книги из ГПНТБ / Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие

v ' V v ' = ( X TA W - L ТѲ Т)( Ѳ Т) ' к ‘ѳ ~'(Ѳ А Х -9 L ) ~

= ( X TA T- L r) K ^ ( A X - L ) = V TP V •

Таким образом, требование m i n V lTp ' v '

сильно

V Tp V = m i n .

Матрица коэффициентов нормальных уравнений для пре­ образованной системы будет иметь тот же вид, что и раньше, только матрица Р здесь не будет диагональной.

Корреляционная матрица неизвестных

Ajp =(3 '2С~‘ ,

где

С = А ГР А .

Таким образом, можно предложить два способа нахожде­ ния неизвестных в случае зависимых ошибок измерений:

- решение системы нормальных уравнений по общим Формулам с учетом того, что корреляционная матрица и матрица весов не будут диагональными. Это обстоятельст­ во приводит к необходимости нахождения обратной матри­

цы ( р = к ~ ‘) ; - с помощью невырожденного линейного преобразования

исходную систему преобразовать так, чтобы новая корре­ ляционная матрица ошибок измерений стала диагональной.

Целесообразность применения указанных способов за­ висит от решаемой задачи. При малом чиоле неизвестных, а также при использовании специализированных ЭВМ пред­ почтительней применять первый способ, так как программа

IГ7

обращения матриц в данном случае оказывается достаточно экономной. Второй способ можно рекомендовать при вычис­ лении с помощью настольные машин. При этом получается некоторая экономия объема вычислительных работ по срав­ нению с первым способом.

Вид матрицы Q , с помощью которой можно получить диагональную корреляционную матрицу, определяется сле­ дующим образом. Подвергнем исходную корреляционную матрицу /С элементарным преобразованиям, не изменяю­

щим величины ее определителя, для чего оставим первую строку без изменений, а из второй и всех последующих вычтем первую строку, разделенную на первый элемент первой строки и помноженную на первый элемент преобра­ зуемой строки. Продолжив этот процесс, получим верхнюю треугольную матрицу

по рекуррентной формуле

h r 7 7 ( ^ 3 [иц ( т-^1

атц ^ ц ( т ~ ^ ~

[ Ь т т ( т ~{)

118

полнялось путем вычитания из строк матрицы предыдущие строк, помноженных на некоторые числа (алгоритм Гаусса). Это равносильно умножению слева исходной матрицы на матрицу вида

разования. В результате многократного повторения такой операции наша матрица окажется умноженной на произведе­ ние матриц указанного вида. Очевидно, что это произ­ ведение представляет собой нижнюю треугольную матрицу с единицами на главной диагонали. Обратная ей матрица тоже будет нижней треугольной. Обозначим ее через F

и представим в виде произведения некоторой другой ниж­ ней треугольной матрицы на диагональную:

F = ß D •

"з определений введенных матриц следует, что

Ka= F £ = ß D G = В (DO-'} .

Положим

П9

$N( ■

через элементы матрицы К • Лейст*«тельно

к,Г

1 2 0

/Г =<?T2><? . J

Значит, для приведенкя корреляционной матрицы к диагональной следует положить

б » = ( О г *

Перепишем уравнение иогрешностой

a ’X - l ^ v ' ,

где

л Ч с Г ' М ;

L'=(G4 ) Tl ;

121

/С у <7-/

Впрочем, пользоваться этой последней формулой нет смысла, так как вид приведенной к диагональной корреля­ ционной матрицы нам уже известен. Поэтому можем напи­ сать сразу

или

р , Ч , > # ! > « • ' ] > • • • І P ^ m . W - 0 ] ■

Обращение матрицы О- облегчается ее треугольным видом

122

Перемножая & и Ѳ , получим формулы для определе­

ния элементов матрицы G ' •

К д, г 4~ ’>

к ш ( л ' - ф т ‘ ' і

K^2t + ^2!®22= О 1

[ V yJ s« " 0 >

Пример I. .Гля определения места измерения высоты четырех светил, параметры линий положения даны в таб л .? .2.

Средние квадратические ошибки лж.лй положения равны

I*. Кроме случайных окибок стандартных, которые обо­

123

Реиение. Составим корреляционную матрицу ошибок из­ мерения:

Теперь найдем матрицу весов, обратную корреляционной. 6 данном примере операция обращения матрицы может быть существенно упрощена за счет того, что все элементы ис­ ходной матрицы одинаковы.

о ік - элементы исходной матрицы;

-алгебраическое дополнение элементов исходной матрицы;

-символ Кронекера ;

Т24

Вычислим коэффициенты нормальных уравнений:

ArPL = - 3 , 1 6

+ 5 ,7 0

Теперь запишем нормальные уравнения:

0 ,7 4 4 а р - 0 , 2 4 1 д и М -3 ,1 6 = 0-? - 0 ,2 4 і Д f r 0 ,9 5 7 Д o f - 5 , 7 0 = 0 .

Решая эти уравнения, найдем вероятнейшие поправки и координатам с учетом случайных и повторяющихся ошибок.

126