книги из ГПНТБ / Фоломеев, А. А. Снижение материалоемкости железобетонных конструкций-1

80

o" ^;,n a iU2 — P "T*" ’

*4

121 -■ 7 Г « (

*'122 - V r

в,я = - 7 Г ^ ( |‘,. ) Г ( |‘м)-

Остальные элементы определителя равны нулю. Элементы столб­ ца свободных членов определителя запишем в виде

Bi = s 0 \ n)>

в.

6-207

^ = 4 f V ^ « ) + T V ^ C i v ) .

82

где

Для приведенного сейсмического ускорения — реакции системы на заданные перемещения основания — справедливо ранее приве­ денное выражение (IV. 4).

§ 4. НАХОЖДЕНИЕ ОРИГИНАЛОВ ФУНКЦИЙ ДЕФОРМАЦИЙ ЭЛЕМЕНТОВ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ РАМЫ

В последнее время методы операционного исчисления и инте­ грального преобразования Лапласа получили значительное разви­ тий в динамике сооружений. В работах [16, 39, 59, 75, 76] методы операционного исчисления на основе интегрального преобразова­ ния Лапласа использованы для решения различных задач. Наибо­ лее важной среди них является задача о поперечных колебаниях

расчета на импульсивную нагрузку гибкого бруса, закрепленного одним концом к жесткому основанию, было предложено в раббте [75]. Далее эти вопросы рассматривались в работах [76, 77, 92]. Метод, примененный в работе [75], отличается от классических ме­ тодов расчета колебаний стержней, предложенных рядом авторов

[16, 25, 39].

Как известно, основные трудности в нахождении оригиналов функций, начинаются с использования известной теоремы обраще­ ния. В работе [75] была сделана попытка представить функцию изображения fk(s) от общего решения дифференциального уравнения поперечных колебаний консоли в изображениях в виде ряда. Такая возможность существует при использовании второй теоремы разложения [53, 96] с учетом того обстоятельства* что изо­ бражение является функцией

83

Если все корни ф (s) простые (т. е. если имеют место вещест­ венные корни частотного уравнения собственных колебаний кон­ соли), го

В работе [75] для получения конкретного решения используется функция, характеризующая движение основания рассматриваемого сооружения (консоли):

является импульсом сейсмического ускорения. Естественно, в слу­ чае использования формулы (IV. 61) можно провести аналогию со случаем, приведенным в работе [84].

Для вычисления внутреннего интеграла, полученного после ис­ пользования теоремы обращения, в работе [75] была применена теорема о вычетах [26, 53, 96], так как подынтегральная функция регулярна повсюду, за исключением полюсов, лежащих слева от

замкнутого контура. В качестве замкнутого контура взята

84

вынужденных колебаний пространственной рамы с массами, рас­ пределенными по длине ригелей и стоек. Попытаемся обосновать применение второй теоремы разложения для получения оригиналов функций деформаций элементов пространственной рамы. Для ре­ шения указанной задачи в начальной стадии имеет место система дифференциальных уравнений в частных производных четвертого и второго порядков, описывающих деформации рамной системы.

Не останавливаясь на получении общего решения в изображе­ ниях данной системы, перейдем к вопросу о применимости теоремы обращения и использовании теоремы разложения для получения оригиналов функций в виде рядов, аналогично работам [75, 76, 77, 92]. После подстановки общих решений в граничные условия и ус­ ловия сопряжения, связывающие элементы в пространственную раму, получим систему уравнений в изображениях, для решения которой можно использовать аппарат линейной алгебры. Выясним условия, предъявляемые к функции f(s), для представления ее в

который сходится в некоторой полуплоскости Res>So.

$5

В данном случае f k(s) — функция деформаций элементов рам­ ной системы в изображениях, представляющих собой различные комбинации известных балочных функций А. Н. Крылова с аргу­ ментами, содержащими комплексную переменную s (Res—V ; s0— показатель роста f(t) или абсцисса абсолютной сходимости инте­ грала Лапласа). Переменная s в дальнейшем при выполнении окончательных выкладок трансформирована в виде

где \>-ln, ak — корни частотного уравнения]собственных колебаний.

Трансформация определяется тем обстоятельством, что от функций комплексного переменного переходим к функциям дейст­ вительного переменного. Это обстоятельство имеет место потому, что при нахождении обычных синусов и косинусов от выражений, содержащих комплексную переменную, они обращаются в синусы и косинусы гиперболические, и наоборот. В то же время в частот­ ном уравнении имеются произведения

c h ( ^ n)c o s (t^ ); sh (!*,„) sin (tv ) .

Очевидно, что они взаимно равнозначны относительно сомножите­ лей при переходе от функций комплексного переменного к функ­ циям действительного переменного, т. е. при дифференциации.

оо

(IV.69)

расположенный по понижающим степеням s и сходящийся при s\>R.. В данном случае при s-»-оо /(s)-> -0 по любому пути.

