книги из ГПНТБ / Власов, А. Г. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем

Для определения ип выберем, как и прежде, цилиндр, охваты­

числения ѵп, то заметим, что теорема, доказанная в приложении 1, может быть применена и для решения внешних краевых задач.

ряет процесс определения аналогичных коэффициентов, описан­ ный выше при решении внутренней краевой задачи.

Разумеется, функции ѵп (п = 0, 1,2, . . ., N) представляют собой приближение к решению краевой задачи при граничных условиях (29) и (30) лишь вне области Q, тогда как функции ип являются тем же при тех же граничных условиях, но внутри об­ ласти Q.

Таким образом, выполнение граничных условий (26)—(30) автоматически обеспечивает приближенное сшивание решений на границе области и выполнение первого из условий (22).

Коэффициенты ап (п = 1 , 2 , . . . , N), определяемые так, чтобы выполнялось второе из граничных условий (22), должны миними­ зировать функционал

вне Q. Доказательство того, что минимизация функционала (32) в La (Sj) есть процесс регулярный и приводит к соответствующей системе линейных алгебраических уравнений, помещено в прило­ жении 3. Однако нужно помнить, что для вычисления vk и uk нельзя построить корректный процесс замыкания.

Использование метода Монте-Карло. Другим способом распро­ странения рассматриваемого алгоритма на задачи, в которых граничные условия заданы на поверхностях с разрывами, является сочетание аналитических и статистических методов.

Метод Монте-Карло, например, позволяет найти решение за­ дачи Дирихле в отдельно взятой точке внутри области [61,6, 7 ]. Задачу Дирихле в точке с применением случайной выборки решают

20

так. В трехмерном (в нашем случае) пространстве задают сетку координат с равномерным шагом іг. Первоначально выбирают точку с целочисленными координатами. Методом случайных испытаний выбирают номер координаты, по которой производят сдвиг на ве­ личину h, и знак направления сдвига. Так движение происходит до пересечения с границей.

Значение граничной функции F (<?,) в точке пересечения с грани­ цей запоминают, и движение начинают снова из начальной точки. Окончательное значение потенциала в точке р, из которой произво­ дились испытания, вычисггс’"^' по формуле

N

(з з )

Так можно вычислять потенциал в системе узлов на некоторой поверхности, соединяющей точки разрыва. По этим узлам интер­ полируют решение, после чего получают граничное условие на замкнутой поверхности, что дает право применить алгоритм, приведенный выше для замкнутых поверхностей вращения. При­ меняя метод статистических испытаний, следует, конечно, учиты­ вать, что реальная область незамкнута, в связи с чем ее надо замкнуть нулем, заданным на некоторой условной, разумно вы­ бранной поверхности, удаленной от электродов.

§ 2. Регуляризация общих методов решения краевых задач

При большой кривизне контура сечения, а также при больших градиентах граничных функций система (21) становится плохо обусловленной. Это проявляется обычно при больших М и яв­ ляется следствием некорректности процесса замыкания алго­ ритма. Чтобы повысить устойчивость процесса решения си­ стемы (21) и уменьшить погрешность в граничных условиях при заданном М, алгоритм полезно регуляризовать.

Понятие регуляризации некорректно поставленных задач вве­ дено в работах [65, 66]. Пусть существует решение уравнения

где А — вполне непрерывный оператор; U и ср — элементы метри­ ческих пространств F и Ф соответственно. Однако малым вариа­ циям U могут соответствовать сколь угодно большие изменения в определяемом решении <р ввиду того, что обратный оператор Л-1 неограничен. В нашем случае, где Л — матрица системы (21), это может произойти при УМ—>оо. В таких случаях приближенное решение задачи можно найти, ограничившись множеством функ­ ций определенного класса гладкости. Это множество опреде­ ляется параметром регуляризации а. Показано [65], что если <р существует на выбранном нами множестве, то параметр а можно

21

Однако при реальных вычислениях величина U задается при­ ближенно. При этом величина Ra по мере уменьшения а убывает до определенного предела, а далее резко возрастает. Таким обра­ зом, существует оптимальное значение параметра а, минимизи­ рующее невязку уравнения (34).

