книги из ГПНТБ / Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве
.pdfВыпуклые множества в гильбертовых пространствах |
59 |
множителем. Отсюда сразу получаем
[h, f] < j[ h { t) , |
f(-)<=C, |
а
так что
b
f s W = { [h(t), x{t)\ dt,
где
x(t)- |
h { t ) |
, |
если |
h (t) Ф 0, |
IIА(0 ! |
||||
а при h(t) = 0 в |
качестве |
x(t) |
можно взять любую |
|
измеримую по Лебегу функцию с нормой не более 1.
П р и м е р 2.4. |
Пусть, как и раньше, пространством |
Н будет L2(a, b)q, |
но теперь |
£ = { / ( • ) : / ш О И Л < і } .
Известно, что это множество не ограничено. Обозначим через h( - ) произвольный элемент пространства. Тогда последовательность функций
|
<+д |
|
сходится к |
функции [h{t), о] почти |
всюду по t. Беря |
в качестве |
ѵ произвольный элемент |
единичной нормы, |
мы видим, |
что функция |
|
/< s < / + А,
востальных случаях
принадлежит С, а значит, |
|
., |
ess sup II/г (t) |
(â).j |
|
Если h.( •) — простая функциЯі |
.то- в С найдется |
|
такой элемент х, что |
,\- |
...., . . |
fs W = [h, х\ = ess sup j| h (/) ||.
60 |
Глава 2 |
В самом деле, таким элементом х будет, например,
/ч |
= |
Г(А(0/П а (/) II) (1/m(Q)) |
на Q, |
jc(0 |
1 л |
в остальных случаях, |
|
|
|
I 0 |
где
Q = {^e(a, b): || h (t) ||== ess sup || h (t) ||}.
Пусть теперь функция h (•) такова, что ess sup II h (t) И< oo.
Тогда существует последовательность простых функций £„(•), сходящаяся сильно к Іі. В силу слабой полу непрерывности снизу функции fs(-)
/,(А )< lim ess sup||g«(f) ||
и, следовательно,
fs (А) < ess sup II h (0 II,
что вместе с уже доказанным выше обратным нера венством показывает, что
|
|
fs (Л) = |
ess sup II h it) ||. |
|
|
Это равенство всегда |
верно в том смысле, что если |
||||
его правая часть бесконечна, то бесконечна |
и левая. |
||||
Отметим, в частности, |
что наш опорный функционал |
||||
не непрерывен. |
|
|
|
|
|
П р и м е р 2.5. |
Пусть |
х0 — произвольная точка из Н, |
|||
а М — замкнутое |
подпространство в Я. |
Тогда |
опорный |
||
функционал выпуклого |
множества |
|
|
||
|
|
С = Xq“|- Af |
|
|
|
задается |
равенствами |
|
|
|
|
|
МА) = |
[А, *о], |
если h _L М, |
|
|
|
оо |
в противном |
случае. |
|
|
|
|
|
|||
В этом |
несложно убедиться, поскольку для |
любого |
|||
у = Xq+ |
2, где г е М , |
|
|
|
|
[A, y\= [h, Xo]-\-[Ph, г],
Выпуклые мноокества в гильбертовых пространствах |
61 |
где Р — оператор |
проектирования на М. Заметим, |
в частности, что |
|
inf ||*ь — 2 11= SUP (—1 |
|
z e M |
IIA IK I |
Функционал Минковского
Известно (к тому же мы убедимся в этом несколько позже), что в конечномерном случае всегда можно найти опорную плоскость, проходящую через произ вольную граничную точку выпуклого множества. Но в пространстве бесконечной размерности это уже не верно. Здесь достаточное условие состоит в том, чтобы выпуклое множество С содержало по крайней мере одну внутреннюю точку, которую с помощью переноса можно сделать началом координат. В этой связи по лезен функционал Минковского. Его можно определить всякий раз, когда начало координат оказывается по глощающей точкой множества С, т. е. когда для любого элемента h из Я и некоторого числа е > 0, зависящего, вообще говоря, от А, элемент th принадлежит С при
0 < г < е .
