книги из ГПНТБ / Власов, А. Г. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем

Функцию Ri (Z) представим в виде

о чем подробнее будет сказано в § 17.

Сумма (302), вообще говоря, ни при каких значениях коэф­ фициентов ß„ не является решением уравнения (230), в котором h (Z) и U (Z) выражены согласно (300) и (301)1.

Формулу (301) можно рассматривать лишь как приближение истинного решения с помощью суперпозиции линейно независи­ мых функций. Поэтому при подстановке (300), (301) и (302) в (230)

Чтобы вычислить коэффициенты аберраций Gk, необходимо знать не только осевое распределение поля и решение Ri (Z) урав­ нения (230), но и решение R 2 (Z), линейно независимое с первым. Вообще говоря, это второе решение выражается через первое ре­ шение с помощью вронскиана уравнения (230). При начальных условиях (238) выражение для вронскиана принимает вид

Теперь условие 4, выраженное формулой (298), сводится к ли­ нейному алгебраическому уравнению относительно коэффициентов поля ап, а условия 1 и 2 — к системе двух алгебраических урав­ нений относительно неизвестных ß„.

Условия 3 и 5 записываем в виде

Таким образом, условия 1, 2 и 4 свелись к линейным алгебраи­ ческим уравнениям. Уравнения (295) и (296) позволяют предста­ вить два из коэффициентов ß,- в виде линейной комбинации осталь­ ных.

1 Так как каждое из слагаемых суммы (302) не является решением урав­ нения (230), а число слагаемых конечно.

ПО

и обладающий ограниченными возможностями, состоит в том, чтобы заранее выбрать систему электродов простой формы, по­ зволяющую приблизить найденное распределение потенциала. Та­ кой системой могут быть, например, узкие кольца, соосные с осью симметрии. Выбрав систему из т колец, помещенных между ка­ тодом и анодом, обозначим через U{ потенциал этой системы элек­ тродов на оси, когда на t-м кольце задан потенциал, равный единице, а на остальных электродах— равный нулю. Через Uü обо­ значим потенциал этой системы электродов на оси, когда на аноде потенциал задан равный единице, а на всех остальных электро­ дах —• равный нулю.

Приняв во внимание линейность уравнения Лапласа, мы мо­ жем утверждать что функция U (С1; С2, . . ., Ст, Z), которую определим как

соответствует осевому потенциалу системы колец, каждое і-е из которых заряжено до потенциала С,-.

С помощью функций Ul можно приближать осевой потенциал, рассчитанный минимизацией F, варьируя Сс по методу наимень­ ших квадратов.

Вернемся к рис. 4, на котором представлено меридиональное сечение системы электродов, состоящих из набора трех колец описанного выше типа, катода и анода, и к рис. 5, на котором показан уже обсуждавшийся в § 2 результат приближения функ­ ции U Напомним, что рисунки иллюстрировали методы регу­ ляризации, о которых говорилось в § 2. Функция U2соответствует единичному потенциалу второго кольца и нулевому потенциалу остальных электродов. Приближение поля, изображенного на рисунке, выполнялось по формуле (19), причем коэффициенты определялись методом наименьших квадратов, а затем поле усред­ нялось по Фейеру, как это показано в формуле (36), что позволяло одновременно и сглаживать поле и улучшать процесс прибли­ жения.

На рис. 26 приведены для иллюстрации аналогичные окон­ чательные результаты, полученные при вычислении функций U1 и U3в этой системе. Пример приближения заданного оптимального поля посредством вычисленных функций і/(. (і = 0, 1, 2, 3, . . .) будет подробно рассмотрен в § 19.

Можно ввести функции U{ в качестве функций ф„ в разложение потенциала (301) и сразу определить коэффициенты С( из условия минимума функционала F. Однако такой процесс усложняет про­ цесс минимизации, хотя и не требует решения дополнительной задачи о приближении рассчитанного поля. Каждая из функций Ul может быть вычислена одним из методов, рассмотренных в § 5, и введена в программу минимизации функционала в виде таб­ лицы.

1)2

Расчет магнитных катушек. При этом расчете можно посту­ пать так же, как при расчете электродов, но приближение магнит­ ных полей подбором силы источников, каждым из которых является электромагнитная катушка, •— задача более устой­ чивая.

Большая устойчивость решения в задаче приближения катуш­ ками заданного магнитного поля объясняется тем, что поле от­ дельной короткой катушки, даже при наличии ферромагнитной

брони на ней, слабо влияет на распределение поля других кату­ шек, т. е. источники практически независимы, а поля их почти аддитивны. При наличии брони это свойство катушек неочевидно, но хорошо подтверждается экспериментально и объясняется тем, что в системах, применяемых на практике, зазоры в броне, окру­ жающей обмотку, малы, и поле быстро затухает вдоль оси при удалении от центра катушки.

