книги из ГПНТБ / Власов, А. Г. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем

Запись уравнений в безразмерной форме. Уравнения движения в полях с осевой симметрией имеют вид [55 ]

Здесь z, г и ер — координаты электрона в цилиндрической системе (за ось Oz выбрана ось симметрии), а е~и т — его заряд и масса;

где z0 и rQ— координаты; ф0 — угловая скорость электрона в на­ чальный момент времени.

При численных расчетах целесообразно в уравнениях (179)

где H 0 — некая фиксированная (например, максимальная) вели­ чина напряженности магнитного поля; Ѵ0— разность потенциа­ лов между анодом и катодом; характерное время Т = 2шпІеН0— период вращения электрона в однородном магнитном поле напря­ женностью # 0; F — единица длины, определяемая по формуле

I — расстояние от анода до катода.

Во введенных выше безразмерных единицах уравнения (179)

60

Здесь штрих означает дифференцирование по времени т; L — рас­ стояние от анода до катода в безразмерных единицах; R0 и фб — радиальная координата и угловая скорость частицы в начальный момент времени, выраженные в безразмерных единицах.

Введение безразмерных единиц и запись уравнений движения в виде (182)—(184) облегчают расчет геометрически подобных сис­ тем, весьма часто встречающихся на практике.

При отсутствии магнитного поля за единицу длины F удобно принимать длину линзы. Тем самым автоматически определяется из выражения (181) величина которая в этом случае не имеет физического смысла, а представляет собой условную постоянную, необходимую для задания характерного времени Т.

Вычисление правых частей уравнений движения. Наибольшая вычислительная работа требуется для определения правых час­ тей уравнений (182)—(184). Подробно методы вычисления электро­ статических и потенциальных магнитостатических полей уже были рассмотрены в главе I. Напомним лишь, что в любом случае с помощью наиболее общего метода, изложенного в § 1, потенци­ альное поле можно вычислить на поверхности вспомогательного цилиндра, включающего в себя весь рабочий объем линзы, в кото­ ром требуется интегрировать уравнения (180). После этого поле внутри области в узлах интегрирования вычисляют, например, по формуле (17). В приложении 3 доказано, что потенциал при этом всегда можно приблизить гармоническими функциями в метрике С (со), где со — область интегрирования, с такой точностью, что погрешность производных, вычисленных либо по разностям с соответствующим шагом, либо непосредственным дифференци­ рованием (17), принимает наперед заданное значение. Это следует, например, из неравенства (404) приложения 3.

О методах вычисления магнитного поля в тех случаях, когда заданы эквипотенциальные ферромагнитные поверхности, уже говорилось в § 5.

Вычисление магнитного поля от непрерывно распределен­ ных источников (электромагнитная катушка без брони) произ­ водится следующим образом.

Если магнитное поле осуществлено набором электромагнитных

где m — число реализующих магнитное поле катушек; in — число ампер-витков на 1 мм2 меридионального сечения обмотки катушки; аг, bi, rit Ri — координаты кантов катушки; Н* (Z, R, Z', R') — вектор напряженности магнитного поля кругового тока с ко­ ординатами Z ' , R ' .

61

К (k) и Е (k) от модуля &а = ^ + /^ 2 + ^z _ z -^2 можно найти, на­

пример, в таблицах [56]. При расчетах на электронных цифровых

= 2АІгН0, где А — проекция магнитного вектора-потенциала на еф вычисляется по формуле

[ { 1 ^ ^ ) К Щ _ Е Щ ] . (188)

При малых значениях R вычисление Н*%и а по формулам (186)

и (187) затруднительно, так как Нр> и а при R —>0 представляют собой неопределенность вида 0/0. При R <CRS эти величины удоб­ нее вычислять с помощью известных рядов

Значение R e выбирается таким, чтобы первые несколько членов разложения (189) давали при R = Re результат, который с тре­ буемой точностью совпадал бы с результатом, полученным по фор­ мулам (187). Правую часть третьего из уравнений (182) при R —>0 целесообразно вычислять в виде разложений, получаемых с по­ мощью рядов (189) для потенциала а (Z, R). Эти разложения вы­ ведены ниже [см. (192)]. Подобные разложения полезны и в двух первых уравнениях движения, если длина системы много больше рабочего поля эмиттера, и таким образом R — параметр малости.

