книги из ГПНТБ / Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие

или

Напишем очевидное тождество

Умножим обе части равенства справа на

( Кл + А к п А ) •

Тогда

* H * s A «nAT?+ k 'J v k S K W W 7) 4 •

Теперь еще раэ умножим обе части равенства слева на

АТ и справа на А '■

А7КА - А \ к &+АК„А ТТ'а +А гКд АКпА '(Кл+АК„А Г)~‘а

и затем слева на (А ТКJ А ) •

э . { а т^ а )"а \ к^ а к п а , )"а ^к„ а т{к ^ а к п а ’ ) '1а .

187

ИЛИ

а т(кл+а к г а т) ' а ]

( Г . ь ' '

. /

Х . - Х

188

Таким образом, метол последовательного вычисления места, при правильном назначении весов АП лает такой

Этой системе соответствует система нормальных урав­ нений:

[ p u u ] x t [ p a i ] ^ - [ f f a f y 0 •

^ р а б ^ X + [ Р ^ ] = О *

Исли в момент f2 измерено еще одно значение навига­

ционного параметра, то к исходной системе уравнений погрешностей долио быть добавлено еще одно N -е урав­ нение с весом /о :

' " Р ы >

оосле чего сметена нормальных уравненій примет вид:

(paa]„x t [pa* L ? - [ p afL = ° i

[ p * é ] M* + - [ p é f ]N = ° ’

189

Метод последовательного вычисления места состоит в замене исходной системы уравнений двумя эквивалентными:

Сюйством системы эквивалентных уравнений погрешнос­ тей является сохранение прежнего вида нормальных урав­ нений, т .е .

и т .д .

Поэтому, присоединив уравнение погрешностей (оно соответствует измеренной линии положения) как к исход­ ной, так и к эквивалентной, мы будем получать одну и ту же систему уравнений. Это говорит о том, что коорди­ наты получай те же значения независимо от способа вы­ числения.

От предыдущих рассуждений это доказательство отли­ чается тем, что в нем не показан учет ошибок счисления эа время Т2~Т/ •

§26. Статистическое моделированію л его применение для решения гидрографи­

ческих и навигационных задач

Как известно, результаты всех гидрографических ис­ следований, а также различных задач навигационного обе­ спечения в значительной степени зависят от множества случайных факторов. При разработке новых методов и при­

190

емов исследований влияние этих факторов можно устано­ вить путем постановки специальна! экспериментов, что обычно требует значительных затрат времени и материаль­ ных ресурсов. Эту же задачу можно решить, моделируя случайные ошибки измерений, выполняемых в ходе исследо­ ваний, ошибки обсерваций и т.п . Пусть, например, нам нужно исследовать влияние ошибок места при различных меадугалсовнх расстояниях на точность отображения рельефа дна, полученного в результате промера. В ка­ честве модели мото взять топокарту соответствующего масштаба, характер рельефа которой идентичен рельефу в исследуемом районе. На топокарту нанесем систему запланированных галсов и отметим на них точки предпо­

лагаемых обсерваций. В каждой такой точке снимем глуби­ ну. Затем нам необходимо смоделировать случайное смеще­ ние обсервованных мест. Это можно выполнить двумя путями:

-моделируя случайное смещение каждой линии положе­

ния f

-моделируя случайное смещение места.

Впервом случае мы должны иметь случайные числа,рас­ пределенные по нормальному закону, а во втором - табли­ цу равномерно распределенных направлений смещении от

Оде 560° и таблищу случайных чисел, распределенных

не закону Релея.

Наиболее распространенным типом таблиц случайпх чисел являются таблиш закона равномерной плотности. Нормальное случайное число можго получить, складывая 6 -8 равномерно распределенных случайных чисел. С этой

же целью можно воспользоваться вспомогательными таблич­ ками перехода, рассчитанными по Формулам (табл.3.2)*

191

3£блща

t-o,os

P , ( i ) - 2 $ n t U t ;

О

t+o,os

Рг Ц ) - г \ f ( t ) d t ,

192

где 4>(t) - плотность вероятности соответствующего

закона распределения (например, Релея или Гаусса);

Р, 2(t) - границы интервала значений вероятностей,

в пределах которых находится вероятность появления случайного числа t , имеющего распределение <f(t) •

Годным аргументом з эти таблини служит вероятность Р , выбранная из таблиц равномерной плотности. Про­

кладку линий положения производят в следующем порядке. От заданной точки перпендикулярно направлению линии

положения откладывают величину

Л п - t с~ ,

где $ - среднее квадратическое смещение линии по­

ложения.

