Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

6.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 307 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Определение				средней квадратической						о т б д из
	ряда дойных				невавиоточных			измерений
Пусть в результате измерений получены следующие дан
ные: результаты			измерений			/ /	и			и	»•••»
"	К	і "	1	м с а			Р,		Р2 , --- , Р„ ■
Образуем		разности:
		d		, -	e	:	-	p		" ■
Веса	этих	разностей:
		ß _			А	■" ’	I k .
		2		’	2	■" ’	т 2
Разности		сі	»	аі„		п	можно		рассматривать
		‘		2		п	с весами			р	р
как случайные ошибки измерений							с весами			. . . .	,
и тогда средняя квадратическая оиибка единицы веса
моиет быть найдена по формуле
	Г ^ Р , ,		J 2 Р 3 ~				Рп		/--------- ■		ТО ^
											ТО ^

§ 9'. Линеаризация Функций случайных аргументов

Используя теоремы о числовых характеристиках случай ных величин, можно по характеристикам случайных аргумен тов получить характеристики неслучайных Функций от этих аргументов. При этом предполагается, что вид функцио нальной зависимости является линейным.

Пусть, например,

		y=/U f
где	X	имеет
	Тогда
		II	•
	Или
		У = X + Z .
где	тх	* 3 - ; rng ; &	известны.
	Тогда

( I . 120)

( І .І 2 І )

а . 122)

( I . 123)

^		^ Z ?		(І.І2 4 )
<5 = лІ(5г *		г	•	(І.І2 5 )
^	Г Уаг

Тля нелинейной функции эта задача не определена.На практике хе часто возникает необходимость хотя бы при ближенно оценить нелинейные функции случайных аргумен тов.

Например, дистанция определяется по вертикальному углу, измеренному секстаном, оиибка измерения угла из вестна, требуется найти ошибку в расстоянии. Эту зада чу решают путем приближенной замены на ограниченном участке реальной функции линейной величиной (функция заменяется отрезком касательной).

Пусть

y = f ( X ) ,

где X	"	случайная		величина;
ср	-	нелинейная		фуякаал.
Будем считать,			что	случайны величина X находится
в пределах		участка	{ o ifö ) :

Р ( с ^ < Х ^ р ) = і .

На этом участке заменим зависимость <Р(Х) касательной, уравнение которой может быть записано в виде

Теперь получена линейная зависимость, с помощью ко торой можно решить задачу нахождения характеристик слу

чайной величины У , т у и	. Они определяются по
теоремам о числовых характеристиках:
/ г 7 у = р ( / г ? х ) - 7	( і . 126)

вуг‘ [г'(г” х )]2&*			( і. 127)
Эти прави ла м агу г быть	раснрострвнены		и на функции
н еск о льк и х а р гу м е н т о в :
■>т х г	» • * ' »	) 9	f l . 128)

* w - È ( 0	<	алэт)
S = H ctycL і (эи и (5^	известны•; найти &ä .
Пример. Расстояние определено по вертикальному углу;
Продифференцируем формулу по обеим переменным:
clS=c to а. dH------2— dick •
<г	S in cL

S i n 2cL

A S = ct^ cL Д Н ~

AcL

Величины д S , ДН , Дсі. можно рассматривать как случайные погрешности с соответствующими дисперсиями:

Ge - c t ,f 2a . a „ * —t-t5 - , - г

Перейдем к конечным приращениям:

§10. Дисперсионный анализ

Спомощью дисперсионного анализа можно выяснить сте пень влияния каких-либо факторов на результаты измере ния. Например, при измерении некоторой величины несколь кими однотипными приборами требуется оценить, являются ли оценки математического ожидания, полученные разными приборами, значимыми.

Такого рода задачи, в которых рассматривается влия-

пие какого-либо одного фактора (прибора, наблюдателя), решаются с помощью так называемого однофакторного дисперсионного анализа. Сущность приемов этого анализа заключается в следующем.

Пусть какая-то величина измеряется т наблюдателями одинаковыми инструментами определенным числом приемов п в одинаковых условиях. Можно ли считать, что ре зультаты измерений будут однородными по положению центра группирования. Иными словами, являются ли значи мыми различия оценок математического ожидания для каж дого наблюдателя. При этом предполагается, что точность всех наблюдений одинакова. В данном случае необходимо выяснить влияние наблюдателя на результат измерений.

Итак, всего измерений т х п .

Обозначим каздый результат через х . ■ ,				где і	- I,
2 ,...,/7 ? f £■= 1,2, п .			V
Результаты наблюдений сведем в таблицу				(табл.1 ,4 ),
			Таблица ІИ
Номер наблю-		Номер измерения
	I	2	3	п - /	п
I	х н	Х!2	х *		Х,п
2
	Х2!	Х22	Х23		Х2п
3
	ХЗІ	Х32	Х33		х3а

т	Хт,	-^т2	Х™п		XГПп

По результатам каждого наблюдателя вычислим средние:

Х ‘	7	Хгж^~П	'•>"	* '•>	Хт =-
Общий центр		группирования	получим,		осреднив все
группы:
		Х= ■	1	Ч	(I . ТЕЮ)
		І	1	Ч
		т-п
или
		хг.п		7

6 1

Дисперсия результата всех измерений мохет быть за писана так:

