книги из ГПНТБ / Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве
.pdfПолугруппы линейных операторов |
189 |
что позволяет применить теорему Хилле — Иосиды. Кроме того, можно сразу показать, что преобразование Фурье функции R{X\ А)'1g равно
J еia,Jg (у) dy
_о____________
(Л + ias)n
и потому преобразование Фурье для eVRiX' A)tg равно
^ J e~imJg (у) dy j е/'.чда+іи).
Таким образом, преобразование |
Фурье для |
T(t)g |
(где |
|
||||||
Т (t) — полугруппа, |
порожденная |
|
оператором |
А) равно |
|
|||||
ОО |
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
е - Ш J e - i m j g |
d y |
= I |
e - i m j g ( у _ |
f) dy> |
|
|
||||
0 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
' (У- |
t ), |
t < |
y, |
|
|
|
|
T(i) g — h, |
h (y) = |
|
|
|
||||||
0, |
|
0 < |
у < t. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
В обоих рассмотренных |
случаях |
|
|
|
|
|
||||
| | Г ( Д ) - Л | |
= з и р | | ( Г ( Д ) - / ) / | | > |
/ 2 , |
А |
|||||||
ІШ=І |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(чтобы убедиться в этом, |
достаточно положить f{y) = О, |
|
||||||||
у > А). Аналогично |
для |
любого |
|
t > 0 |
и |
фиксирован |
|
|||
ного А > О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | 7 ’ ( / + |
Д ) - 7 ' ( / ) | | > |
/ 2 . |
|
|
Другими словами, полугруппа T{t) не может быть равномерно непрерывной для всех t > 0 (и, конечно, для 1= 0, так как иначе ее инфинитезимальный опе ратор был бы ограниченным). В обоих случаях урав нение
X - Ах
не имеет решения для х(0) не из области определения оператора А! Для него не существует и функции Грина, если только не используются обобщенные функции.
190 |
Глава 4 |
В случае (II) спектром оператора А служит полу |
|
плоскость |
ReX^O. |
Заметим также, что производные начальных условий из области определения оператора А существуют в дей ствительности и в гораздо более „сильном“ смысле.
П р и м е р |
4.2. |
У р а в н е н и е |
т е п л о п р о в о д н о |
||||||||
сти. Рассмотрим уравнение |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
df |
_ |
|
d*f |
— |
СО < |
X < ОО, |
|
|
|
|
|
dt |
~ |
дх2 |
|
|
||||
|
|
|
’ |
|
|
|
|
||||
считая, |
что |
функция |
/(0 , х) |
задана, |
0 , |
f(t, - ) е |
|||||
e L 2( - o o , |
оо). Пусть оператор А — д°-/дх2 определен на |
||||||||||
множестве |
функций |
f ( - ) e Z . 2(— оо, оо), |
для |
которых |
|||||||
/'( • ) е |
/.g e — |
оо, |
оо) |
и /"(■) (= L2(— оо, оо). |
Это, в част |
||||||
ности, |
означает, что |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
f |
(— оо) = f (+ оо) = 0, |
|
|
|||||
|
|
|
П ~ ° ° ) = П + ° о ) = 0. |
|
|
||||||
Ясно, что область определения оператора А плотна. |
|||||||||||
Далее, |
уравнение |
|
Xf - f " = 0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
имеет решения е^и , |
е~Ѵм, и ни одно из них не при |
||||||||||
надлежит L2(—оо, |
оо). |
Уравнение |
|
|
|
K f - f " = g
проще всего решить с помощью преобразования Фурье
(Я, + ш2)%(сй) = фг ((й).
