книги из ГПНТБ / Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел

щаяся в единичном интервале. Для того чтобы последо­ вательность (|3j) была равномерно распределена по мо­

дулю 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось со­

отношение

для каждого целого тфО, где i2 = — 1.

Доказательство. Пусть (Pj) равномерно распреде­ лена по модулю 1, и пусть aj обозначает дробную часть р,-. Тогда последовательность (от,) равномерно распреде­ лена в единичном интервале. Если мы возьмем f(x) — = е1л1тх, где т целое и т ф 0, то из теоремы 3 вытекает соотношение

а так как аи отличается от Рл. на целое число, это озна­ чает, что справедливо соотношение (10).

Обратно, если (10) выполняется для каждого целого

т ф 0, то

П

Нт — У е2л£т“л = 0. h=l

Покажем, что в этом случае условие (7) будет выпол­ няться для каждой интегрируемой по Риману на отрез­ ке [0, 1] функции. Очевидно, (7) имеет место для f(x) = = 1 и по нашему предположению для f ( x ) = e 2ltimx, где т — целое число, отличное от нуля. Тогда оно будет вы­ полняться также для любого тригонометрического поли­ нома вида

а0+ (ахcos 2яx+ bLsin 2ял:)-\-------1-(атcos 2птхфЬтsin2лтх),

где О; и Ьг — константы. Далее, любая непрерывная пе­ риодическая функция / с периодом 1 может быть ап­ проксимирована тригонометрическим полиномом такого

и\ (f2 (x)—fi{x))dx = 2s. Так же, как при доказательств

о

ве теоремы 3, мы получаем отсюда, что условие (7) вы­ полняется для любой непрерывной периодической функ­ ции с периодом 1. Ограничимся теперь основным интер­ валом [0, 1]. Для любой ступенчатой функции f на от­ резке [0, 1] можно найти две непрерывные периодиче­ ские функции f1 и /2, такие, что

иИ М *) — h ( x ) ) d x < г.

о

Следовательно, (7) выполняется для любой ступенчатой функции f, определенной на отрезке [0, 1], а тогда, как было показано выше, оно будет выполняться для любой интегрируемой по Риману на отрезке [0, 1] функции. Теорема 4 доказана.

В качестве приложения теоремы 4 докажем следую­ щий результат:

Теорема 5. Если - любое иррациональное число, то бесконечная последовательность (rag), п = 1, 2, ..., рав­ номерно распределена по модулю 1.

Доказательство. Пусть от — целое число, отличное от нуля, и пусть от|=гП окаж ем , что

Число т) действительное и, поскольку g иррационально, не целое. Тогда мы имеем

П

Доказательство этой теоремы аналогично доказатель­ ству в случае одной переменной. Отметим только, что «ступенчатая функция» может быть аппроксимирована, например, дважды непрерывно дифференцируемыми функциями, которые имеют равномерно сходящиеся ря­ ды Фурье.

В качестве следствия мы получаем отсюда обобще­ ние теоремы 5:

Теорема 6. Пусть gt, g2, •••, £р — действительные чис­ ла, такие, что gb g2, % р, 1 линейно независимы над

кольцом целых чисел (т. е. не существует линейного со-

р

отношения вида У /jgj= l, где I и lj — целые числа и

/=!

(/ь /2, ..., 1Р, I) ф (0, 0, ..., О, 0). Тогда последовательность ng=(ngi, rcg2, ..., ragp), п = 1, 2, ..., равномерно распреде­ лена по модулю 1.

§ 5. Теорема Кронекера. Из теоремы 6 следует, что пос­ ледовательность ({ng}), где {nl} = ({ftgi}, {ng2} , ..., {ngp}),

всюду плотна в единичном кубе. Этот результат, пред­ ставляющий собой содержание теоремы Кронекера, яв­ ляется обобщением на пространства высших размерно­ стей теоремы, упомянутой в § 1, и может быть сформу­ лирован следующим образом:

Теорема 7. Пусть 0ь 02, ..., 0ь, 1 — действительные числа, линейно независимые над кольцом целых чисел, сц, а2, ..., аь — произвольные действительные числа и N, е — положительные действительные числа. Тогда суще­

124 Г л. VIII. Теоремы Вейля и Кронекера

ствуют целые числа п и ри р2, ..., ри, такие, что

е — положительные действительные числа. Тогда суще­ ствуют действительное число t и целые числа pi, р2, ..., ph,

Предположим, сначала, что справедлива теорема 8, и вы­ ведем из нее теорему 7.

Чтобы доказать теорему 7 в приведенной выше фор­

висимы над кольцом целых чисел, то числа 1, 0Р ..., 0ft, где 0у = 0 j —qj и (<7 j) — подходящие целые числа, также

будут линейно независимы. Кроме того, из неравенства |nQm—p’m ■—a m| < £ при целом p'm следует неравенство |п0т—Pm— am|< £, где Pm = Pm+nqm. Предположим по­

существуют такие целые числа ри р2, ..., pk+i и действи­ тельное число t, 1, которые удовлетворяют нера­ венствам

И

|^—Рй+1|< е /2 .

а разность между t'Qm и рт также сколь угодно мало от­ личается от целого числа, то разность между

и ocm+pm обладает тем же свойством. Таким образом, эквивалентность теорем 7 и 8 доказана.

Дадим теперь доказательство теоремы 8, предложен­

где t — действительное переменное и

<p(t) = \F(t)\.

Очевидно,

о < ф ( / ) < Н 1 .

Если теорема 8 справедлива, то для некоторого достаточ­ но большого t каждое число tQm—ат сколь угодно мало будет отличаться от некоторого целого и тогда <р(£) сколь угодно мало будет отличаться от k-\-\. Действительно, если хт= tQm—ат, то для данного е > 0 найдется

такое, что если \хт—рт \< б для некоторого целого числа

Pm, TO |е?лит— 1 |< £ .

Обратно, если ф(^) сколь угодно мало отличается от k-\-\ для некоторого достаточно большого t, то каждый член в сумме (13) должен как угодно мало отличаться от 1, поскольку ни один из этих членов по абсолютной величине не превосходит 1, и тогда теорема 8 должна быть справедливой. Мы можем доказать это следующим

Значит, \у \^ 2 ц 1/2, и потому |z— 1 1< 4 г]1/2.

Следовательно, теорема 8 будет доказана, если мы по­ кажем что

где коэффициенты аП1....пк обладают следующими свой­

числа 2л (ni0i + ... + «ft0ft). Так как Qj линейно независи­ мы, то числа cv различны. Роль bv в (11) будут играть

о

так что каждый коэффициент в разложении (15) будет удовлетворять неравенству

ип1’ lk