Рассмотрим функцию изгибной деформации стойки, предло­ женной в виде

/ (s) = Uj (z, s) = Al Sl ( qj z) + BtTt { q f ) +

Напомним, что указанное выражение является решением одно­ го из уравнений системы в изображениях и что S{(qtzj, 7 ,(^ 2 ) —

балочные функции А. Н. Крылова с аргументом, содержащим

86

После преобразований, необходимых для определения неиз­ вестных коэффициентов At , Bt , Ct , Dr получим изображение в

виде дробно-рациональной функции мераморфного типа:

Подобное возможно при решении задач, которые описываются дифференциальными уравнениями в частных производных; вместо дробно-рациональных функций нередко появляются мераморфные функции. Напомним, что однозначная функция F (х) является мераморфной в определенной области, если ее единственной осо­ бенностью являются полюсы и каждую мераморфную функцию в конечной области можно представить в виде отношения двух целых функций, не имеющих общих нулей. Данные функции, подобно дробно-рациональным функциям, являются аналитическими во всей плоскости, за исключением изолированных полюсов.

Исходя из второй теоремы разложения [53] и учитывая, что все корни знаменателя в выражении (IV. 72) простые, оригинал функ­ ции f*(s) можно определить по формуле

Выражение (IV. 74) может быть истолковано не только для стойки четырехстоечной рамы, но и для продольных и поперечных ригелей. Учитывая, что во всех преобразованиях участвует функция *,„(/) приведенного сейсмического ускорения, которую можно

установить, задавшись определенным законом движения рассмат­ риваемого основания, оригинал функции деформации элементов пространственной рамы можно выразить следующим образом:

87

В работе [92] получено аналогичное выражение при анали­ зе вынужденных колебаний стойки, несущей резервуар с жид­ костью.

При реализации полученного выражения для деформаций сме­

то записанные выше ряды имеют медленную сходимость.

§ 5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

При анализе собственных колебаний пространственных рам немаловажное значение приобретает задача нахождения корней частотного уравнения. Имеется несколько методов вычисления оп­ ределителей, которые могут быть использованы при решении раз­ личного круга задач. При этом, если элементы определителя явля­ ются трансцендентными функциями и их необходимо определить при равенстве нулю детерминанта частотного уравнения, наиболее реальным является метод подстановок, содержащий много трудо­ емких операций.

Нахождение корней определителя, которые заданы неявно как аргументы трансцендентных функций, — довольно сложный и кро­ потливый процесс. В результате исследования интегрального пре­ образования Лапласа для решения задачи о вынужденных коле­ баниях четырехстоечной рамной системы без учета кручения стоек был получен определитель, элементы которого являются трансцен­ дентными функциями, и численные значения аргументов этих функ­ ций необходимо было вычислить на ЭЦВМ. Решение подобной за­ дачи позволило бы получить значения корней частотного уравнения собственных колебаний. Исходя из этих значений легко определить частоты собственных колебаний рамы при различных соотноше­ ниях жесткостных и геометрических параметров.

Имеющиеся стандартные программы для вычисления собствен­ ных значений и собственных векторов вещественной матрицы, а также стандартные программы (СП) для решения систем линей­ ных алгебраических уравнений не могли служить основой для ре­ шения поставленной задачи по двум причинам:

1)элементы определителя представляют собой трансцендент­ ные функции,

88

2) они не являются вещественными числами.

Поэтому возникла необходимость составления и отладки на конкретной ЭЦВМ программы для вычисления корней опреде­ лителя.

Основой для подобных исследований служили вычислительные методы линейной алгебры и интерпретирующая система ИС-2 для конкретных ЭЦВМ (М-20, БЭСМ-4).

В качестве вычислительного был принят метод последователь­ ных приближений, являющийся простым итерационным процес­ сом. Если процесс последовательных приближений сходился, то он сводился к решению системы, что и служило удовлетворитель­ ным фактором для решения поставленной задачи.

В го же время каким-либо способом выбиралось грубо прибли­ женное значение корня р и после подставления его численного значения в аргумент элементов трансцендентного определителя производился контроль полученного численного значения опреде­ лителя путем сравнения его с машинным нулем. Таким образом, программа для вычисления корней частотного уравнения предпо­ лагала нахождение кЬрней определителя в первую очередь, затем использовалась программа вычисления определителя при извест­ ных уже элементах определителя.

Необходимо отметить, что в ЭЦВМ типа М-20, БЭСМ-4 отсут­ ствует специальная память для хранения стандартных подпро­ грамм. Ввиду этого возникла потребность в программном решении проблемы удобного обращения к стандартным программам. Для этой цели была использована апробированная на большом коли­ честве примеров интерпретирующая система ИС-2.

Система интерпретации ИС-2 состоит из библиотечки стан­ дартных подпрограмм и из специальной истолковывающей про­ граммы.

Перечислим СП, использованные при вычислении корней транс­ цендентного определителя, и СГ1 для вычисления численного значе­ ния определителя:

1)СП — 0003 — е*.

2)СП — 0005 — sinx, cosx,

3)СП — 0002 — перевод чисел из десятичной системы счисле­ ния в двоичную,

4)СП — 0042 — групповой перевод чисел из десятичной систе­ мы в двоичную,

5)СП — 0010 — перевод из двоичной системы счисления в де­ сятичную,

6)СП — 0027 — печать материала с одновременным переходом

вдесятичную систему и сохранение двоичного материала в МОЗУ (магнитное оперативное запоминающее устройство),

7)СП — 0140 — вычисление численного значения определителя. Программа вычисления корней определителя составлена с ис­

пользованием системы ИС-2; можно применять также библиотеку стандартных программ Б-61 (библиотеку Кронрода). Программа

№