Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

5.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1917 18 19 > Следующая >>>

160	Г л.	X. Теорема Дирихле
вительных s = o > 0 , а		следовательно, и для всех s в по

луплоскости сг>0, если %ф%1. Если же а < 0 , то этот ряд,

очевидно, расходится. Его абсцисса_сходимости ао = 0,

а абсцисса абсолютной сходимости а = 1 . По теореме 4 функция L(s, %), %ф%и является регулярной аналити ческой функцией от s при а > 0.

(П) Если x = Xi> мы воспользуемся снова тождеством Эйлера

s (s')= —1;ns	—11== п ps 1 —L 1
у
П — 1	р

где р пробегает все простые числа. Поскольку каждый характер %является вполне мультипликативной арифме тической функцией, то по теореме 5 гл. VII мы имеем, для всех х тождество

V X (п)	П 1	Х ( Р ) \ 1		о > 1 .	(8)
L ( s > X)	П 1	Ps	/	о > 1 .	(8)
/2 =1	р	Ps	/
/2 =1	р
Отсюда следует, что L(s,	%)ф0 при о > 1 .
Если xi — главный характер по mod т,				то
11,	если (а, т) — 1,
Xi (а) = (О, если (а, т) > 1.
Используя (8), получаем
L(s,Xi) = ПО- р - 8) - 1 =	П о-p- у 1П о -р-0.
p jw	р		р\т
ИЛИ
L (s, Xi) = S (s) П 0 — Р~')			М >	1 )•	(9)
Р\т

Мы видели, что £(s) — мероморфная функция в полу плоскости сг>0, имеющая в качестве единственной особенности простой полюс при s = l С вычетом I. СлеДова^ тельно, L(s, xi) является регулярной функцией при а > 0 * за исключением точки s = l , где она имеет простой по люс с вычетом ft (1—р-1) = ф (от)/^ [см. гл. И, (1)'].

p)ni

		# 5.	Теорема Дирихле		161
Для доказательства теоремы Дирихле нам потребует
ся
Лемма. Если %ф%[, то L( 1, %) ФО.
Доказательство. Достаточно показать,					что произве
дение
		Р ( в ) = П Ц з , х ) ,
			х	mod р,	не является
где х пробегает все характеры по
регулярной		функцией	при а > 0 .	Действительно, если
L{ 1, х) = 0		по меньшей мере для одного характера %Ф%и
то простой полюс функции L(s, xi)				при s =	1 в произве
дении P(s)		уничтожится нулем функции L(s, %) при s = l
и P(s)	в таком случае будет регулярной функцией при
а > 0 .
Для	а>-1 мы имеем \|x(p)P_sl				и можем оп

ределить

Тогда функция log L(s, х) однозначно определяется в по луплоскости а > 1 равенством

* * ‘ ■ M - l ' j g - .

p,k

где р пробегает все простые числа, a k — все положи тельные целые числа. Этот двойной ряд абсолютно схо дится при а > .1 . Далее, мы имеем

e1og£(s.X)= L(s, х).

Просуммируем теперь	log L(s, %) по	всем		характерам
X(mod пг). Тогда мы получим
Q(s) = log Р (s) =	V log L (s, x) =	£	£	.
	X	X	p.k	Up
	X	X	p.k

Так как имеется только конечное число характеров х, мы можем изменить порядок суммирования и получить

Р,Ь X

162	Г л. X. Теорема Дирихле
Поскольку
	Ф(т),			если a = l(m o d m ),
£	х(«) = {	О,		если а ^	1 (mod т),
X
мы имеем
	Q(s) =		q>(/n) £ Л -			( П )
			р	=1 (mod т)
Если мы положим
а71,	^ ^	,	если n = p k=		1 (mod т)
а71,
	О		в противном		случае,
то				оо
				оо

л=1

где коэффициенты (ап) неотрицательны. Мы знаем, что этот ряд сходится при о > 1 . Для того чтобы найти его абсциссу сходимости, рассмотрим простые р, такие, что т. По теореме Эйлера (теорема 2 гл. II) мы имеем ph== 1 (modт), где /г=ф (/п ). Если мы рассмотрим ряд (11) для действительных s и возьмем только члены с

к—к, то получим

pjm

Поскольку ряд £ 1 1р расходится и сумма £ 1 /р конечна,

Р I т

отсюда следует, что ряд (И ) расходится при s = l /h . Следовательно, если а — абсцисса сходимости ряда Д т рихле Q (s), то aj^sl/к. Далее, мы имеем

P(s) = eQ{s)= l + Q ( s ) + ^ + ....

