книги из ГПНТБ / Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве

теорема Рисса о представлении. Из равенства (1.17)

щего определенный интерес в теории дифференциальных уравнений, рассмотрим следующую задачу в простран­ стве U(a, b), где [а, b] — конечный отрезок вещественной оси. Скалярное произведение в Ь2(а, Ь) задается

формулой

h

I/. йо= J f (О(fU)dt■

а

Обозначим через V подпространство в L2(a, b), образованное абсолютно непрерывными функциями,

Тогда V будет полным относительно нормы, индуциро­ ванной этим скалярным произведением. Действительно, если {f„} — последовательность Коши относительно этой нормы, то, обозначая ее предел в L2(a, Ь) через f0, а предел производных f'n через g0, получаем

так что функция f0(t) абсолютно непрерывна, а ее производная совпадает с g0.

Зафиксируем некоторый элемент h из L2(a, Ь) и заметим, что равенство

L(v) = [h, о]о

определяет на V непрерывный линейный функционал, поскольку

( 1.20)

пространство). Для каждой функции / ( • ) из Н зададим функционал

L( f)= J fd\i.

Q

Согласно неравенству Шварца,

\L(f) |2< J | / | 2d p < J l H * P = ll/IP.

Йй

Следовательно, L (■) определяет на Н непрерывный линейный функционал, и в силу теоремы Рисса о пред­ ставлении

L(f) = [f, А]

для некоторого А е Н, или для всех / (•) из Н

J / dp = С/А dф.

Q Й

Поэтому для каждого Л е І

Сdp = СА dф,

АА

где в качестве f (■) мы взяли характеристическую функ­ цию множества А. Отсюда следует, что А ^ 1 почти всюду по мере ф. В частности, если через Л_ обозна­ чить множество, где А < 0, то

Обозначим через N множество, где А =1. Тогда v (jV) = 0. Положим

W(A) = ii(A[]N).

Тогда W — счетно-аддитивная мера с носителем на множестве нулевой ѵ-меры, т. е. мера Ч1, сингулярна относительно ѵ. Но теперь очевидно, что соотношение

продолжает оставаться справедливым для любых почти всюду по мере ф неотрицательных измеримых функций, будь они интегрируемы с квадратом или нет.

Поэтому для любого множества А из $ можно положить

где

h

£1—fl ■

Слабая сходимость

Известная теорема Больцано — Вейерштрасса утвер­ ждает, что каждая ограниченная последовательность вещественных чисел имеет по крайней мере одну пре­ дельную точку. Совершенно ясно, что этот результат сохраняет свою силу и во всяком другом конечномерном пространстве со скалярным произведением. Одно из важных свойств бесконечномерного гильбертова про­ странства состоит в том, что этот результат для него

(покажите для этого, что его дополнение слабо замкнуто).

Если А —борелевское множество в Еп, то множество всех X из Я, для которых {[х, х;], г = 1, . . . . п) е Л ,

азывается цилиндрическим.

З а д а ч а 1.9. Каждое слабо замкнутое множество (сильно) замкнуто. Построив соответствующий пример,

через |р.„(-)} последовательность функций единичной

W n W K V T U n W , то для каждого конечного числа В > О

............... в

(1.23)

-в

всилу теоремы Лебега об ограниченной сходимости. Другими словами, в любой частотной полосе конечной ширины мощность падает до нуля, хотя при этом

Верно и обратное. Если для некоторой последователь­ ности функций |л„(-) из Н с единичной нормой пре­ образования Фурье обладают свойством (1.23), а именно мощность в любой частотной полосе конечной ширины падает до нуля, то {р„( •)} слабо сходится к нулю в Я.

чисел [xm, х"] сходится, так как при /г > т это подпо­ следовательность сходящейся последовательности а"‘. Обозначим

которых плотно в Я0. Поэтому для каждого у из Я0 можно найти такую последовательность {«/„}, что

II Уп — УИ-* 0 и

1{уп) = Ш [ у п, х%].

т

Но

[У, х%] = [ур, XI] + { у - ур, XI],

где второй член справа по абсолютной величине не пре­ восходит Щ\у — урII и, следовательно, сходится к нулю равномерно по т. Это доказывает сходимость левой части, а так как для любого г из Я,

[z, xk]= О,

то ясно, что функция / (•) определена для всех элемен­ тов из Я. Очевидно, что она линейна. На самом деле она и непрерывна, так как если || ут — у ||-> 0, то

\1(Ут -У )\ = ѵ™\{Ут -У> ^ ] |< M ||y m- r / | ^ 0 .

Другим важным свойством гильбертовых пространств, распространяющимся на любые банаховы пространства, является свойство равномерной ограниченности, приво­ дящее к результатам, обратным к тем, которые осно­ ваны на слабой компактности.

Т е о р е м а 1.4. (Принцип равномерной ограничен­ ности.) Пусть {fn( ■)} — последовательность непрерывных линейных функционалов, определенных на Н и таких, что для всех х из Н

sup I fn{x) I < оо.

Тогда

ІІ Ы - ) І К М < ° ° .

До к а з а т е л ь с т в о . Докажем эту теорему от про­ тивного. Заметим прежде всего, что если последова­ тельность {/„(*)} равномерно ограничена в некотором замкнутом шаре в Я, то теорема доказана. В самом

и, следовательно,

sup sup \fn(x) I< supI ( х 0) 1+ C + Cj) ЛГ0 j) < OO,

n IUIK1

так что последовательность норм Ц/„(-)ІІ ограничена. Удобно воспользоваться следующими обозначениями для шаров:

£ (хо) е) = {х: IIX — х01| < е}, S(x0; е) = {х: \\х — *0|К е} .

■Ясно, что 5 {х0\ г)—открытый шар, a S(x0\ е) —замкну­ тый. Далее, если последовательность {frt(*)} равномерно ограничена в открытом шаре, то она равномерно огра­ ничена и в его замыкании. Предположим, что суще­ ствует открытый шар с центром х0 и радиусом е0,

в котором функционал / (•) не ограничен. Выберем такой элемент л:,, что (f,, (*() |> I. Тогда в силу непре­ рывности функционала f (•) найдется замкнутый шар

S(a:1; е,) с центром х, и радиусом е,, в котором

Если на S(x,; е,) все функционалы /„(•) ограничены, то теорема доказана. Поэтому допустим, что неко­

шар_5 (х2; е2), содержащийся в S(x,; ej), что для всех х из S (х2; вг)

|/n;W | > 2 -

Ясно, что е2 можно взять так, чтобы выполнялось условие

. 8і 82 < Т -

Продолжая этот процесс, строим такую последователь­ ность точек хр, что

Ifnp(*) I> Р, X S (ѵ> в,),

S (xp-, ер) с: 5(Хр_і; ер_,),

Это значит, что {хр} — последовательность Коши, схо­

вательности, но полученный результат справедлив для любого семейства /„(•) непрерывных линейных функ­ ционалов, для которого при всех .ѵ из Н

supl fa(x) I < ОО.