62

Это значительно экономит время, затрачиваемое на самую тру­ доемкую часть процесса интегрирования — вычисление правых частей уравнений движения 118]. Необходимы подобные разло­ жения и при выводе аберрационных формул для катодных линз.

Разложение по малому параметру. Функции hR, hz, а и U представим аналогично рядам (189) в виде хорошо известных [55 ] степенных рядов по переменной R. Эти разложения позволяют выразить функцию, обладающую в пространстве осевой симмет­ рией, через значения этой функции и ее производных по коорди­ нате Z на оси Ог

63

а функции а£ (2), bt (2) и S, (2) выражаются только через значе­ ния магнитного поля и его производных на оси симметрии. Так,

дуется выбирать настолько малым, чтобы в процессе численного интегрирования при вычислении правой части уравнений для определения функций рп, gn и Sn в произвольной точке достаточно было бы произвести линейную интерполяцию. Таблицы заготав­ ливают один раз для всех траекторий. Ввиду того, что при чис­ ленном интегрировании основную работу составляет вычисление правых частей уравнений, указанный выше прием во много раз снижает объем вычислений.

Для частиц, вылетевших из центра катода, а также для частиц, траектория которых пересекается с осью, постоянная N, вычислен­ ная с помощью начальных условий, обращается в нуль. Очевидно также, что интегрирование последнего уравнения для вылетев­ ших из центра частиц излишне.

Интегрирование в полях со слабой неоднородностью. Разложе­ ния (191) полезно модифицировать и дальше. Особенно необхо­ димо это при расчете очень широкого класса приборов, в которых на частицы воздействуют магнитное и электрическое поля, близ­ кие к однородным. Рассмотрим прибор, в котором реализованы однородные электрическое и магнитное поля, параллельные его оси. Такой прибор обладает фокусирующими свойствами, и изоб­ ражение в нем полностью лишено кривизны и всех других аберра­ ций, кроме сферохроматической [21 ]. Однако практически можно получить поля, лишь достаточно близкие к однородным. Интегри­ рование уравнений (191) в близких к однородным полям представ­

64

ляет особый интерес и будет отдельно рассмотрено в § 19. Но именно в этом случае численное интегрирование встречает ряд трудностей, так как правые части представляют собой разности больших чисел, близких друг другу по величине, что приводит к потере точности вычислений. Поэтому для интегрирования урав­ нений движения в полях, близких к однородным, был разработан особый метод, приведенный ниже.

В строго однородных полях, напряженность которых доста­ точна для фокусировки, электрон двигался бы по спирали, нави­ той на цилиндр малого радиуса. Естественно, что в полях, близ­ ких к однородным, величина R — R ü также мала (R 0— коорди­ ната точки вылета). Обозначим эту величину через р и примем за малый параметр, по степеням которого разложим правые части

где

2( - 1 )nPn(Z)CtR2n~m\

~m

тот же смысл, что и в уравнениях (191).

Для электронов, вылетевших на достаточном расстоянии от оси, ряды (192) быстро сходятся и очень удобны для численного интегрирования. При вычислениях целесообразно применять тот же метод, что и для интегрирования уравнений (191).

Для частиц же вылетевших из центра катода, слагаемые, не стоящие в соотношениях (193) под знаком суммы, равны нулю. Кроме того, в этом случае в оставшихся членах формул (193) следует положить R 0 = 0, а р = R, после чего уравнения (192) совпадут с уравнениями (191), записанными для R 0 — 0. Однако уравнения движения в виде (192) часто полезно использовать аналогично (191) и при больших р в неоднородных полях. Именно с помощью (192) целесообразно вычислять ф' в тех случаях, когда из-за малости R неудобно пользоваться правой частью уравнения (182).