( 12)

Произведение двух сходящихся рядов Дирихле с неотри-

§ 5. Теорема Дирихле

163

дательными коэффициентами будет снова рядом Дирих ле с неотрицательными коэффициентами, который схо дится в пересечении двух полуплоскостей сходимости ис ходных рядов. Следовательно, одновременно с Q(s) все степени Qn(s) сходятся абсолютно, так что ряд (12) для P(s) может быть записан в виде ряда Дирихле с неот рицательными коэффициентами.

Таким образом, если ряд Дирихле функции Q(s) схо дится, то ряд Дирихле функции P(s) также сходится. Об ратно, поскольку эти ряды имеют неотрицательные ко эффициенты, из сходимости ряда Дирихле функции P(s) для некоторого действительного s следует сходимость ряда Дирихле функции Q(s) для того же s.

Следовательно, ряд Дирихле функции P(s) одно значно определен и имеет ту же самую абсциссу сходи мости О о = а , что и ряд Дирихле функции Q(s). По тео

реме 6 точка s — a является особой точкой для	P{s), и
мы знаем, что а^=1//г>0. Значит, функция P(s)	не бу
дет регулярной во всей полуплоскости о > 0 . Лемма до
казана.
Теперь мы можем доказать основную теорему этой
главы:

Теорема 8 (Дирихле). Если т — положительное це лое число и (a, m) — 1, то существует бесконечно много

простых p==a(modm).
Доказательство.	Достаточно		доказать,		что ряд
S i Ip, где р пробегает	все простые числа,			сравнимые с
a(m odm ), расходится. Для доказательства				этого утвер
ждения мы воспользуемся функцией L(s, %).
При a > 1 мы имеем, согласно (10),
log L (s, %) — 2		S	%(Pk)
	р	k=\	kpks

Выделим члены c k= \ . Тогда мы получим
log L (s, х) = S X (Р) P~s + R (s, x),					(13 )

164 Гл. X. Теорема Дирихле

где	ряд					СО
сходится при С7> 1/2.					р	k~2
					найдется целое число ft, такое,
	Поскольку (а, т) = 1,
что ab =		\(mod т). Умножим				обе части равенства (13)
на	%(Ь)	и	просуммируем			его	по всем характерам
x(mod т) . Тогда мы получим при о > 1
	2 X Ф) log L (s, х) = 2 2 %(ftp) p - s -1- 2 х (ь) R (s>%)■
	х			р	х		х
Так как функция R(s, х)					регулярна при о > 1/2, функция
R * (s )= Y i%(b)R(s, х)				также будет регулярна при о > 1 /2 .
Далее,		V	/и —		если	bp =	1 (modm),

			^	(О,	если ftp#		1 (modm).

Если ab = 1 (modm), то сравнение ftp=l(m odm ) экви валентно сравнению p = a(mod m ). Поэтому

2х(ft) log L (s, x) =

ft 2 p -' +

R*(s).