пт

					( І .І З І )
	}	1	( І .І З І ) ,		прибавив и отняв от
Рассмотрим числитель			( І .І З І ) ,		прибавив и отняв от
о значения средних для каждого					наблюдателя:
} і	*		/*'		*
j*l	І-І	U i	Ш '	гі
j*l	І-І	j=‘	i =l	V

Третий член последнего равенства состоит из произ ведения разностей средних уклонений. Следовательно, его

величина равна нулю:

			% (* 4 -Xi)= ” * r n S r			0 -
	второй		ч л е / от }	не зависит,		поэтому
			П т	т
	Итак,			t-i
	Итак,
rz	т
Т ^ ( хі г х ^ п 11(хг				х У + £	L	(Ч ѵ - ^ ) •	( І , Ш )
і	і	г	І	/	і	г
	Таким		образом, мы	получили б первой скобке сумму
квадратог уклонений по группам, а во второй скобке -
сумѵѵ		квадратов уклонений в группе.

Обозначим:

левую часть равенства

первое слагаемое справа Qt ;

второе слагаемое справа

Итак,

Q = Q, + Q2

Q - рассеивание по фактору (по наблюдателям);

Q- рассеивание внутри каждой группы (остаточное рассеивание).

Предположим, что результаты измерений подчиняются нормальному закону распределения и, что систематических сдвигов нет. Можем считать, что нормальные распределе ния в каждой группе тождественны, так как они должны иметь один общий центр рассеивания и дисперсию.

В этом случае величина дисперсии рассчитывается по формуле

Q	,
в = ------- - »	(І.ІЗ З )
т п - і

где С - несмещенная оценка дисперсии, подчиняющаяся

-распределению с числом степеней свободы

( т п - і ) .

Величины средних				подгруппам х ;	должны иметь диспер
сию (первая		скобка)		. Поэтому	оценка дисперсии
равна	О		•
	— гг
	П(т-1)
Таким оСоазоѵ, по				результатам наблюдений можно вычис
лить	три оценки для			диспепсии:

-	несмещенная оценка дисперсии			___ 0 _
				(,т - п - І )

-	дисперсия	по фактору		Q,	?
				m - i

-	остаточная	дисперсия		Q
			^ 2	т ( п - і )

На сравнении	<3,	и (32 и основан дисперсионный анализ
Критерий значимости расхождений этих дисперсий
r _	G?	_	.	(1 .134)

С5І Q2 (n7' 1^

Критерий имеет следующее количество степеней свободы:

т - І - по первой дисперсии;

т( п - і) - по второй дисперсии.

Так как	законы распределения			и <32 известны,то
можно найти	и закон распределения Г .
Назначая	^	^	-процентный)	уровень вероятности,
можно найти	вероятность		выполнения равенства
		р (г > Г і > 7 о Ь "		( I . 135)
		р (г > Г і > 7 о Ь "
Первоначальная гипотеза об отсутствии систематическо
го сдвига принимается,			если F ^ FQ	> и отбрасывается,

если r > F f .

Входами в таблицу распределения является число степе ней свободы для большей и меньшей дисперсии.

Пример. Длина базиса измерена тремя инварными про волоками, причем каждой проволокой измерения выполнены три раза. Результаты обработки наблюдений показали следующее (табл.Т .5).

Таблица

І.Ь

ѵ омпонскты

Сумма

к в ад

Число

с т е

Средний

д и с п е р с и и

ратов

п ен ей

с в о

квадрат

боды

Не жду

при

/77-1=2

>•4» л

б о р а м и ..............

2 6 0 , I

мм

1 3 0 ,0

■зг

внутри

при

/7?-/7-/77=6

б о р о в .................

7 4 2 , 1

мм

1 2 3 , 7

П олная ..............

1 0 0 2 , 2

мм

т п-1 =°

ТО 5 , 3

к а ч е с т в е н ул ев ой

г и п от езы

выбираем

г и п о т е з у

об о т

с у т с т в и и си с т е м а т и ч е с к и х

с д в и г о в .

Проверим э т у г и п о т е з у

с псмсщью

Г -

р а с п р е д е л е н и я :

F *=—

= т

о[з.

Т'"'*'4 г-»

Гольшая

д и сп е р с и я

/ І30')

имеет

дие

с т е п е н и

с в о б о д м ,

меньоіая

с е с т ь

с т е п е н е й

с в о б о д ы .

По

табли ц е

’’•’’•л

уровня в е р о я т н о с т и найдем

= 5

, Г4,

F -

. , 0 Г ;

Г<

поэтом у

н ул ев ая

г и п о т е з а

п р и н и м а ет ся .

Глава П. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДТАТДЗ ІЛЯ РЕШЕНИЯ НАВИГАШОННЫХ И ГИДРОГРАФИЧЕСКИ*

		ЗАДАЧ
§	I I . При н ц и п наименьших квадратов.
	Уравнение с	уравнениями ошибок
	и с условны ми уравнениями
Пусть	в результате измерения некоторой функции
	у - п * )
получено	г= 1 ,2 ,3 , ... ,	п значений величины^'. .По

скольку измерения сопровоадаются неизбежными погреинос тями, имеющими случайный характер, то и величины всех будут случайными. Примем, что закон распределения

ошибок измерений является нормальным с параметрами

">¥ Ш<Р ( * )

в « '

Предположим, что измерения равноточны, и тогда плот ность распределения каждого результата измерения будет

Определим вероятность попадания случайной величины У на участок .

бб

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 307 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