Ясно также, что для того, |
чтобы i |) g ( c ü ) / ( Ä + со2 ) было пре |
образованием Фурье некоторой функции из L2(— оо, оо), |
|
необходимо, чтобы Re А, > |
0. Следовательно, если К > 0, |
то |
|
так что можно применить теорему Хилле — Иосиды. Совершенно очевидно, что преобразование Фурье для
gVR (?.; AUf = y А-2"/? (Я; А)п tn I
о
Полугруппы линейных операторов |
191 |
равно |
|
|
|
( s (яѴсоТ^г) ^ |
(cö) = |
èw/№+*4,(®) |
|
и, таким образом, |
полугруппа Т (t)f имеет преобразова |
||
ние Фурье |
|
|
|
lim |
(со) = (е~ш ) (ш). |
||
Отсюда |
|
00 |
|
|
|
|
|
T{t)f = h, |
h(y) = |
J G{t, у — x)f {у) dy, |
|
г д е |
|
|
|
G(t, |
X) |
|
At |
|
Ѵ Ш ехр |
Осталось только отметить, что эта полугруппа сохра няет положительность операторов перехода! Кроме того, для любой функции f и любого числа / > О
T(t)fesD(A)
(на самом деле даже Т (t) f е D (Л00)), хотя f<£D{A). Далее, из тождества
\ \ T { t + h ) f - T { t ) f \ f = J |
[e~2ia>1) (е~“зл — 1)2| (ш) I2 da |
|||||
следует, что |
|
—oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
limII T{t + K ) - |
Г(ОІ|->0, |
*>0. |
||||
Д-И) |
|
|
|
|
|
|
П р и м е р |
4.3. |
У р а в н е н и е |
Ш р ё д и н г е р а для |
|||
отдельной частицы с массой m и нулевым |
потенциалом |
|||||
. , |
ді|> |
Л 2 |
— |
ОО < |
X < |
оо, |
|
|
|
1 1ф Р d x = 1,
представляет собой интересный вариант примера 4.2. Определяя А, как в примере 4.2 (и, безусловно,
192 Глава 4
полагая Н = Ь2{— оо, оо)), |
имеем |
|
<3ф |
ih |
<?2ф |
ді |
2т |
дх2 |
Пусть |
|
|
h |
|
|
2т = Р - |
||
Тогда |
|
д2 |
А = |
|
|
ір дх2 ■ |
||
и уравнение |
|
|
— i p f " = g , |
Я > О , |
имеет решение, преобразование |
Фурье которого равно |
= |
і > 0 . |
Тогда |
|
II № , Д ||< М
и, следовательно, А порождает сжимающую полугруппу. Преобразование Фурье для éK,R(}--A)if равно
е ? Л / ( Л + ш 3р ) ^ |
= ] j m e VR (?.; A) t - U j — у ^ Д |
Лоо
так что преобразование Фурье для Г (£) равно е~1арр1^ {(а). Отсюда, в частности, следует, что
II г (О/II =*11/II,
и Т (0 на самом деле оказывается группой: ÖO
T(t)f = h, h (у) = J g(t,y — x)f(x)dx.
Теперь она уже не является равномерно непрерывной
при t > 0, и полугруппа Т (/) не |
компактна. |
||||
П р и м е р |
4.4. В о л н о в о е |
у р а в н е н и е . Простей |
|||
шее одномерное волновое уравнение имеет вид |
|||||
д2і |
_ |
д2[ |
— оо < * < оо, t > О, |
||
ді2 ~ |
дх2 ’ |
||||
|
|
Полугруппы линейных операторов |
193 |
с краевыми условиями
f(Q,x)
-ff(о. х )
Пусть f! ( • ). f2 ( ■) е ^2 ( - ° ° J
Лі (*. *) =
T ], (/, х) =
= f l (X),
=h W-
°°)- Положим
df (f, *) dt
d f (<, -V-) dx
Тогда исходное уравнение можно |
переписать в виде |
|
дНі (f, *) _ |
дт)2 (t, |
х) |
dt |
dx |
|
dr|2 (t, а:) __ |
дгц (t, |
x) |
dt |
âx |
|
Обозначая через л(^*) вектор-столбец с компонентами Лі (t, х), Лг (t, х), получаем
|
|
дл (Л х) = |
Ат\ (t, х), |
|
||
где |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
â - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дх |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Итак, |