Численный процесс интегрирования. Интегрирование уравне­ ний (182) обычно производят по одной из стандартных программ для такого рода задач, например методом Рунге—Кутта или ме­ тодом Штермера [33]. Шаг интегрирования выбирается автомати­ чески или задается вычислителем по заданной погрешности вы­ числения координат частицы. Так, на некотором отрезке траек­ тории вычисление ее производят два раза: с шагом бт и с шагом Ѵа бт. Если результаты совпали с требуемой точностью, то шаг бт принимают за шаг интегрирования на том участке изменения текущей переменной, на котором проводилось испытание. В про­ тивном случае выбирают меньший шаг, и процесс повторяют. Удобно строить программу таким образом, чтобы машина выдавала значения не только вычисляемых координат частицы, но и их производных. Совершенно необходимо в процессе интегрирования контролировать соблюдение закона сохранения энергии частицы. В безразмерной форме, где все физические величины определены согласно (180), этот закон принимает вид

где абсолютная величина начальной скорости в безразмерных единицах вычисляется по формуле [16]

(195)

Здесь е — начальная энергия частицы, а остальные величины обозначены так же, как в выражениях (179)—(182). Выполнять условие (194) весьма важно. Поэтому для повышения точности вычисления траектории целесообразно прибегать к следующему приему: величину Z' определять на каждом шаге интегрирования из (194) и лишь после этого продолжать процесс интегрирования (182), используя на каждом следующем шаге его только что полу­ ченную величину.

§ 8. Приближенное вычисление функции распределения по углам и энергиям в катодных линзах

Для интегрирования уравнений движения необходимо задать начальные скорости частиц. А чтобы сделать это, нужно знать функции распределения их по направлениям и скоростям.

К хорошему совпадению с экспериментом [81, 84, 78] приво­ дит предположение о том, что н а п р а в л е н и я вылета частиц подчиняются закону Ламберта, т. е. что вероятность вылета час­ тицы в телесном угле da под углом О к нормали, опущенной на поверхность катода в точку вылета, пропорциональна cos 0 dco. В дальнейшем угол # будем называть углом вылета частицы. Если все направления вылета, лежащие в угловом интервале (б1, 'ö'-f-d'ö), заполняют конический слой, соответствующий телесному углу

66

2л sin # dd, то dN$ — полное число частиц, скорость которых направлена под углом & к катоду, — вычисляется по формуле

Подробнее этот вопрос рассмотрен ниже в этом параграфе. Что же касается функции распределения по абсолютной вели­ чине с к о р о с т и , то она зависит в каждом конкретном случае от материала фотокатода, толщины фотослоя, спектрального состава падающего на катод света, а также от некоторых других факторов и является, таким образом, индивидуальной характе­ ристикой катода и оптической системы, проецирующей на него изображение предмета.

Поэтому при исследовании свойств электронно-оптического прибора функцию распределения приходится находить экспери­ ментально, используя тот же катод и ту же оптическую систему, что и в самом приборе. В литературе [41, 81, 84, 78] описаны спо­ собы определения функции распределения на специально постро­ енных лабораторных установках. Однако имеется возможность определить функцию распределения с помощью самого прибора или электронно-оптической скамьи, без конструирования спе­ циальной установки. Действительно, экспериментатор, работа­ ющий с электронными приборами, часто измеряет величины, кото­ рые математически могут быть связаны с функцией распределения фотоэлектронов по энергиям посредством интегрального уравне­ ния. Такими величинами являются, например, анодный ток и освещенность электронно-оптического изображения. Решение соответствующего интегрального уравнения и позволяет опре­ делить функцию распределения.

Предложен [17], например, метод получения и математичес­ кой обработки кривых распределения освещенности для вычисле­ ния функций распределения и максимальной энергии вылета фотоэлектронов. Ниже представлены результаты применения этого метода к частному случаю плоского конденсатора.