Функционал Минковского задается равенством
р (Л) = inf {f: / > 0, hit е С}.
Он обладает следующими свойствами:
(і) 0 ^ р (ah) — ар (А) для всех чисел а ^ 0, (ii) р(А)<1 для А е С ,
(iii) Р(А, + h2) < р (А,) + р (А2), А„ А2 е= Я.
Докажем свойство (ііі). Для этого заметим, что для каждого е > 0 элементы hx!(p (h{) -f- е) и А2/(р(А2) -f е) принадлежат С и, значит, их выпуклая линейная ком бинация
и |
t |
h' |
A-1 |
2 р |
h2 |
3 |
|
1 Р(Л,) + 8 |
^ |
(h2) + 8 ’ |
|
где |
|
|
|
|
|
|
t |
P(/Zl) + |
S |
|
|
|
1 |
Р (*i) + |
Р (А*) + |
2е ' |
|
/2 = 1 tx,
62 |
Глава 2 |
также принадлежит С, так что
р(Аз)<1-
Но
Аз== (А| + Аг)(р(Аі) + р(Аг) + 2е) \
апотому в силу свойства (іі)
Р(А, 4 -А2) < р (/г,) + р (ho) + 2в.
Так как е сколь угодно мало, то отсюда вытекает (ііі). Обратно, для любой функции р, обладающей свой ствами (і), (іі), (ііі), множество {А: р (А )^ 1}, очевидно, замкнуто, выпукло и содержит начало координат, являю щееся его поглощающей точкой. Более того, функцио нал Минковского для этого множества совпадает с р( •). Заметим, что если нуль — внутренняя точка, то она также и поглощающая, но обратное не обязательно. Очевидно также, что функционалом Минковского еди ничного шара в Я с центром в начале координат
служит норма этого пространства.
Укажем теперь следующую взаимосвязь между функционалом Минковского, с одной стороны, и опор ным функционалом — с другой. Пусть С — замкнутое
выпуклое множество, содержащее |
начало координат |
в качестве поглощающей точки. Тогда |
|
[A, A]<f(A)p(ft) |
|
r Ä e f ( - ) — опорный функционал, а |
р( •) — функционал |
Минковского. Для того чтобы убедиться в этом, до статочно заметить, что для всех А из С
[А, А]</(А)
и, следовательно, для любого А и любого е > О
Но это значит, что
f ( A) > ( p ( A) + е)-'[А, А],
или, поскольку е произвольно,
/(Л )> р(Л Г '[А , Л],
Выпуклые множества в гильбертовых пространствах |
63 |
П р и м е р 2.6. Пусть H=±L2(a, Ь)4, интервал (а, Ь) конечен и
C = j f ( - ) : J Wdtf^mIlf (0 < с»J .
Тогда, так как
S\lHt)l\dt<Vb-a\lf\\,
то шар S(0; m l Yb — а) содержится в С. Функционал Минковского для С имеет вид
ь
p(h) = ^ \W h { t) \\d t
а
и, следовательно,
Р ( А )< -Ц р -||А ||-
Далее, для любой функции у (•) из Н
Hm S S L + W - p W =
0<Л->0 Л
[h (О, у (01
m J IIЛ (О II dt + ± J||y(/)l№ . £о
где Е0— множество, на котором hit) обращается в нуль, а Я] — его дополнение на отрезке [а, Ь]. В самом деле, справедливо равенство
|
ДА(0 + Я у ( 0 Д - | Л ( 0 | |
1 |А(0 + Яу(0Р -|й (0||« |
|||
|
К |
|
— X [А(0 + Яу(0Д + |А(0І 1 |
||
Так как |
|
|
|
|
|
то |
можно применить |
теорему |
Лебега об |
ограничен |
|
ной |
сходимости, т. |
е. |
найти |
поточечные |
пределы. |
64 |
Глава 2 |
В результате правая часть равенства примет вид ЯII у (і) IP + 2[h (/), y(t)]
1 A(0 + **(/)« + IA (01 ’
что и дает искомый предел.
