книги из ГПНТБ / Власов, А. Г. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем

допускает существенное упрощение выражений для аберраций изображения.

В рассматриваемом случае (увеличение близко к единице, ка­ тод— плоский, изображение формируется в сильном магнитном поле, а ускоряющее электрическое поле вблизи катода близко к однородному) траектории электронов расположены близко к бо­ ковой поверхности цилиндра с радиусом R 0, где R 0— расстояние от оси до точки вылета. Это обстоятельство можно использовать, чтобы существенно упростить формулы для выражения дисторсии и кривизны изображения. Если правые части уравнений движения разложить в ряд по степеням параметра р, где р — R — /?0, и представить уравнения движения в форме (192), то из сказанного выше будет видно, что р мало вдоль всей траектории.

Отбрасывание членов порядка р и R% при сравнении с единицей приводит к уравнению (230) для параксиальных траекторий. Учет же этих членов дает возможность получить главную часть упомянутых выше коэффициентов аберрации третьего порядка. При этом однородность электростатического ускоряющего поля позволяет выделить в подынтегральной функции главную часть, интегралы от которой берутся. Благодаря всему сказанному выше условие (299) для коэффициентов изотропной и анизотропной дисторсий, а также меридиональной кривизны поля изображения, удается свести к линейным алгебраическим уравнениям относи­ тельно коэффициентов магнитного поля а„ (п = 0, 1, 2, . . ., р). Таким образом, условие (299) также поддается точному выполне­ нию, все требования к изображению сводятся к линейным алге­ браическим уравнениям относительно коэффициентов ап или ß„, а функционал (307) принимает вид

2

(317)

г.

где Q — невязка параксиального уравнения (230).

Система уравнений (295), (296) и (299) позволяет выразить линейно часть коэффициентов луча R x и поля через остальные коэффициенты, остающиеся независимыми. Варьированием этих независимых переменных отыскивают минимум интеграла (317). Последний был вычислен по формуле прямоугольников. Для оты­ скания минимума был применен метод «оврагов», подробно опи­ санный в работе [20]. Процесс продолжался до тех пор, пока величина интеграла не достигла значения 10~4. Для этого потре­ бовалось около десяти овражных шагов, причем на первом из них интеграл был порядка ІО4, а на третьем — порядка еди­ ницы.

Поле, вычисленное с помощью найденных коэффициентов, было подставлено в правую часть уравнений движения и последние проинтегрированы на электронной машине при различных на­ чальных условиях.

120

Рассчитанные таким способом траектории позволили проверить свойства электронного изображения. Оказалось, что как расстоя­ ние до гауссовой плоскости, так и увеличение в центре совпадают с заданными величинами с относительной погрешностью, не пре­ вышающей 0,02. Весь расчет проведен дважды: с учетом требова­ ния типа (299), наложенного на анизотропную дисторсию, и без него. В первом случае дисторсия, полученная проверочным расче­ том траекторий, оказалась в приосевой области в среднем в три раза меньше, чем во втором. За меру анизотропной дисторсии при­

50 штр./мм при общем ускоряющем напряжении 12 кВ. Осталь­ ные'геометрические параметры изображения, как показывает рас­ чет траекторий, имеют при этом заданную величину с относитель­ ной погрешностью 0,01. Реализация рассчитанного магнитного поля произведена с помощью системы бронированных электро­ магнитных катушек, играющих по отношению к электростатиче­ ской ускоряющей системе роль магнитного иммерсионного объ­ ектива. Все катушки помещены в общем кожухе с башмаками одинакового диаметра, симметричными относительно оси электро­ статической линзы. Магнитный иммерсионный объектив распо­ ложен так, что плоскость промежуточного катода проходит через центр немагнитного зазора, а основной катод лежит в плоскости, совпадающей с торцом системы.