Определение функции распределения фотоэлектронов по энер­ гиям проводится с помощью электронно-оптической скамьи. Одно­ родное электростатическое поле создается плоским конденсато­ ром, к пластинам которого подводится высокое напряжение. Одна из пластин конденсатора представляет собой серебряно­ калиевый фотокатод, другая — металлизированный флюорес­ цирующий экран. На центральную часть фотокатода репродук­ ционным объективом проецируется равномерно освещенная щель. Электроны, вылетающие с фотокатода, попадают на экран и соз­ дают на нем неравномерно освещенную полосу, которая фотогра­ фируется. Фотометрирование пленки и построение характеристи­ ческой кривой позволяют найти распределение освещенности эк­ рана вдоль оси, проходящей через его центр и направленной

перпендикулярно к щели. Как известно, при малых плотностях тока возбуждения люминофора (порядка ІО-10 — 10~6 А/см2) свечение экрана пропорционально плотности тока. Таким обра­ зом, в пределах погрешности эксперимента мы можем найти рас­ пределение плотности фототока в плоскости экрана.

Обратимся к рис. 14, на котором совмещены плоскости катода и анода. Выделим на аноде площадку d S x на расстоянии л: от цен-

вылета, т. е. угол между направлением начальной скорости элек­ трона и направлением нормали к катоду.

Плотность тока в точке х, создаваемую всеми электронами с фиксированной скоростью ѵ, получаем, проинтегрировав плот­ ность тока, создаваемую элементом dS по всей площади щели, посылающей электроны в точку х. Эту плотность, обозначенную через CS (и, х), выражаем формулой

где P (о) — нормированная функция распределения электронов по скоростям; ѵт— максимальная скорость вылета электронов

68

с катода; h — полуширина щели; k — постоянная; —^------

минимальная скорость, при которой электроны еще могут достиг­ нуть точки X при условии ■0 = я /2. При X < h нижний предел интегрирования равен нулю.

Полная плотность тока J (х) задана графически, и задача вы­ числения Р (V) сводится, очевидно, к решению интегрального уравнения (199). Методы решения последнего известны 1171.

§9. Восстановление оптического сигнала по электронному изображению

В§ б уже говорилось о том, что если мы вынуждены учитывать случайные погрешности, возникающие при передаче и приеме сигнала, то освещенность электронного изображения миры уже нельзя определить простым вычислением интеграла (176) и его приходится рассматривать как интегральное уравнение относи­ тельно искомого сигнала \

Знания параметров идеализированной электронной линзы уже недостаточно для того, чтобы с требуемой точностью восста­ новить первоначальный оптический сигнал. Электронный прибор в этом случае приходится использовать в едином комплексе с элек­ тронно-вычислительной машиной, запрограммированной на реше­ ние уравнения (176). Использование в таком комплексе значи­ тельно расширяет возможности электронных линз как прибора для преобразования н передачи информации. В частности, при дополнительной обработке электронного изображения значи­ тельно повышается число оптических линий, которое можно раз­ решить на фотокатоде эмиссионной системы.

Если рассматривать электронную линзу как звено единого комплекса, предназначенного для передачи и преобразования информации и включающего в себя ЭВМ (электронно-вычислитель­ ную машину), то следует по-иному подойти и к трактовке многих оптических характеристик самой линзы. Так, под разрешаемым расстоянием в этом случае надо понимать расстояние между лини­ ями дублета, причем подразумевается, что форма линий известна, а дублет можно разрешить на выходе из ЭВМ. Уровень и характер шумов всех устройств при этом заданы, известны также аппарат­ ная функция и алгоритм восстановления сигнала.

Алгоритм восстановления. Перейдем к математической поста­ новке задачи восстановления оптического сигнала. Для простоты рассмотрения остановимся пока на сигналах, помещенных в цен­ тральную часть катода, т. е. отвлечемся от зависимости аппарат­ ной функции o r положения сигнала на катоде и будем считать и ее, и сигнал симметричными относительно центра поля зрения.

1 В этом параграфе мы ограничиваемся для простоты рассмотрением одно­ мерных сигналов-спектров.

69