В нашем случае, т. е. при решении системы (20), роль параметра регуляризации играет величина, обратная числу координатных функций N. Таким образом, зафиксировав N, мы с самого начала решаем регуляризованную задачу. Однако величину минимальной невязки, соответствующей оптимальному N, можно еще умень­ шить, введя вспомогательные параметры, позволяющие без боль­ шой затраты труда значительно повысить эффективность алго­ ритма.

Ниже изложен один из приемов такой добавочной регуляри­

грал первого рода; и гр — параметры, определяемые в процессе приближения из свойств BM,L.P', bt — множители, определяемые,

наряду с ф^ѵ), из условия минимума Bm, l , p• Смысл указанного вспомогательного приема заключается в следующем: Fм — потен­ циал системы кольцевых источников интенсивностей Ь( с коорди­

(п — нормаль к D) велика в соответствующих точках. Физически это означает большую поверхностную плотность заряда. В этом случае целесообразно выделить потенциал системы точечных заря­ дов, расположенных вблизи данной особенности, но вне области. Данный прием органически вытекает из метода доказательства теоремы, подробно рассмотренной в приложении 1. Система коор­ динатных функций при добавлении функций вида (35), разу­ меется, перестает быть минимальной. Однако этот прием повышает устойчивость систем уравнений, которые в указанных случаях плохо обусловлены.

Алгоритм выбора заключается в том, что кольцевой заряд помещается на нормали, внешней к границе.

22

Если S 0 — точка пересечения нормали с границей, то расстоя­ ние h, на которое кольцевой заряд удален от границы, опреде­ ляется по формуле

Такой выбор h, как показали численные эксперименты, позво­ ляет наиболее точно аппроксимировать точечными зарядами быстроосциллирующие функ-

Эффективность алгоритма можно проследить на приведенном ниже примере. Решение граничной задачи отыскивается в осесим­ метричной области D, которая изломами границы показана на рис. 2. График граничной функции F (s) приведен на рис. 3.

Коэффициенты ер*1* и ф*2* для данного случая равны нулю. Число коэффициентов Ьп увеличено до 20, благодаря чему по­ грешность граничной функции на границе не превышает 0,001.

На рис. 3 показана сходимость по N и М последовательных приближений, производимых машиной автоматически по заранее заданной максимальной невязке в граничном условии. При этом в 1-м приближении М = 10, N = 0, во 2-м М = 10, N = 8,

в 3-м М = 10, N = 20.

Все вычисления проведены на машине БЭСМ-4. Указанный пример потребовал 15 мин машинного времени.

Применение обобщенных сумм. Перейдем к другому методу повышения точности рассматриваемого алгоритма. Известно, что

23

суммирование ряда Фурье, к которому сводится система функ­ ций (19) на боковой поверхности цилиндра, вообще говоря, яв­ ляется процессом нерегулярным. Поэтому для улучшения сходи­ мости ряда полезно применять один из методов обобщенного сум­ мирования рядов, а именно метод суммирования по Фейеру [57]. Такая процедура может улучшить результат вычислений факти­ чески без заметного увеличения их объема. Приближение к реше­ нию суммами Фейера первого порядка имеет вид

Z

Рис. 4. Меридиональное сечение электродов элект­ ронной линзы

где

N

Un (г) = 2 ФяЛ (-рТГог) sln f - a <г ~ а)-

т=О

Сходимость к граничным условиям при суммировании по Фей­ еру решения в области, изображенной на рис. 4, показана на рис. 5.

Использование параметра регуляризации. Рассмотрим еще один широко распространенный [65, 66, 1, 49] вид регуляризации, используемый в электронно-оптических расчетах. В цилиндре решение задачи (3) по-прежнему приближают с помощью коорди­ натной системы функции (19).

Запишем задачу приближения в форме операторного уравнения

где Ац и Д имеют тот же смысл, что и аналогичные им величины Ьи и сг в выражении (20), причем выражение (37) можно для кратко­ сти представить как конечномерную запись операторного урав­

Однако для получения решения в заданном классе гладкости коэффициенты фуопределяются из условия минимума функционала

м

В* [ф (а), /] = Вм + а £ qkq>l (а), (39)

ь=\

24

где qk > О — весовые множители. Это, в отличие от (21), приводит к системе

Изменение множителя а, как видно из (40), позволяет менять определитель системы. Функционал (39) минимизируется при убы­ вающих а, после чего строится последовательность (а), в ко­

торой выбирается элемент <рА(а), минимизирующий Вм [ср (а), /].