Полученные свойства можно доказать и в более общем виде. Всякий функционал Минковского (для вы пуклого множества с началом координат в качестве внутренней точки) непрерывен. Более того,
|
|
Р (А) ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
supw |
< 0 °- |
|
|
|
|
|
Это непосредственно следует |
из |
того, что, |
поскольку |
|||||
p { h )^ - 1, |
Ае |
С, и существует шар, |
скажем |
5(0; |
г), |
|||
целиком |
содержащийся в С, |
то |
для |
всех |
h, |
|| h || ^ |
г, |
|
Поэтому для |
P (h)< 1. |
|
|
|
|
|
||
всех h |
|
|
|
|
|
|
||
Р(Л)<-7І|/гІІ;
непрерывность вытекает отсюда и из того факта, что
р (*) < р (х — у) -{- р (у)
и, следовательно,
f Р (х) - Р {у) К Р(х — у).
Будучи выпуклым, функционал Минковского имеет односторонние производные. Действительно, легко ви деть, что функция
Р(X+ Ц) — р (х) ^ ^ о
монотонно не возрастает при Л->-0, поскольку при
<С Я]
Выпуклые |
мнажества |
в гильбертовых |
пространствах |
65 |
|
К тому же эта |
функция ограничена, |
так как |
|
||
I р(х + Щ — р (х) |< р (х + %у — х) = Хр {у). |
|
||||
Обозначим |
|
|
|
|
|
х{х, |
у) = \\m p{x+Xtj)- p{x) , *,> 0 . |
|
|||
|
|
Я,->0 |
л |
|
|
Полученные свойства пригодятся нам для доказа |
|||||
тельства следующей теоремы. |
|
|
|||
Т е о р е м а |
2.1. Пусть С — замкнутое выпуклое мно |
||||
жество в Н, |
для которого начало координат является |
||||
внутренней точкой. Тогда для любой его граничной точки х0 можно найти опорную плоскость, проходящую через х0.
Д о к а з а т е л ь с т |
в о . Заметим, |
что функционал |
Минковского р ( - ) в |
точке х0 равен |
1. Зададим функ |
ционал L( - ) на линейном подпространстве, натянутом на х0, равенством
L (ах0) = а.
На этом подпространстве функционал L ( - ) линеен и, более того,
L (ax0) = а ^ . р (ах0) = | а |.
Поэтому, согласно теореме Хана — Банаха (см. [3] или любой другой стандартный учебник по функциональному
анализу), функционал L (■) можно |
продолжить |
на все |
|
пространство Я так, что | L (х) | |
(х). Другими сло |
||
вами, существует такой линейный |
функционал |
L (•) |
|
на Я, что |
L (ах0) = а |
|
|
|
|
|
|
|
■ | i W K p ( х). |
|
|
Но поскольку при |
некотором М < оо |
|
|
|
Р М < М КXII, |
|
|
то I L (х) |^ М || л:И, |
т. е. функционал |
L( - ) непрерывен, |
|
и по теореме Рисса |
|
|
|
L{x) — [х, е]
3 Зак. 751
66 |
|
|
Глава 2 |
|
|
|
для |
некоторого е из И. |
Наконец, для любого X |
из С |
|||
|
|
|
p(x-)< 1, |
|
|
|
так |
что для |
всех х из |
С |
|
|
|
Уравнение |
[х, |
е ]< [х 0, е]. |
|
|
||
[х, е] = [,ѵ0, е] |
|
|
||||
|
|
|
|
|||
определяет |
опорную плоскость, проходящую через |
|||||
точку х0. Теорема доказана.' |
|
|
||||
|
Заметим, |
что для |
любого элемента |
у из Н |
при |
|
Р (х0+ Ху) — р (х0) = |
|
|
|
|
||
так |
что |
= р {х0+ ty) — 1> L {х0+ Ху) — 1 = XL {у), |
||||
т(*о. y)> L (y). |
|
|
||||
|
|
|
|
|||
Далее, так |
как при Х ^ О |
|
|
|
||
то |
Р (хо — Ху) — р (лг0) = |
р (х0 — Xy)— \ ^ |
— XL {у), |
|
||
|
(- 1 )т (х 0) - - J / K L {у), |
|
|
|||
или |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
Т (дг0, у) > L (у) > — X (х0, — у)-
На самом деле последняя оценка верна для любого опорного функционала, проходящего через точку % Действительно, обозначим функционал через L' ( - ); опорная плоскость задается уравнением
L' (х) — L' (х0).