Вычислив вероятнейшее значение координат (при числе ЛП больше двух), нанесем точку на модель рельефа и сни­ мем значение глубины. По полученным таким образом "про­ мерным" профилям восстановим рельеф и сравним его е первоначальным. В качестве количественного показателя степени искажения рельефа можно принять среднее квадра­ тическое отклонение глубины в фактической и запланиро­ ванной точках или же среднее квадратическое отклонение "промерного" и запланированного профилей. Указанным путем можно моделировать не только промер, но и все процессы исследования геофизически полей, внося слу­ чайные величины в результате зажеров и т.п . Аналогично можно исследовать различные методы обработки резуль­ татов обсерваций.

Пример Т. Произвести моделирование ошибок определе­ ния места, если ЛПІЧ имеет направление NS , а

Из таблицы случайимх чисел, распределенных по за­ кону равномерной плотм ет и, мИерем два числа, напри­

д п , = 0,П і -= г &,і «S ;

Л0,2 2 ~ - 0 , 4 x 5 .

Условимся, что если первая цифра случайного числа четная, то знак смещения положительный, если нечетная, то знак смещения отрицательный (рис. 22).

X

Т94

Пример 2. В условиях предыдущей задачи произвести моделирование оиибки места, если

в , = = 2 к * •

Из таблицы случайных направлений выберем число.Пусть это будет 270°. Найдем случайное число. Пусть 560. По 560 выберем t = і ,3 :

д п = і ) 3 ' 2 := 2 , 6 к 5 -

Разобранные примеры, конечно, не исчерпывают всего многообразия задач, реыаеинх методами статистического моделирования. К таким задачам можно отнести исследова­ ние эффективности различных мероприятий по навигацион­ но-гидрографическому обеспечение, определение степени влияния различных факторов (надежности, вероятности использования средств навигационного оборудования и т .п .) яа эффективность применения оружия и техничесиих средств кораблей.

Моделируя элементарные события в каждой такой зада­ че, мы можем получить ветвящийся процесс или "дерево событий" и найти конечный результат. Повторяя данные вычисления многократно, получим статистический материал, необходимый для расчета характеристик (вероятности, рассеивания и т .п .) окончательного события.

195

Глава ГУ. ПРИМЕНЕНИЕ. МЕТОДОВ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ГИДРОГРАФИЧЕСКИ МОКЕАНОГРАФИ­

ЧЕСКИХ ЗАНЧ

§ 27. Характеристики случайных Функций и их получение из опыта

Результаты специально выполненных исследований по­ казали, что многие гидроыетеоэлементы, а также различ­ ные параметры некоторых геофизических полей могут быть представлены случайными функциями времени. Их вероят­ ностные характеристики (математические ожидания, кор­ реляционные функции, спектральные функции) обычно опре­ деляются путем обработки экспериментального материала. Применяемые при этом методы в принципе не отличаются от обычных методов обработки, рассматриваемых в матема­ тической статистике, однако имеют некоторые особеннос­ ти, связанные с тем, что ординаты реализаций случай»« функций являются реализациями зависимых случайных ве­ личин.

Рассмотрим задачу нахождения оценки математического ожидания случайной функции л-({) . Эта задача довольно часто возникает при обработке результатов гидрографи­ ческих и океанографических исследований, так как сред­ нее значение измеряемой величиям необходимо для карти­ рования различных геофизических элементов. Кроме того, нас может интересовать значение некоторой неслучайной функции времени или координат, на которую накладывают­ ся случайные помехи.Естественно, что эти помехи следует

1 9 6