книги из ГПНТБ / Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел

144 Г л. X. Теорема Дирихле

остается справедливым для комплексных s с действитель­ ной частью о > 1 .

функция £(s) может быть представлена абсолютно схо­ дящимся произведением, все сомножители которого от­ личны от нуля. Следовательно, £(s)=^0 при а > 1 .

Функция £(s), определенная при о > 1 соотношением

w - i v -

п = 1

является аналитической функцией в полуплоскости о > 0 ,

за исключением точки s = l , где она имеет простой полюс с вычетом 1. Для того чтобы доказать это, воспользуем­ ся формулой суммирования Абеля, доказанной в теоре­

ряд Yi l/nS сходится. Положим теперь [ы].='ы— {« }. Тог-

П~1

да мы получим представление

цией при о > 0 и имеет простой полюс в точке s = l с вы­ четом 1. Функция £(s) называется дзета-функцией Ри­

мана.

§ 2. Характеры. Характером % конечной абелевой группы G называется не равная тождественно нулю комплекснозначная функция, определенная на этой груп­ пе и обладающая тем свойством, что если Л е б и B ^ G , то

% (А В )=х(А )х{В ).

Обозначим через Е единичный элемент в группе G и че­ рез А~{ обратный элемент для A ^G . Характеры груп­ пы G обладают следующими свойствами:

каждого C eG , что противоречит определению характе­ ра х•Заметим, кроме того, что х(Д) = 1.

(и) Если G имеет порядок h, то Ah= E для каждого A eG . Следовательно, %(A)h= x(Ah) = х (Е ) = 1, т. е. х(А) есть корень степени h из единицы. Характер хь обладаю­ щий свойством x i(А) = 1 для каждого A eG , называется

главным характером группы G.

(iii) Абелева группа порядка h имеет точно h харак­ теров.

Докажем сначала это свойство для циклических групп. Группа G называется циклической, если она со­ стоит из степеней А, А2,..., АГ= Е одного элемента А, ко­ торый называется образующим элементом группы G. По­ рядок г группы G есть наименьшее положительное целое число г, такое, что АГ= Е .

Пусть х — характер циклической группы G. Тогда

+Д2=Пз(то(1 г), откуда ра<ра«=ра*. Так как существует

только г различных корней степени г из единицы, из ус­ ловий (а) и (Ь) следует, что имеется самое большее г различных характеров группы G. С другой стороны, из (с) следует, что имеется по меньшей мере г таких ха­ рактеров. Следовательно, циклическая группа порядка г имеет точно г характеров.

Для того чтобы доказать свойство (Hi) для произ­ вольной абелевой группы G, мы используем следующий результат: каждая конечная (мультипликативная) абе­ лева группа G является прямым произведением цикличе­

рядок группы Gj и через Л ; ее образующий элемент. Тог­ да для порядка h группы G имеет место равенство h =

сти Г} различных значений, то G имеет точно h различ­ ных характеров, где h = rir2... г*.

(iv) Пусть G — конечная мультипликативная абелева группа порядка h. Из свойства (i) следует, что х (£ ) = 1 для каждого характера х группы G. Покажем теперь, что для любого заданного Л е б , А ф Е , существует ха­ рактер х, такой, что х(^4) Ф 1 •

Мы снова воспользуемся представлением G в виде прямого произведения циклических групп. Как и в (iii), пусть А = А 1‘А*г... Alk. Ввиду того что А ф Е , не все ti рав­

ны нулю. Пусть, например, 1\ф$. Возьмем %(А2) = = хИ з) = - = хИ л) =1 и %{А{) = р , где p = e(2"0/ri, £2= — 1.

Тогда х(Л) = р^ ф \ при 0 < £'i< г1 .

(v) Характеры конечной мультипликативной абеле­ вой группы G образуют конечную мультипликативную

абелеву группу G. Под «произведением» двух характе­ ров х' и %" группы G мы будем понимать характер х, определяемый следующим свойством: х(А) = х'(А )х" (А) для каждого элемента Л е й . Мы имеем

Х(АВ) =х'{АВ )х"(АВ ) =х'{А )% '{В )х"{А )х"(В) = = Х(А)%(В),

так что %'%" действительно является характером.

образом можно доказать существование в группе G под­ групп порядков г2,..., Гй. Рассуждения, подобные тем, ко­

5 = £ х (Л ),

А

где А пробегает все элементы G, и сумму

г - Е х И ) ,

. . *

где х пробегает все элементы группы характеров G.

Если В — фиксированный элемент группы G и А про­ бегает все элементы G, то АВ также пробегает все эле­ менты группы G. Следовательно,

S - x ( 5 ) = y % (A B )= y i%(A )= S ,

АА

откуда следует, что (%(В)— 1)S = 0. Следовательно, или 5 = 0, или 5=^=0 и %(£) = 1 для каждого элемента B e G .

Во втором случае %=xi есть главный характер и сумма S равна порядку h группы G. Таким образом,

А1°. если Х=/=Х1-

Если мы умножим сумму Т на некоторый характер %' группы G, то аналогичным образом получим

Х '(А ) -Т = '£ % № )% '(А ) = Цх (А ) = Т.

хх

Следовательно, или Т = 0, или х'(Л ) = 1 для каждого ха­

Пусть m — положительное целое число. Мы знаем, что ср(т) приведенных классов вычетов по модулю m об­ разуют мультипликативную абелеву группу порядка /г= ф (т) (гл. II, § 1). Мы можем, следовательно, рас­ смотреть характеры этой группы. Но определение харак­ тера для приведенных классов вычетов по модулю m можно перенести на множество целых чисел следующим образом. Положим

%(а) —%(А), если снееА ,

где А — приведенный класс вычетов по модулю т. Тог­ да, очевидно, %(а) =%(Ь), если a=b(m od т), и %(aft) = = х (а)х (6 ). если (а, т) — (b, т) —1. Поскольку х(Л )фО для каждого приведенного класса вычетов А, то %(а) ФО, если (а, т )~ L

Это определение применимо только к целым чис­ лам а, которые взаимно просты с т. Мы можем распрост­ ранить его на все целые числа, положив

% (а)=0, если (а, т )> \ .

Следовательно, характер по модулю m есть арифме­ тическая функция %, обладающая следующими свойст­ вами:

Ф (т) — количество положительных целых чисел, не пре­ восходящих т и взаимно простых с т. Они образуют (мультипликативную) абелеву группу, изоморфную группе приведенных классов вычетов по mod т. Единич­ ным элементом этой группы будет главный характер %i,

денных класса вычетов, а именно класс Е, состоящий из целых чисел, сравнимых с l(m od4), и класс А, состоя­ щий из целых чисел, сравнимых с 3(m od4). Классы А и Е образуют циклическую группу порядка 2. Существу­ ют два характера %i и Х2, где