На рис. 33 изображено меридиональное сечение объектива. Он содержит пять жестко связанных друг с другом электромагнит­ ных катушек, помещенных в общий железный кожух. К г и К 2— основной и промежуточный катоды электростатической линзы лупы времени. Одна из катушек расположена в объективе так, что пло­ скость промежуточного катода проходит через центр немагнит­ ного зазора. Щель в броне этой катушки обеспечивает затухание поля на протяжении половины длины рабочей камеры, ускоряющей

121

электроны. Обмотка катушек имеет равномерную по сечению плотность. Токи в катушках определяются из условия прибли­ жения рассчитанного поля по методу, изложенному в предыдущем параграфе, т. е. минимизацией (309) и соответственно решением системы (310).

Поля отдельных катушек считаются при этом независимыми, что подтверждено опытом. Поле каждой катушки рассчитано по методу, рассмотренному выше (см. рис. 30) и проверено на опыте с хорошим совпадением результатов.

Результат приближения изображен графически на рис. 34, где штриховой линией изображено расчетное периодическое по ка­

осуществленная расчетом траекторий и в эксперименте, показала хорошее совпадение всех параметров с вычисленными лишь на первом каскаде усиления, где реальное поле хорошо приближает теоретическое вблизи катода. Реальная система, как это видно из рис. 34, не может при ограниченных техническими требованиями значениях токов приблизить достаточно точно излом поля, вы­ званный требованием (316), приводящим к слишком большим градиентам у анода. Напомним, что это требование было вызвано желанием вывести систему на режим равных по камерам усиления ускоряющих напряжений. Плохое приближение поля вблизи про­ межуточного катода приводит к резкому снижению по сравнению с предварительным расчетом качества изображения во втором каскаде усиления. Для вычисления оптимального распределения напряженности магнитного поля в многокаскадной системе весь проведенный расчет нужно повторить сначала, причем вообще отказаться от условия (316) при расчете поля в первом каскаде и ввести при расчете поля во втором каскаде линейное же условие непрерывности поля

122

где # ! (Z) — напряженность магнитного поля на оси первого каскада усиления; # 2 (Z) — то же на оси второго каскада. Условие равномерности распределения по камерам ускоряющих напря­ жений при этом, к сожалению, нарушается.

Окончательный график распределения поля по оси всей си­ стемы приведен на рис. 35. Аналогичное поле для трехкамерной системы показано на рис. 36, а магнитная система для трех камер дана на рис. 37. Фотография электронного изображения миры,

по-видимому, добиться ускоряющих напряжений, более равно­ мерно распределенных от камеры к камере, и более высокого качества изображения, если выполнить уже упомянутое выше условие Н' (0) = Н' (/) = 0.

При этом возникает так много возможностей, что подробный теоретический расчет их всех просто-напросто нереален. Однако в рассмотренном примере исследованы возможности описанных выше методов и намечены общие тенденции изменения искажений

123

при изменении тех или иных параметров поля. Последнее необ­ ходимо также из-за того, что поле реальных катушек неизбежно несколько отличается от оптимального поля, в связи с чем нужно знать, какие отличия и в какой области допустимы и какое из нескольких полей, отличающихся от расчетного, предпочтительно.

В процессе поиска выявлены параметры поля, сильно влияю­ щие на увеличение и слабо — на дисторсию (например, производ­ ная поля с прикатодной области). Результаты поиска позволяют и ввести при расчете катушек переменный параметр для кор­ рекции дисторсии. Таким пара­ метром является ток в спе­ циальной катушке, установлен­ ной на стыке двух камер. Как показывает расчет, меняя этот ток, можно существенно испра­

вить дисторсию.

Расчет электростатических линз. Заслуживает также рас­ смотрения,'хотя бы очень крат­ кого, приложение описанных

Запись (283) выражает коэффициенты аберрации изображения через производные осевого поля на катоде, т. е. через коэффи­ циенты поля. В конечном итоге мы получаем нелинейные алгебраи­ ческие формы этих коэффициентов для определения аберраций. С помощью этих форм, а также невязки параксиального уравне­

творяющее всем перечисленным выше требованиям, находим в виде полинома по нечетным степеням Z (случай плоского катода), при­ чем можем ограничиться, например, шестью членами разложения.

Приближать полученное при расчете поле в данном случае не нужно, так как результат расчета приводит к такому распре­ делению потенциала, которое очень близко к полю некоторых из­

124

вестных, хорошо исследованных и оптимизированных на опыте конструкций с параксиальными параметрами, близкими к рас­ считываемым.