Рис. 5. Приближение потенциала на поверхности элект­ родов

рационными процессами и процессами усреднения погрешностей [49, 57]. Тогда приближенное решение уравнения (34) предста­ вится как

Ф («о, “ і, • • •, а*) = Ф(0) («о) — Ф(1) Ы Н---------- Ь ¥ к) Ы - (41)

Здесь в качестве нулевого приближения ф<°> (а0) принято реше­ ние, минимизирующее Вм [ф (а), f]. Каждую т-ю из последую­ щих поправок, т. е. ф<т >(ат). получают либо минимизацией функ­ ционала (39), либо, что равносильно, решением системы (40). В первом случае вместо функции f подставляют некоторую функ­ цию /<т- О (s, ат_г), выражающуюся через невязку уравнения

25

в а [фт(ат), / (т_1)]. Затем производят усреднение в окрестности ат согласно (43), где интеграл заменяют суммой по точкам, в ко­ торых подынтегральные функции уже вычислены. Величины hm и Ьт подбирают в процессе вычислений. Усреднение невязок необ­ ходимо потому, что их величина в значительной мере определяется погрешностями вычислений, т. е. содержит случайную компоненту. Или, иначе говоря, функции / (т) нужно на каждом шагу вводить в класс УѴ„, являющийся Л-отражением компакта гладких реше­

ний М 0.

При этом число точек усреднения должно по мере увеличения числа итераций непрерывно возрастать. Рассмотренные алго­ ритмы применимы и для регуляризации других общих методов вычисления потенциала, например для решения уравнения (5).

Использование двух параметров регуляризации. Опишем еще один метод построения регулярного процесса приближения потен­ циала функциями гармоническими в расширенной области. В слу­ чае цилиндра, например, это — функции (19).

Решим, как и раньше, задачу (3) для осесимметричной обла­ сти D. Выберем внутри области на оси в меридиональном сечении нулевую точку отсчета и, приняв ее за центр, введем в этом сече­ нии полярную систему координат (г, Ф). Тогда границу S в данном сечении можно описать уравнением

26

Подставив (48) в (46) и изменив порядок интегрирования и сумми­ рования, получаем

Если условие (53) выполняется сколь угодно точно, то оценку допускаемой в решении абсолютной погрешности AU можно выра­ зить как

rc=/V+ 1

шего приближения к точному решению должны быть взяты в мет­

27

рике C(S). В дальнейшем эта метрика всюду подразумевается, и ее написание опускается. Из (53) и (51) следует уравнение

гольма второго рода относительно ф (t) и фт (t). Их решения в яв­

28

где С — постоянная; а > 2.

Подбором N и у в формуле (54) можно удовлетворить условие

у||бфлг||<е/2.

Вообще говоря, выполнение условия регулярности системы (62) обеспечивается при любых у < 1 выбором X. Но вместе с тем ухуд­ шаются оценки для коэффициентов Ak, а следовательно, увели­ чивается у II Фдг 1с. в результате чего может потребоваться уве­ личение N. Оптимальные значения X, у и N при решении задачи (3) определяются видом ядра К (б, t) и граничными условиями F (б-) и поддаются оценке путем вычисления соответствующих констант. В случае, если система (62) не вполне регулярна, ее численное решение выполнимо методами регуляризации, рассмот­ ренными выше.

Описание схемы построения этого алгоритма дополним указа­ нием на то, что осуществленные в этом параграфе преобразования, начиная с формулы (52), приближенно свели полученное инте­ гральное уравнение первого рода (51) к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, что повысило устойчивость получен­ ного решения. Описанные алгоритмы позволяют внутри области D с заданными граничными условиями приближать поле функциями, гармоническими в области G. Аналогично составляют алгоритмы для определения поля, внешнего по отношению к области D. Ре­

которых позволяет, как это было показано, регуляризовать про­ цесс решения. При выборе оптимального значения единствен­ ного параметра регуляризации а в уравнении (40) или в других уравнениях того же типа значение 1/а может оказаться близким к собственному числу оператора. В этом случае невязка уравне­ ния, по которой выбирается а, имеет добавочные максимумы, что затрудняет выбор оптимального а. Введение второго параметра ре­ гуляризации позволяет избежать этой трудности.

29