В том случае, если электромагнитная обмотка катушек лишена брони, токи отдельных катушек совсем не зависят от поля осталь­ ных источников, а поле каждой катушки с равномерной по сече­ нию обмоткой известно в аналитическом виде. Устойчивость ре­ шения резко падает при очень больших градиентах приближае­ мого поля.

При этом решение задачи может привести к очень боль­ шим, не реализуемым на практике, значениям токов в от­ дельных катушках. Тогда задача требует регуляризации, как из­ ложено, например, в § 2.

При минимизации накладываются ограничения на величину токов и производных поля.

Пусть, например, имеется М небронированных цилиндриче­ ских катушек. Поле каждой катушки линейно зависит от плот­ ности тока в обмотке, которую можно изменять, так что

Н , п (z ) = хтАт(/

где Нт (Z) — напряженность на оси поля т-го источника; хт — варьируемый параметр — плотность тока в обмотке; I — длина катушки; г и R — соответственно внутренний и внешний радиусы обмотки.

Выберем на отрезке оси OZnN + 1 точку с координатами 0, Zb Z2, . . ., ZN. Введем обозначение Апт — А т (Zn) и составим функ­ цию

N М 2 М

ляет приближать напряженность поля к заданной на некоторых

мума (309). Минимизация приводит к системе линейных алгебраи­ ческих уравнений

м

где

N N

Последняя система симметрична относительно главной диа­ гонали, что облегчает ее решение, которое осуществляется для последовательности значений параметра а, причем а >0. На­ пример, за а можно принимать числа последовательности 1/2" (п =

— 1, 2, 3, . . .). При уменьшении а допустимые значения хт воз­ растают. За окончательное решение принимается решение си­ стемы (3.10) при том наименьшем значении а, при котором соблю­ даются условия хт < хтах (т = 1 , 2, 3, . . ., М), где хтах— наибольшее допустимое значение тока.

Изложенный метод позволяет также приближать напряжен­ ность поля на оси вместе с производной. Это полезно и в тех слу­ чаях, когда заданное распределение поля должно выдерживаться

114

не только на оси, но и в ее окрестности, в связи с чем желательно сгладить осцилляции вокруг заданной кривой, хотя бы и за счет точности приближения самой функции.

В этих случаях минимизируют выражение

ских катушек, относитель­ ные размеры которых ясны из рис. 27. Приближали поле, имев­

шее заданный характер на отрезке оси длиной 5/7 от длины си­ стемы. Ниже приведены данные расчета однородного единичного

Минимизировали функцию (311), причем рассчитывали случай: Рп = 100, рп — 1. На рис. 28 видны результаты приближения с помощью тех же катушек распределения напряженности, имев­ шего вид прямоугольного импульса, — случай, наиболее трудный для приближения каким бы то ни было математическим методом. Приведены результаты расчета для двух случаев:

а) рп = 1; р'п = 0; б) рп = 1, р'п = 1.

Предложенный метод может быть применен для расчета маг­ нито-оптической скамьи, моделирующей заданное распределение поля на оси. Такая скамья должна состоять из системы коакси­ альных многосекционных катушек. Секции каждой катушки должны иметь различные плотности намотки, подлежащие вы­ числению. Соединяются секции последовательно.

Искомые плотности в k-тк катушке рассчитывают по методу наименьших квадратов так, чтобы поле этой катушки на заданном отрезке оси возможно точнее приближало k-ю функцию из орто­ гональной системы, например k-й полином Лежандра. Тогда для моделирования любого заданного поля Н (Z) достаточно во всех катушках задать токи, пропорциональные коэффициентам раз­ ложения Н (Z) по полиномам Лежандра.

Расчет источников поля, содержащих ферромагнетик. Осуще­ ствить приближение поля катушками без брони значительно труд­ нее, чем бронированными. Поставим в общем виде задачу расчета

H(z)

1,2г

\

Л7/П

Z

Рис. 28. Распределение точного и приближенного полей

плотности тока (плотности обмотки), обтекающего ферромагнетик заданной формы и обеспечивающего заданное распределение маг­ нитного поля в определенной области пространства. Рассмотрим задачу в двумерном случае, включающем и осесимметричные за­ дачи.

Пусть область S заполнена ферромагнетиком (магнитная про­

ласть, не имеющая общих точек с областью 5.