(14)

s—И + 0

p=a(mod m )

Пусть теперь

вдоль действительной оси. Тогда

левая

часть

(14)

стремится к бесконечности. Действи

тельно,

L(s,

Xi)- *"°°

при s^-1+О; функция

L(s,

%),

%ФХи

регулярна

при a > 0 ; L (l, %) фО при %ф%1

по

доказанной выше лемме и logL(s, х),

определен

ный по формуле

(Ю), имеет конечный предел при s-*-

-►1 + 0 , поскольку

log L (s, х) =

— ( \

Х] du -\- log L (с, х) при s = a > 1, с> а,

Т («. X)

если

мы

что Ь(и,

%)ф0 при

1, %ф%и

заметим,

а L'(s,

х)

регулярна при a > 0 ,

x=#=Xi-

Далее,

функция

R*(s)

регулярна при о > 1 /2 . Следовательно,

p~s -> оо

npH S ->H -0.

p^a(mod) т

Значит,

ряд

1 IP расходится.

p=a(mod)m

ГЛАВА XI

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

§ 1. Необращение в нуль функции £ (l+ t7 ). Мы пока зали в предыдущей главе, что L-функции Дирихле об ладают тем свойством, что L( 1, %) ф 0 при %ф%\, и ис пользовали это для доказательства бесконечности мно

жества простых в каждой арифметической										прогрессии
вида a-\-mk, где т > 0, (а,						т) =		1 и k = l , 2, ... .
Покажем теперь, что дзета-функция Римана облада
ет тем свойством, что							фО при tфO,			и использу
ем	это	свойство		для доказательства					асимптотического
закона распределения простых чисел.
Асимптотический закон							распределения			простых чи
сел	обычно		записывается			в виде
				я (х )—			.V			( 1 )
							l o g *

где л(х)		обозначает количество простых чисел, не пре
восходящих х, а символ ~						означает, что п(х) / (x/\og х)-*-
—>1 при х—>-оо.
В гл.		VII мы показали,					что сотношение			(1) эквива
лентно соотношению
				l i m		^ =		l,		(2)
где	ф — функция			Чебышева.				Мы будем		доказывать
асимптотический				закон	распределения простых чисел
именно в этой форме.
Нам потребуется соотношение
			_	(5)	_		с Г Ф(и) du			/о\
				?(*)			J	*s+1	*	( )
которое		мы вывели в			§	4	гл. VII для действительных
s > l	в	качестве следствия					из формулы суммирования
Абеля. В			силу аналитического					продолжения формула
(3)	будет справедлива для						всех комплексных s с дейст

166 Г л. XI. Асимптотический закон

вительной частью		а > 1 .		(Мы пишем,		как обычно,		s =
= o-\-it, где 0	, t действительные и i2=				— 1.)
Положим в равенстве				(3) и— ех. Тогда мы получим
			оо
- - 7 7 7 =			.1			° > 1 .		(4)
	St (S)		.1
			о
откуда мы выведем в дальнейшем,					что ф (е *)~ е ж,			или
tj? (л:) — л: при х—^оо.
Мы уже	видели, что £(s) является аналитической
функцией в полуплоскости 0 >О , за					исключением точки
s = l , где она имеет простой полюс с						вычетом	1, и	что
£(s)=#=0 при а > 1 . Докажем теперь,					что £(s)= £0		на пря
мой а = 1 .		'						j
Теорема	(Адамар, Валле-Пуссен).					Если	0,	то
£(1+«)=*=0.
Доказательство.		При о > 1

£(*) = П ( 1 - р ~*)~\

и, логарифмируя это равенство, мы получаем, как и в гл. X,

log Б (s) = £	— — , 0 > 1,	(5)
"	mpms

m,p

где m пробегает все положительные целые числа, а р — все простые числа. Следовательно,

log I £ (S) |= Re (log £ (S)) = Re ( 2 - ^ г ) .

m ,p

Далее, ряд \/(mpms) — У] cnjns является рядом Ди-

m,p

n—2

рихле с коэффициентами

f— ,	если п = pm,
Сп = \ m .	если п Ф рт.
{ 0,	если п Ф рт.
Поэтому
log \|£ (S) \|=	Re ( 2 ^ - ) ,