оператор |
А |
определен |
на |
классе функций |
|
Л (*)={лі (х), ЛгМ) |
из |
гильбертова |
пространства # = |
|||
= Lo( — оо, оо) X |
(— |
°о, оо), |
первые производные кото |
|||
рых тоже |
принадлежат Н. Оператор |
А диссипативен: |
||||
поскольку |
|
Ш , |
+ |
|
о, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ f] = [ Q . h ] + [ % . t , ] = o- |
|||||
В частности, если |
\ k \ f - A f , |
то |А,| = |
0. |
|||
Далее, |
уравнение |
|
|
|
|
Ч — Af = g
7 Зак. 751
194 |
|
|
|
Глава 4 |
|
|
|
|
|
|
||
соответствует |
системе |
уравнений |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Dfi = |
Xf2— |
g |
2> |
|
|
|
|||
|
|
|
Df2 = Xf[ — gl, |
|
|
|
|
|||||
где |
£> = d/öx. Ясно, |
что при X > |
0 эта система |
для |
ка |
|||||||
ждого j e f f |
имеет |
в Н единственное решение. |
|
|
||||||||
Поскольку оператор А диссипативен, этого доста |
||||||||||||
точно, чтобы |
показать, что |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|І^(Я; Л ) /||< Ш , |
|
Л >0 . |
|
|
|
|||||
Действительно, |
|
|
|
= |
|
[ gfl,- |
|
|
|
|||
|
|
[Xf — А f, f ] |
|
|
|
|
||||||
откуда [ g , f] = X[f, f], |
так |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Ч f, Ж |
|
I lg |
II |
Ilf II. |
|
|
|
||
т.е. |
I l f II*£5I I g||Д , и утверждение |
|
доказано. |
сильно |
не |
|||||||
Таким образом, |
оператор |
А порождает |
||||||||||
прерывную полугруппу, для которой при / |
е О ( Л ) |
|
||||||||||
|
|
if[T {t)f, |
T(t)f} = |
0. |
|
|
|
|||||
Поскольку |
область |
определения |
оператора |
А плот |
||||||||
на, |
это означает, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
II |
т ( O f II— |
|
II f |
I |
|
|
|
||
для |
всех f е Я , т. |
е. |
Т (t) — изометрия. На самом же |
|||||||||
деле мы построили даже группу: |
|
для каждого t опера |
||||||||||
тор |
T{t) обладает ограниченным |
|
обратным. |
|
|
|
Дифференциальные уравнения. Задача Коши
Пусть А — инфинитезимальный порождающий опера тор сильно непрерывной полугруппы (не обязательно сжимающей). Рассмотрим задачу Коши для дифферен циального уравнения
X {t) = Ах (t), / > 0,
где значение л: (0) задано и принадлежит области оп ределения оператора Л. Тогда
x{t) = T(i)x(0)
Полугруппы линейных операторов |
195 |
дает одно из решений, поскольку, как известно,
j i Т (if)X(0) = AT (t) X(0).
Интересно выяснить, единственно ли это решение. От вет будет положительным, если потребовать дополни тельно, чтобы
IIX (t) — X(0) У-*■0 при t -> 0 + .
Очевидно, что решение T(t)x(0) обладает этим свойст вом. Предположим, что существует другое решение, обладающее этим свойством. Тогда их разность у (t) удовлетворяет условиям
у (0 = Ау (/), |
|
</(0) = 0. |
|
Положим для каждого t > |
0 |
z(s) = T(t — s) |
у (s), 0 < s < t. |
Функция z(s) сильно дифференцируема (и абсолютно |
|
непрерывна) и |
і |
|
|
z {t) — z (А) = |
I ~ z(s) ds, 0 < Л < t, |
|
А |
в то время как |
|
z{s) = Т (t - |
s) у {s) - Т {t — s) Ay (s) = 0. |
Поэтому
z{t) = y 00 = z(h) = T {t — k) у (A).