Для решения задачи в области S задаем фиктивную плотность магнитных масс т (М), которая удовлетворяет условию

(312)

5

116

Плотность т (М) определяется вариационным методом, напри­ мер из условия минимума функции

Если функцию т (М ) представить в виде линейной комбинации ортонормированных компонент cpft одной из систем, полных в про­ странстве непрерывных функций, заданных на S, то

нитной катушки

После этого, основываясь на единственности решения задачи Дирихле, на условии (312) и граничном условии для ферромагне­

который, обтекая ферромагнетик, заполняющий S, обеспечит вы­ полнение условия (313).

При несложных расчетах целесообразно использовать прибли­ женный подход. Для этого поле отдельной бронированной ка­ тушки типичной формы (рис. 29) вычисляют на оси по одному из методов, изложенных в § 5.

Как уже было там отмечено, взаимным влиянием катушек, ввиду быстрого убывания поля, можно пренебречь. Характер убывания поля иллюстрируется рис. 30.

Обычно в эмиссионных линзах поле ферромагнетика, как показывает опыт, находится в режиме, далеком от насыщения.

117

При этом поле бронированной катушки линейно зависит от тока в обмотке. Приближение заданного на оси поля осуществляют теми же методами, которые описаны для небронированных ка­ тушек; коэффициенты Апт в функции F,, или Flt определяемые по формуле (309) или (311) соответственно, используют при расчете

ввиде таблицы.

§17. Примеры расчета эмиссионных систем методом минимизации функционалов

Расчет магнитны х линз. В качестве примера применения ме­ тодов, изложенных выше, рассмотрим расчет магнитных линз для многокаскадных электронно-оптических преобразователей, применяемых в современных приборах типа «лупа времени». Та­ кие приборы используются для регистрации быстропротекающих процессов, например при плазменных исследованиях.

Современные электронно-оптические преобразователи, пред­ назначенные для плазменных исследований, в частности усили­ тели света для камер сверхскоростного фотографирования, должны обладать рядом особенностей: рабочая часть их фотокатода должна иметь большой диаметр, часто сравнимый с их длиной, поле зре­ ния должно быть широким, прибор должен обладать высокой разрешающей способностью по всему полю зрения. К электрон­ ному изображению предъявляются очень высокие требования в от­ ношении правильности его геометрических пропорций, что дик­ туется особенностями проводимых на этих приборах измерений. Так, не допускаются линейная и анизотропная дисторсии электрон­ ного изображения; последнее должно быть четким по всему полю зрения.

В § 12 уже было показано, что дисторсия и средняя кривизна изображения приводят к основным аберрациям катодных линз и поэтому должны исправляться в первую очередь. Ниже приведен расчет одного класса усилителей света, предназначенных для указанных выше целей.

В качестве электростатической камеры, которая в данном случае не рассчитывается, выбрана хорошо разработанная элек­ тростатическая линза. Она состоит из двух электродов, образую­ щих рассеивающее электростатическое поле, способное сформиро­ вать электронное изображение только в магнитном поле. График электростатического потенциала на оси одной камеры линзы при­ веден на рис. 31.

Рассчитываются только магнитные линзы для камер такого типа, работающих в качестве каскадов усиления света, соединен­ ных по принципу оптического контакта. Конструирование элек­ тронной линзы, создающей изображение с заданными свойствами, осуществляют, как указывалось во введении, в три этапа; сначала рассчитывают поле, создающее электронное изображение с задан­ ными свойствами, затем — источники поля (в данном случае элек­

118

тромагниты), которые его реализуют, и, наконец, окончательно проверяют качество изображения, сформированного полученной системой источников.

Первую задачу решают посредством рассмотренного в § 15 метода минимизации функционала, позволяющего по наперед за­ данным характеристикам электронного изображения рассчитывать формирующее его распределение магнитного поля вдоль оси сим­ метрии линзы. При этом задаются как геометрические характери­ стики (увеличение, положение плоскости изображения, угол его

ния. К этому требованию полезно добавить, во всяком случае при расчете поля в первом приближении, требования некоторой периодичности поля, и именно

ускоряющие потенциалы в различных каскадах, что технически наиболее целесообразно.

Как видно из рис. 31, электростатическое поле ускоряющей камеры однородно на протяжении значительной части линзы, примыкающей к катоду.

Выражения (295), (296) и (316) представляют собой линейные алгебраические уравнения относительно коэффициентов луча ß„ в разложении (302). Для записи коэффициентов аберраций дисторсии и кривизны в данном случае не использовались формулы (272) ввиду их громоздкости и трудностей, возникающих при вычисле­ нии входящих в них интегралов из-за необходимости выделять особенности на нижнем пределе в подынтегральных функциях. Однако класс электромагнитных линз, о котором идет речь,

119