книги из ГПНТБ / Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел

следовательными дробями а/b и c/d, принадлежащими Fn. Пусть a/b<.% <c/d. Рассмотрим медианту (а +

+ c)/(b + d). Из гл. I мы знаем, что a /b c (a + c)/(b + d) <

Поскольку а/b и cld принадлежат FN, они несократимы и b ^ N , d^.N . Тем самым мы получили требуемое ра­ циональное приближение hjk (равное а/b или c/d).

Проверим теперь справедливость теоремы 2 в слу­ чае, когда | рационально, скажем, £= l/m , (I, т) = 1

и m > N . Тогда £^Ё Fn и мы можем .следовать данному выше доказательству, за исключением случая, когда £ = (a-\-c)/(b-\-d). В последнем случае мы не можем по­ ставить в теореме знак строгого неравенства и, таким образом, получаем следующий результат:

Теорема 3. Если £ — рациональное число, N — поло­

жительное целое число и i,=l/m , (I, т) = 1, где m^>N, то существует неприводимая дробь h/k со знаменателем ks^.N такая, что

Так как N ^ k , из теоремы 1 вытекает

Теорема 4. Если £ — иррациональное число, то суще­

ствует бесконечно много рациональных чисел h/k, таких, что

34 Гл. III. Аппроксимация иррациональных чисел

Поскольку по предположению (Д2 + 1 )/п есть целое, лю­

бой общий делитель s и п должен делить 1. Следова­ тельно, (s, п) = ! = (s, t).

Следствие. Пусть п является положительным целым

и п\(А2+ В 2), где {А, Д) = 1 . Тогда существуют такие

целые числа s и t, что n — s2+ t2.

Доказательство. Воспользуемся тождеством

{А2+ В 2) {C2+ D 2) == (A D +B C )2+ (A C —BD)2.

Из гл. I нам известно, что для данных А и В с условием (А, В) = 1 можно найти такие целые числа С и D, что АС—BD— 1 . Тогда мы получим

(Л2+ £ 2) (C2 + D 2) = {A D +BC )2+ 1,

так что если п\(Л2 + Д 2), то п\{(Л /)+ В С )2 + 1 } . По тео­

доказательство Евклида бесконечности множества про­ стых чисел. Каждое простое число, отличное от 2, нечет­ но, а любое нечетное число представляется или в виде 4k— 1, или в виде 4/е+1 с целым k. С помощью рассуж­ дений, аналогичных рассуждениям Евклида, мы пока­ жем, что каждая из этих последовательностей содержит бесконечно много простых чисел.

Теорема 6 . Существует бесконечно много простых

чисел вида 4/е— 1.

так как произведение двух чисел такого вида снова яв­ ляется числом того же вида, в то время как N имеет

вид 4k— 1. Следовательно, число N имеет простой дели­ тель вида 4k— 1. Ясно, что N не делится на qu <7 2 , ..., qr,

и тогда указанный простой делитель должен быть боль­ ше qr.

Теорема 7. Существует бесконечно много простых чисел вида 4&+1.

Доказательство. Предположим, напротив, что про­ стых чисел вида 4 k + 1 конечное число и что 5, 13......р — все эти простые числа, причем р — наибольшее из них. Положим

N — (2-5- 13...р)2+ 1 .

Число N нечетное и, следовательно, все его делители также будут нечетными. По теореме 5 каждый простой делитель q числа N представляется в виде q = s 2-\-t2. По­ скольку q нечетное, одно из чисел s и / должно быть чет­ ным, а другое нечетным. Тогда <7 = s 2+ / 2= l (mod 4) и,

следовательно, каждый простой делитель числа N дол­ жен иметь вид 4&+1. Это приводит, однако, к противо­ речию, так как N > 1 и не делится на любое из простых чисел 5, 13, ..., р, которые по предположению исчерпыва­ ют все простые вида 4k4r \.

§ 4. Теорема Гурвица. Мы начнем с уточнения теоре­ мы 4.

Теорема .8 . Если | — иррациональное число, то суще­

ствует бесконечно много' несократимых дробей hjk, та­ ких, что

Доказательство. Пусть FN— последовательность Фарея порядка 1. Тогда \ лежит между некоторыми двумя последовательными дробями alb и с/d этой после­ довательности, так что

36 Гл. III. Аппроксимация иррациональных чисел

Мы докажем теорему, если покажем, что выполняется по крайней мере одно из неравенств

Предположим, что неравенства (1) не выполняются. Тогда, поскольку £ иррационально,

Отсюда и из условия Ьс—a d = 1 мы получаем (b—d )2<

Таким образом, существует рациональная дробь hlk в FN (равная а/b или c/d), такая, что

Так как величину N можно менять но нашему усмотре­ нию, мы заключаем отсюда, что имеется бесконечно мно­ го таких дробей h/k. Тем самым теорема доказана.

В теореме 4 мы показали, что любое иррациональное число с точностью до \/k2 аппроксимируется бесконеч­ ным множеством рациональных чисел h/k. В теореме 8

эта аппроксимация была улучшена до \/2k2. Естествен­ ным образом возникает вопрос о возможности дальней­ шего улучшения последнего результата. А именно, су­ ществует ли число с/> 2 , такое, что | можно с точностью

до \/ck2 аппроксимировать бесконечным множеством ра­ циональных чисел h/k? Ответ на этот вопрос дает сле­ дующая теорема Гурвйца:

где |0 |< а . Отсюда мы получаем, что

или, после возведения в квадрат обеих частей последне­ го равенства,

h* — hk — k2 = 0 Н------— .

5 №

Поскольку h и k — целые, /г2 —hk—k2 не может обра­

щаться в нуль, за исключением случая h = k= 0. Но £=/-

Таким образом, знаменатель k дроби h/k, удовлетворяю­ щей неравенству (3), должен удовлетворять неравен­ ству (4). Но а фиксировано и потому k может при­ нимать лишь конечное число значений. Из (3) следует, что h также может принимать только конечное число

значений. Следовательно, если с > У 5, , то неравенство

(3) справедливо лишь для конечного числа дробей h/k. Тем самым теорема 9 полностью доказана.

Отметим, наконец, что теоремы 4, 8 и 9 останутся

справедливыми, если опустить условие