	§ 2.	Теорема Винерй — Икеары							167
где спТ^О, и так как
ns	•ri~lt =		nr	(cos (t log п) — i sin (t log n))>
ns	n		nr
TO
	log I £ (s) I =			n=2	cos	lo§ n)■
				n=2
Поскольку
c „ > 0	и 3 + 4 cos 0 + cos 20 = 2 (1 + cos 0)2 >							0	(6)
для всех действительных 0, то
log \|£3(a)£4(a-H7) £(o		2if) \|=31og \|£(<r) \|+					4 log \|£ (a +	*7) \|+
						+	log 1£ (a +	2it) \|=
=	^	(3 +	4cos (t log n) +			cos (21log n)) >			0.
Значит,
\|C3 (a) £4 (o +			t‘0 £ (a +		2*7)1 >	1,	a > 1,
так что
1(<т-1)£(а)\|3- £ (a + U) 4					£ (a + 2*7) \|				(7)
		a —		1
Покажем	теперь,	что		предположение £ (1 + /£ )= 0					при
t— t0=^0 приводит к противоречию.						Действительно,			если
мы в (7)	положим t— to, то при а -> 1 + 0 правая часть

будет стремиться к бесконечности, а левая часть будет стремиться к пределу |£'(1 + i70) |4|£(1 +2t70) |. Но этот предел конечен, поскольку £(s) — аналитическая функ ция при a > 0 , s=?M. Следовательно, £(1.+*70) фО и тео рема доказана.

§ 2. Теорема Винера— Икеары. Мы выведем асимпто тический закон распределения простых чисел из следую щей теоремы:

Теорема 2 (Винер — Икеара). Пусть А(х) — неотри

цательная неубывающая функция от х, определенная

168	Г л. XI. Асимптотический закон
при 0 ^ х < о о ,	и пусть интеграл
\| А (х) e~xs dx, s — а -f		it,
U
сходится при	0 > 1 к функции f(s).	Пусть, далее, f(s)

является аналитической функцией при cr^ l, за исклю

чением точки s = 1, где она имеет простой полюс					с вы
четом 1. Тогда
	lime хА (х)		1.
х -* ° °
Доказательство.	Разобьем		доказательство теоремы
на две части. Положив
	В(х) = е~хА (х),				(8)
мы докажем сначала, что для любого 1 > 0
%у
Hm j	в [ у —	^ ^ ~ d v		= я.	(9)
—со
Затем мы выведем из (9), что
	limВ (х) = I.				(10)
Первая часть. Так как при а > 1
f ( s ) ^ A ( x ) e - xsdx,		-	l - ^	e - ^ xdx,

f(s) -----Ц =	Г (В (х) - l)e~is- l)x dx (а > 1).
s — 1	J0
Положим
g(s) = /(s )-------	Ц , gE(0 = g (l + 6 + 1’0 . 8 > 0-

Тогда, в силу предположений о функции f(s), g(s) будет аналитической при а ^ 1 .

§ 2. Теорема Винера — Йкеары

16§

Для ^ > 0 мы имеем

2Л>

—2%

2 %	со
= т j	( 1 ~ ~Уг)e>yt ( i ( В (х) ~ 1 )e_(E+l7>" d x ) d L (п )

Покажем, что в (11) можно изменить порядок интегри рования. Так как А (х) является неубывающей и неот рицательной функцией, то при действительных s и х > 0

г	с	оо
/ (s) = j	A (u) e~us du	■А (х) \|e~us du = А М е ,
О		х

т. е. А (х) ^Zsf(s)exs. Далее, поскольку f(s) — аналитиче ская функция при а > 1 , то A ( x ) = 0 ( e xs) для каждого s > l , а тогда А(х) — o(exs) для каждого s > l . Следова тельно, В(х)е~6х =A(x)e~d+6>xz=o( 1) для каждого б> 0 ,

откуда следует, что интеграл

J (В(х) — l)e~lE+it)xdx

сходится равномерно в интервале —2X^t^2K . Значит, в (11) можно поменять порядок интегрирования, и мы получим

2Х

—2 %

во	2 %
'о	—2Х -
	оо
=	( ( B ( x ) - l ) e - ExS- f - ^		-x)dx. (12)
	J	Ь(У — х )2

Функция	g(s) является	аналитической	при 0 ^ 1 , и
поэтому g e	(^)—>-йГ(1	равномерно	в интервале

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1917 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