Сечение электродов одной из таких конструкций (система ЗИС-1) было изображено на рис. 22. Поле на ее оси (сплошная линия) и оптимальное расчетное поле (штриховая линия) изобра­ жены на рис. 38. Среднее по полю разрешение в системе составляет 35 штр./мм на поле зрения диаметром 12 мм, а величина дисторсии на этом поле составляет 0,05. Приближение поля в объеме линзы можно производить функциями (290), где коэффициенты опреде­ ляются из условия равенства производных приближения в центре катода их расчетным значениям.

§18. Линеализация методов решения обратной задачи

В§ 15 уже было отмечено, что поиск оптимального решения 1 обратной задачи значительно упрощается, если известно исходное приближение решения, т. е. известна система электродов, поле которой обеспечивает параметры изображения, близкие к задан­ ным. В этом случае можно искать малые вариации потенциала на электродах, при которых уменьшается отклонение параметров изображения от заданных. Разумеется, при этом должна быть строго определена мера отклонения.

Пусть фокусирующее поле (для простоты — только электро­ статическое) задано системой кольцевых электродов, расположен­

ных между анодом и катодом и имеющих потенциалы Vlt Ѵ2, ■■■

. . ., Ѵт. Такой системой при т —>оо любой потенциал можно приблизить в равномерной метрике, причем алгоритм приближе­ ния уже описан в § 16. Для дальнейшего рассмотрения форма фокусирующих электродов несущественна, и кольца выбраны нами лишь для определенности.

Обозначим через U (Z) потенциал поля на оси этой системы. Уравнения движения (191), выписанные с точностью до членов

смысле, что и в § 15. Поскольку обратная задача, как правило, решения не имеет, оптимальным называется решение другой задачи, имеющей таковое, причем эта вторая задача строго поставлена и близка к исходной в строго определенном смысле. Напоминаем, что в § 15 в качестве оптимального предполагалось, например, поле, найденное по минимуму некоторой положительной функции коэффициентов поля и обеспечивающее минимальное отклонение всех пара­ метров изображения от заданных в определенной метрике.

125

ющие в параметрическом виде траекторию частицы, вылетевшей при начальных условиях

нения (230) в предельном случае (см. § 10) для той же точки вы­

Подстановка (322) в (319), учет того, что /?(0) и Z<°> — реше­ ния (319) в невозмущенном случае, пренебрежение малыми вели­ чинами, пропорциональными бZ*1), R2R (Ч, б R d l\ б(°>3, бй?<°>2, приводят к уравнениям

Z ( i ) " - f L f / ( 3 ) Д ( 0 ) # ( і ) = 2 L 8 f ^ ]

(323)

R ^»)'+ (ш < 2> + - Ц ^ г ) Л (І) = — L6fWRW,

w r = ^ f ( Z ) ; U<» = ^ U ( Z ) .

Представив функцию / как суперпозицию возмущений потен­

1 Целочисленная переменная к, означающая номер точки, из которой ис­ ходит траектория, пока для краткости записи опущена.

126

ный нулю. Тогда С; — возмущение на t-м кольце. Потенциалы С(- (і = 1, 2, . . ., т), вообще говоря, не малы, так как общее возмущение, выраженное суммой (324), умножено на величину 1/6.

Поскольку уравнения (323) линейны, решения Z*1) и /? (D можно представить в виде суперпозиции функций

из системы линейных алгебраических уравнений относительно С(-

Система (327) позволяет нам выбрать возмущение на отдельных электродах 6С; так, чтобы «исправить» в желательном направлении параксиальные параметры Z x и М, а также добиться отсутствия аберраций для конечного множества лучей, выбранных в соответ­ ствии со спецификой задачи. При небольшом количестве электро­ дов, управляющих изображением, система (327) выполнима лишь в среднеквадратичном смысле, т. е. постоянные Сг поддаются

функция, позволяющая регулировать точность исправления от­ дельных ошибок.

