книги из ГПНТБ / Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие

/w2= х г+ у 2 ;

А?2“ г 2(А2COS2 + ß ZSir?2<р) j

Al2=A2tß2;

A 2+ ß2=-v2(A 2co s2cf ) + ß 2s i n 2(f >') .

Отсюда

г1

7 =

167

И, наконец, если

R ^ ] f Ä ß 7

то

ъ*(А2cos2<f + t zs i n f ) ■

Здесь

2 ________К_______

Г = cos2f t K 2s i n 2f

2Я

к

2 [cos2f t К 2sin 2f \

о

Таким образом, вероятность попадания в круг в за­ висимости от способа вычисления радиуса является функ­ цией К

168

Вероятность нахождения точки в пределах круга радиу­

В официальных руководствах по навигационному обе­ спечению в качестве предельной ошибки принята величина 2,58М. Вероятность нахождения точки в пределах такого круга равна 99$. Численно эта вероятность совпадает с

вероятностью линейной ошибки, равной 2,58(3" . При из-

д

ѵенении —z- вероятность варьируется в пределах 2 £.

5

При известных элементах эллипса величина Мрассчиты­ вается преете;

Отсюда

М = 1ІАг+Вг •

169

§ 23. Эквивалентные преобразования систем уравнений погрешностей

При наличии избыточных измерений линии положения, как правило, не пересекаются в одной точке и образуют фигуру погрешности. Для приведения результатов наблюде­ ний в согласие необходимо выполнить уравнивание и найти вероятнейшие значения координат. Геометрически это со­ ответствует такой точке, сумма квадратов расстояний от которой до каждой линии положения становится минималь­ ной.

Пусть исходные линии положения представлены в общем виде:

ствующая исходная система нормальных уравнений будет иметь вид:

\paa~^A<f>+ [ра # ] д US + [ра<Г]~Оі

[ p a é ] A f+ \p é é ] A us + [ p t t b o .

Заменим исходную систему уравнений погрешностей эквивалентной ей системой, сосгоящей из двух уравнений. Согласно поставленному условию решение по методу наи­ меньших квадратов исходной и эквивалентной систем должно совпадать.

Пусть уравнения эквивалентных линий положения будут представлены в нормальной форме:

170

определявдий направление первой линии; Т - азимут вто­

рой линии.

Уравнения поправок эквивалентных линий полохения приводят к следу«вей системе нормальных уравнений«

(j>l cos2T+P2s in T ) A P+(Pl ~P2 ) s in TcosTA as ~

-(P'Co sTa N * P 2 sin T A N 2) =0 у

(jfj-P^)Sin Teas TA(f >i'(Pt S in 2T +P2cos2T ) a u S -

-(Pt s in T A N -P 2cosTAN 2 ) = 0 .

Нормальные уравнения исходной и эквивалентной систе­ мы могут различаться только по форме. Сравнивая коэф­

(Pt ~P2 ) s in Tcos T = \p a ë ] .

Слоят и вычтем два первых равенства и перепишем третье:

Р,+Рг ~ \p a a ] + [ p é é J ;

(Pr P2)c o s 2 T = [ p a a ] -[ p é é ]

I7I

Это уравнение показывает, что экстремальные овибки расположены по направлениям двух эквивалентных линий полохения, модули экстремальных овибок равны Pt и Р0 •

Как обычно, в качестве весов приняты величины, обрат­ ные дисперсиям, то есть

Р = ~В2

где А и В - полуоси результирующего эллияса овибок.

Нахождение элементов результирующего эллипса и вероят­

1 7 2

нейших значений координат (или переноса A N f , ДЫг )

можно упростить, применив графоаналитический прием ре­ шения.

Если уравнения исходных линий положения даны в нор­ мальной Форме, то

Теперь получим:

р,+р2 = 1 °] ;

(P-Pg )cos2T=[f>cosZZ]

(Pr Pz )sin2T= [P sin2 7] ;

P ,A N t ^ [ p A n c o s ( T - T ) \= P cr )

P2AN = [ fA « s in ( 7 - T ) ] = P v ;

второе и третье уравнения легко представляются геомет­ рически. Для их решения нужно построить полигон из

в е к т о р о в , направив эти векторы под углом Z Z к из­

бранной системе координат. Геометрическая сумма этих векторов по абсолютной величине

ITS

>{[Л -?] :

Дальне по переносам ANt и a N2 надо построить

эквивалентные линии полохения и в их пересечении по­ лучить место. Рассмотренный выне способ эквивалентного преобразования исходной системы уравнений погреиностей достаточно удобен для ручных вычислений. Однако схема решения в этом случае все-таки останется громоздкой. В ряде задач оолее целесообразно использовать другие эк­ вивалентные преобразования. Поэтому рассмотрим общие вопросы эквивалентных преобразований. Согласно опре­ делению эквивалентными системами называются такие, у которых ревения, полученные по методу найменьиих квад­ ратов, одинаковы. А для этого достаточно, чтобы исход­ ные системы имели одинаковые нормальные уравнения.

Известио, что в самом общем виде систему уравнений погрешностей можно записать так»

174

Запилен эквивалентную ей систему в такой хе форме:

Здесь Q - матрица преобразования. Обозначим через

р ' весовую матрицу эквивалентной системы и напиием систему нормальных уравнений:

A rQ Tp ,C ( A X - A Tq TP lQL = 0 .

Tax как системы уравнений погрешностей по условию эквивалентны, то системы нормальных уравнений должны быть одинаковыми. Отсюда получим условие эквивалентнос­ ти двух систем:

ловие (3.12) выполнялось, найдем способ эквивалентного преобразования исходной системы.

Определим зависимость между корреляционными матрица­ ми исходной и эквивалентной систем уравнений погрешнос­

K ,= (P ')~ '= Q K Q T.

Отсюда следует, что при эквивалентном преобразовании корреляционная матрица системы преобразуется так же,как

175

преобразуется корреляционная матрица случайного векто­ ра при его линейном преобразовании.

Большой интерес при использовании вычислительной техники представляет собой эквивалентная замена систе­

х- х = ѵ ‘ ,

аее корреляционная матрица

к'= Ц Р ~'О іТ= С ~1 .

Пример. Пусть дана система уравнений линий положе­ ния:

Л

176