книги из ГПНТБ / Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве

это верно не для всех вольтерровых операторов. На­ пример, в пространстве H — L2{0, оо) для любого фикси­ рованного отличного от нуля элемента А е Я зададим оператор

t

Tf = g, g{t)= J h(t — s) f(s)ds, 0 < / < o o ,

о

отображающий H в себя. Тогда оператор Т не принад­ лежит классу операторов Гильберта — Шмидта, по­

скольку

00 t

J dt J Ih{t — s) fd s = -f oo.

оо

Он даже не компактен. Действительно, точечный спектр оператора Т пуст (воспользуйтесь преобразованием Лапласа), но если для некоторого X > 0 обозначим

со

и — J e~xth (t) dt, и ф О,

о

то ясно, что и не может принадлежать резольвентному множеству. Возникает вопрос: что же называть вольтерровым оператором в абстрактном смысле? Гохберг и Крейн [4], как мы уже отмечали, называют абстракт­ ным вольтерровым оператором любой компактный квази­ нильпотентный оператор.

сящая от выбора ортонормального базиса, определяет ңорму И • ||HS на (линейном) пространстве операторов

Изменяя порядок суммирования, находим, что

2 [ Г ? т , gn? = \\Temf,

п — \

поэтому

Отсюда следует, что Т* — также оператор Гильберта — Шмидта, причем

II г іін з = іт ін5-

Наконец, покажем, что оператор Т компактен. Для этого выберем последовательность {хп}, слабо сходя­ щуюся, скажем, к у. Тогда для фиксированного числа N

ОО ОО

где в силу слабой сходимости каждый член ряда в пра­ вой части сходится к нулю. В то же время

2 [% - У, Т'еп]2< II xN- у И2 2 II Т'еп||2

от N, можно сделать левую часть сколь угодно малой. Следовательно, {Тхп} сильно сходится к Ту и, значит, оператор Т компактен.

П р и м е р 3.5. Пусть Я, = Ь2 (а, b)q и К (t, s) — такая (р X ^-матрица, что

а ъ

J J tr К (t, s)K(t, s)*dsdt< оо.

с а

Тогда интеграл

ь

J К (t, s) f (s) ds, c < t <d,

a

определяет оператор Гильберта — Шмидта Т, отобра­ жающий L2(a, b)q в L2(c, d)p, и

d ь

H7’IIhs= j J t r ^^> «)*(*. sYdsdt.

с a

Более того, если дан оператор Гильберта — Шмидта Т, отображающий L2{a, b)q в L2{c, d)p, то можно найти соответствующее ядро с указанными выше свойствами. В самом деле, обозначим через фА(^) вектор-функции (размерности q) некоторого ортонормального базиса в L2(a, b)q, а через фу(О аналогичные вектор-функции

(размерности р) для L2(c, d)p. Положим

причем ряд в правой части сходится в среднеквадрати­ ческом (на L2((a, Ь)Х(с, d))pq). Заметим, что при этом не предполагается конечность интервалов (а, Ь) и (с, d), Здесь, по-видимому, полезно указать, что существует множество компактных операторов, не принадлежащих классу операторов Гильберта — Шмидта. На самом деле можно дать общую конструкцию. Пусть пространство Я

довательность {хп} слабо сходится к нулю, то для каждого п

Hm E l а* PI Um, ek] |2-*0.

m->оо I

Возьмем теперь N достаточно большим, чтобы для заданного е > 0 при всех выполнялось нера­ венство

операторов Гильберта — Шмидта, поскольку

оосо

(Заметим, что для компактности оператора Т необхо­

димо, чтобы I а* I —»- 0.)

В качестве другого примера приведем интегральный

мента А из Я положим

=

126 Глава 3

и, следовательно, •{/„( •)} слабо сходится к нулю. С дру­ гой стороны,

так что оператор T не может быть компактным. Отметим, наконец, что класс JC операторов Гиль­

берта — Шмидта образует на самом деле гильбертово пространство со скалярным произведением

части не зависит от выбора базиса. Формального дока­ зательства требует лишь полнота пространства JC. Но это доказательство получается сразу, если заметить, что с каждым оператором Гильберта — Шмидта Т можно связать двойную бесконечную последовательность {а^}, где

я;/ = [7ф<. Ф/1,

{фі} — ортонормальный базис в Я,, {%} — в Я2 и

И Н і й і / Р= ||ЛРн8-

і І

Обратно, если дана такая двойная последователь­ ность (квадратично суммируемая), то можно определить оператор Т, положив

ОО

т<?і = S йг/Ф/>

/=1

ОО

Т х = S [X, Фг] Тсрі.

1

Но так как пространство квадратично суммируемых последовательностей гильбертово, то таково же и /С, Нз самом деле /С даже и сепарабельно,