Таким образом, поскольку г/(Д)->0при А-^-0, имеем
z{t) = y (0 = 0,
а так как это верно для всех t > 0, то функция y{t) тождественно равна нудю,
7*
196 |
Глава 4 |
|
|
|
Неоднородное уравнение |
|
|
|
|
Рассмотрим |
теперь неоднородное уравнение |
|||
|
X (t) = Ах (() + |
и (О, 0 < |
t < |
Т, |
с заданным |
начальным |
условием |
д:(0). |
По аналогии |
с конечномерным случаем можно ожидать, что |
||||
|
|
t |
|
|
x { t ) = T (t) X(0) |
+ J Г (t — s) и (s) ds |
о
будет единственным решением (если потребовать не прерывность в начале координат). Однако сначала надо разобраться, что понимать под выписанным выше ин тегралом. Минимальные требования, предъявляемые к функции и ( •), таковы:
(i) для каждого г/еЯ скалярное произведение [«($),//]
измеримо по s e [ 0 , |
Т] (слабая измеримость); |
|
т |
|
|
(ii) J |
II« (s) |Р ds < |
оо. |
о |
|
|
Тогда в |
Н существует такой элемент y(t), что |
|
|
( |
|
\у (0. |
х] = |
I [Т (/ — s) и (s), х] ds |
|
|
|
о |
|
для каждого х е |
Н. |
Действительно, |
|
s) и (s), '*j ds < М |
II и(s) IPds ІІ XII, |
где
1|Г(0 IK М, 0 < t < T ,
и рассматриваемый интеграл определяет непрерывный линейный фукционал на Н, который и отождествляется с у (t). Заметим также, что
IIУ(0II ^ М |
II« (s) |р ds. |
Полугруппы линейных операторов |
197 |
С другой стороны, в отличие от конечномерного слу чая необходимо ослабить понятие „удовлетворяет диф ференциальному уравнению“. Теперь будем считать, что x{t) удовлетворяет дифференциальному уравне нию, если для каждого элемента у, принадлежащего области определения оператора А4 (а эта область плотна),
- J - И О , у ] = [ * ( * ) . Л 'у ] + [ы (/), г/]
почти всюду для t е (О, Т)
и
II x(t) — X(0) |
II —> 0 при t -> 0 + , X (0) e ü (Л). |
Покажем, что |
тогда |
X (t) = Т (i) X (0) + Jt Т {t — s) и (s) ds
о
является единственным решением нашего уравнения. Докажем сначала единственность. Допустим, что суще ствуют два таких решения. Тогда для каждого хе£>(Л*) их разность y(t) удовлетворяет соотношениям
■ji [У if), х] = [у (t), Л*х] почти всюду для t <= (0, Т),
IIУ (t) II-> 0 при t-+0 + .
Как |
и раньше, |
положим |
|
|
|
так |
что |
z{s) = T{t — s)y (s), 0 < s < t, |
|||
|
|
|
|
||
|
|
~ |
[г (s), х] = 0, |
0 < s < t, |
|
и потому [z (t), х] = [у {t), |
х] = |
0 для каждого х е й (Л*), |
|||
т. е. |
у (t) = |
0. |
|
|
|
Теперь |
найдем |
|
|
||
где |
|
. |
- ^ - [0 (0 ,4 |
X<=D{A'), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V ( / ) = |
T(tJ — s) и (s) ds-, |
|
|
|
|
о |
|
|
198 |
|
Глава 4 |
легко |
видеть, что |
|
|
j{u(s), |
T ( t - s ) 'x ] d s = |
|
о |
|
|
t |
|
= |
[и (t), л:] + С[Т (if — s) и (s) ds, А*х] ds почти всюду |
|
|
о |
|
и, следовательно, |
|
|
|
[х (0, х] = |
[и (/), х] + [X (t), А'х], |
что и требовалось доказать.
Если наложить на и (t) дополнительно условие глад кости, например потребовать, чтобы функция и (t) была сильно дифференцируема и «(0) = 0,то решение
і
о (0 = I T(t — s) и (s) ds + Т (/) X(0), t( O ) e l) (Л),
о |
|
|
будет абсолютно |
непрерывным |
и |
V (t) = |
Аѵ (t) + и (t) |
почти всюду. |
Доказательство этого утверждения предоставляется чи тателю.
Другой замечательный факт в этой связи состоит в следующем. Пусть пространство Я сепарабельно. Обо значим через Я (Г) гильбертово пространство слабо из
меримых |
функций «(•), принимающих значения в Я |
и таких, |
что |
|
т |
|
J ||и(/) |Р dt < оо, |
|
о |
причем скалярное произведение в этом пространстве
задается формулой
т
[и, ü}=-- J [u{t), V {t)\dt.
о