Тогда для всех л: из С
L' (х) < L {х0)
и, следовательно, для всех х из Н
и (тЬ) + 8) ^U |
е > °> |
так что |
|
L' (х) < L' (х0) р {х). |
|
Выпуклые множества в гильбертовых пространствах |
67 |
Очевидно, что можно сделать нормировку, в результате которой L'(x0) = 1. Отсюда следует, что опорная плос кость, проходящая через х0, единственна, если для всех у из Я
х(х0, У) = {— 1)т (лг0, — у).
Заметим, что в примере 2.6 это условие выпол
няется, если функция /г(-) такова, |
что множество |
{і: /г (t) = 0} имеет лебегову меру нуль |
и |
ь |
|
III h (0 II dt = m. |
|
а |
|
Заметим также, что если для некоторой граничной точки h
%{h, у) — [у, X] Для всех уе =Я
при некотором х из Я (что имеет место в примере 2.6, если функция h(t) обращается в нуль на множестве лебеговой меры нуль), то, конечно, уравнение
[у, х] = [h, х], у ^ Н ,
определяет единственную опорную плоскость (а также и касательную плоскость), проходящую через h (и для этого не нужно никакой специальной теоремы!).
Опорное отображение
Предположим, что в точке h
U{h)~\h, х], Jte C ,
и X— единственная точка из С, обладающая этим свойством. Тогда' мы будем говорить, что выпуклое множество С строго выпукло в точке х. Выпуклое мно жество С называется строго выпуклым, если
fs {h) = [h, х] для X е С
и элемент х единствен для каждого h из Я. В этом случае функцию
S(h) — x
3*
68 |
Глава 2 |
называют опорным отображением. Если строго выпуклое множество к тому нее и ограничено, то можно сделать более сильное утверждение: в этом случае опорное отображение определяет градиент опорного функцио нала, т. е.
lim -jr (fs (А + Ху) - |
fs (А)) - |
[S (А), у], у, |
А e Я. |
|
a.-»o Л |
|
|
|
|
В самом деле, положим |
|
|
||
fs (А) = |
[А, г], |
fs(h -f Ху) = [h + Xy, z j. |
||
Тогда |
|
|
|
|
[у -] ^ |
г1~ 1/г' г1 |
fs 1/г + ХуУ>~ |
f* W |
|
Так как множество элементов zk ограничено (ибо г^еС), ясно, что из каждой его подпоследовательности можно выделить еще более узкую подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторому элементу из С. Очевидно, что этим элементом должен быть элемент z и, значит, z^—>z слабо.
Заметим, что если опорное отображение S{ ■) непре рывно, то непрерывен и опорный функционал. С другой стороны, опорный функционал любого замкнутого огра ниченного выпуклого множества также непрерывен, по скольку
I fs (А ) К I I А || s u p |
|| у Ж пг, || Апг|| <• о о , |
уеС |
|
и функция fs{-) полуаддитивна. |
|
Пример 2.7. Очевидно, что любой шар строго |
|
выпуклый. С другой стороны, |
если Н = L2(a, Ь)4, интер |
вал (а, Ь) конечен и |
|
С — U ('У- f( t)^ C q |
ПОЧТИ ВСЮДу}, |
где Cq— строго выпуклое замкнутое ограниченное мно жество в Eq, то множество С не обязательно строго
выпукло. Чтобы убедиться в этом, достаточно взять в качестве Cq множество
Cq = {x<=Eq: Иж |К 1}.