
.	crTL2		1		(176)
	n2ER	cos р —		cos ф	(176)
	n2ER	cos р —		cos ф
	8о —6T	1 +	cos ß	,	(177)
	cos p — COS ф
Варьируя (176) и (177), получим:
	б/ = k B /ß 6 ß —		k B /ф бф;		(178)
	бе2 = 8т s2ß6ß—ет е2ф бф.				(179)
где
	_______sin ß		_	_______ sin ф
в ~ n2ER ß	(cos ß — COS ф)2 ’			ф	(cos ß — COS ф)2 ’

119

sin ß (1 + COS ф )		sin ф (1 + cos ß)
(cosß — С О Э ф )2 ’	2ф	(cos ß — COS ф ) 2

Однородная система уравнений (173) — (175), (178), (179) имеет нетривиальное решение, если ее определи тель, составленный из коэффициентов при вариациях, равен нулю. Раскрывая этот определитель, получаем функционал потерн устойчивости:

Ф =	* +“—,l&*+ ^ +''У									X
			; фі
		Sin ф				Sin ф
	X еф+ « — - Р .			Фі	0	sin 0		кр'	-Ф
		sin фі		Фі	0	sin 0
	P ß +	( l - n )	sin ß			2 sinß				X
	P ß +	( l - n )	sin Фі Фі		1	0 sin 0				X
			sin Фі Фі		1	0 sin 0
		S i n cp								= 0.
X Ma>+ n ~ ---- M„— л-iQ .							M<s>E0 (V б2ф _		Pf4	= 0.
	V	sinsфі1 i1 1n.-	^ ф*	M° sinu 0S i+n			M<s>E0 (V б2ф _		Pf4	(180)
										(180)
	Время	потери устойчивости					tKV дают те значения еі,

Бо, иг из решения нормальной системы дифференциаль ных уравнений (168), которые обращают функционал (180) в ноль. Если же (180) не обращается в ноль, то движение стержня в данных условиях является устой чивым.

3. Влияние ползучести на устойчивость составных колонн

Общий метод исследования устойчивости в условиях ползучести, разработанный в [78, 79, 83], позволяет ре шить задачу об устойчивости составных сквозных колонн при длительном загружении. Рассматривается двухтруб ная составная колонна (см. рис. 50, б) при внецентренном сжатии. Здесь используются те же допущения, что

ив предыдущем параграфе.

Всоответствии с рис. 50, б находятся главный вектор

иглавный момент сечения относительно оси х—х:

1	+ лЩ (а0 + а\|) +
Рвн = 2Ѵ 2°Ѵ л — — (sin ф — ф COS ф)	+ лЩ (а0 + а\|) +
+ — (h — R i —R2) b(Сто + стЯІ) +	лR J i (а2Н— агін) +

120

sin ß -|- (я — ß) cos ß — — sin3 ß

+ * ? < —				—	1 + cosß		3	(181)
					1 + cosß
Man = R \t2 ~		(cp — sin cp cos cp) -I-					— ^o) +
+ ~ п/?і /і (ст2н +				стп.) + “j7T (Л — Rx — R2)2b (ф, — <?21\|) +
							1
			3 (я — ß) + 2 sin ß — ——sin 4ß
- I - — — о 6		7 ? 3- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
12	2H	1			1 + cos ß
	+ T		A		■2nRili (<T2II	au,)
	+ T		A
		sin ß -\|- (я — ß) cos ß •					- sin3 ß
					1 + cos ß
h + R« — R,					1
— —f----			- ■		— 2 ( l i - R i - R » )	b	( o 0 + o 2ll)	(182)
	h		- ■		— 2 ( l i - R i - R » )	b	( o 0 + o 2ll)	(182)

Все переменные в (181) п (182) выражаются через крае вые деформации еі и е?:

cp = arccos-е2Uh + Ц) — ST Uh +		1+	Ц) — Si	(183)
	е2+ 8і
I = arccos ■1	е2т\| — 8j Uh +		О	(184)
11	еі +	е2

	6о — £2^2 — &\а\\				(185)
где	боп =	62^11 — £\|^22>			(186)
где	К -I- д — 1
	К -I- д — 1
	Л і + 1 + 1 1	’ ‘ 1	/(j	-1- 1 + H
	2 і і		l h	+ 1 —	11
L7U	> h + P + 1		/ Ц + 1 + 1 1
Прогиб среднего сечения
где	f (0 =	/г(еі +	Ё2),		(187)
где

к -= ■n"R2(hL+1+11)

121

Записываем уравнения движения:

Ркех+ Р/;е2		=	дМвп •		дМпн	-	, дA4	- % +
			ÖEi	Si		Е„-
					іЗе2		даі
+	дМт		•g	дМгт ■g
	öoS				■ст:2н J	(1 — ѴіР)>
				За;2н			дРш,	■,	(188)
дРп		дРщ			дР™-Лб

де.	Si +		де. е2 +		За!) а« +		daS
			дРв		<п = 0.
				б
Для связи		между		напряжениями,				деформациями

и временем в бетоне используется уравнение нелинейной


ползучести по И. И. Улицкому		(можно	использовать
любой другой закон нелинейной ползучести):
~E6* + l t f И ^)]ф і = е2;			1
-J-	[ao (О] ФІ = ё0;		[(18
~E 6*l+ T Bf Кн		=

Дифференцируя (185) и (186) по времени и решая их совместно с (188) п (189), получаем уравнения движе ния составного стержня в виде нормальной системы диф ференциальных уравнений пятого порядка:

				ех=		------------- ;
						CCj Öo — 0С2 Ь\
				•		Ьз — &з bi
				е2 =		----------------- ;
							0*2
	•ß= a,b3- ^						i E(t)_ AtEU).			(190)
			Oxc?2 ~				bi			(190)
			Oxc?2 ~				bi
(	a3b2 —a2 b3					Ctj	aj &3 — йз &i	.	, ) r „4
I —						Ctj	cci b2— a ,b L	G2— >»o ) ^ V )
\	а хЬ2— CC2&1						cci b2— a ,b L		j
	«3 b2&2	—	a0^22	Ö63	fl«>2Л —		«l 63 — a 3&i	,	\	n
<4=	j	—		Ö63	fl«>2Л —		i all— ^ 2Н			С V ) •
<4=	ax 62 — a2bx				"		ax 62 — a, bx

122 •

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1512 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