127

Рассуждения, приведенные выше, справедливы лишь в том случае, если параметры изображения, полученные в исходной системе, очень мало отличаются от заданных. Вообще же говоря, возможен процесс последовательных приближений, позволяющий перейти от исходной фокусирующей системы, сильно отличающейся от оптимальной, к оптимальной системе1, т. е. к системе, миними­ зирующей форму (328), где все векторы начальных данных и все весовые функции заданы. Для этого достаточно вначале задать параксиальные параметры, мало отличающиеся от исходных,

атакже задать малую область исправления ошибок вблизи оси,

азатем, перейдя таким образом к новой, улучшенной, системе, принять ее за исходное приближение и повторить весь цикл. Этот процесс эквивалентен поиску локального минимума, когда функция (307) заменена некоторой квадратичной функцией вблизи исходной точки.

Разумеется, нельзя считать оптимальную систему наилучшей из систем, удовлетворяющих заданным требованиям, так как результат поиска целиком определяется исходным приближением и критериями качества изображения, например выбором весовых функций при отдельных ошибках, количеством точек, по которым вычисляется средняя ошибка, и т. д.

В некоторых практически важных случаях решение обратной задачи существует и заранее известно, причем известно либо точно, либо, по меньшей мере, с хорошей степенью приближения. Например, если фокусировка в эмиссионной системе производится электрическим и магнитным полями одновременно, а потенциалы электростатического поля U (г, г) и магнитостатического поля Ф (г, г) удовлетворяют условию

где k — постоянная, то электрон, имевший при эмиссии ско­ рость, равную нулю, будет двигаться в начале траектории вдоль электрических и магнитных силовых линий, которые в данном слу­ чае всюду совпадают по направлению.

Разброс начальных скоростей по величине и направлению приводит к траекториям, которые вблизи катода имеют вид спи­ рали, навитой на силовую линию. В этом нетрудно убедиться, заменив потенциалы в узкой прикатодной области линейными функциями (случай однородных полей) и проинтегрировав урав­

128

напряженности. Безынерционная частица сохраняет такой ха­

тическая аберрация, которая, как было показано в § 12, в ка­ тодных линзах с сильными ускоряющими полями обычно очень мала и к тому же принципиально неустранима.

Если поля однородны во всей области, а не только в ее прикатодной части, то реальные частицы движутся по спирали на протяжении всей траектории, а все аберрации, кроме сферохро­ матической, отсутствуют. Это нетрудно проверить, проанализи­ ровав уравнения движения или формулы для аберраций третьего порядка.

В неоднородных же полях отклонение траектории реальной частицы от траектории безынерционной частицы определяется величиной U" (О, Z) и мало в плавно меняющихся полях, однород­ ных в прикатодной части линзы. Величина U" (0, 0) = кФ" (0, 0) =

=kH' (0, 0) определяет и наклон силовых линий магнитного поля

коси симметрии в прикатодной области. Эта величина сильно влияет на увеличение системы. Если оба поля однородны, увели­ чение равно единице.

Многие практически важные системы должны удовлетворять именно такому требованию. Возможность реализации магнитного

поля с высокой степенью однородности уже рассматривалась в § 16. Приведенный там пример и другие расчеты показывают, что такая задача технически вполне осуществима. Осуществить однородное электростатическое поле с высокой степенью точности при ограниченном количестве ограниченных по размерам электро­ дов значительно труднее, не прибегая к системам, использующим постоянные токи. Стабильность установленных в такой системе потенциалов значительно ниже, а .влияние неоднородностей поля

ипогрешностей, возникающих из-за рассогласования магнитного

иэлектрического полей, велико [92]. Поэтому в настоящем пара­ графе мы остановимся на более широком классе электростатиче­ ских полей — на полях, близких к однородным, причем устано­ вим точный математический критерий близости поля к однород­ ному [51 ] и рассмотрим, как влияют отступления от однородности, установленные по этому критерию, на свойства изображения.

Для начала рассмотрим математический метод, позволяющий из множества электростатических осесимметричных полей, доста­

точно близких к однородным \ выбрать то, которое в сочетании со строго однородным магнитным полем дает наименьшие отклоне­ ния поверхности изображения от плоскости.

Выберем систему цилиндрических координат так, чтобы ее

1 Более точные критерии однородности электростатического поля будут установлены ниже.