книги из ГПНТБ / Фоломеев, А. А. Снижение материалоемкости железобетонных конструкций-1

Поперечные ригели, обозначенные на рис. 16 как /св и кю связы­ вают две ячейки по оси оу. Концевые условия для этих элементов можно использовать при анализе узловых граничных условий для каждой из ячеек в отдельности.

Рис. 17. Расчленение многопролетной одноэтажной пространственной рамы на пространственные элементы.

Если ячейки существуют обособленно и элементы осуществля­ ют связь между ними, то в этом случае выражения для функций перемещений и углов поворота устанавливаются с учетом конце­ вых условий для элементов.

Если необходимо установить связь между двумя ячейками, име­ ющими поперечные связывающие ригели кв и Ко, то для изгибаю­ щих моментов и перерезывающих сил можно использовать выра­ жения, предложенные в работе [9]. С учетом этой возможности для одной из ячеек, например, т], можно записать:

50

Таким образом, каркасную конструкцию можно рассмотреть как состоящую из множества ячеек, в свою очередь являющихся пространственными элементами. Существует возможность получе­ ния каркаса и из пространственных крестообразных элементов, имеющих два вида конфигурации: стойка угловая плюс продоль­ ный и поперечный ригели и стойка средняя с двумя поперечными и одним продольным ригелями.

I

Рис. 18. Одноэтажные пространственно-рамные системы.

Если составить пространственную раму из крестообразных эле­ ментов (рис. 17), то для каждого креста необходимо записать си­ стему дифференциальных уравнений, граничные условия и условия сопряжения и производить выбор функций, характеризующих ре­ шение системы. Данный -путь является предпочтительным по ряду причин, которые будут названы ниже.

Рассмотрим одноэтажную пространственную раму, которую можно расчленить на пространственные элементы (рис. 18), учиты-

Неучет продольных колебаний в ригелях, обозначенных i, приво­

Граничными условиями и условиями сопряжения в узлах для крайних крестообразных элементов, имеющих стойку, продольный и поперечный ригели, являются выражения (III. 18), ранее за­

51

писанные для ячейки г). Действительно, если вместо нижних риге­ лей введем жесткое защемление, то из ячейки г) получим одно­ пролетную пространственную раму, которую можно представить как состоящую из четырех крестообразных элементов. Тогда при записанных ниже координатах крестообразного элемента

будем иметь для смещений выражения (III. 18а), для углов пово­ рота — (III. 186), (III. 18в), для изгибающих моментов—(III. 18г), (III. 18д) и для перерезывающих сил — (III. 18е).

Для среднего пространственного элемента, учитывая, что на­ чало координат расположено в месте защемления стойки, а индек­ сы «л» и «п» означают левый и правый поперечный ригели, можем записать

§ 3. ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ ФОРМ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

Рассмотренные ранее пространственные крестообразные эле­ менты можно расчленить на простые балки. Общим условием для подобных элементов является наличие консоли (стойки) в системе. Условие ортогонализации для таких стержней приводится в рабо­ тах [18, 73].

52

Для остальных элементов объемных крестов (продольных и по­ перечных ригелей) общими связующими условиями служат гра­ ничные условия и условия сопряжения. В каждом отдельном слу­

Исходя из реальных граничных условий и условий сопряжения коэффициенты к, к', к", к'" можно всегда подобрать так, чтобы для пространственных элементов соблюдались условия (III. 30).

Рассмотрим выражение общего перемещения нейтральной оси балки. Обозначения в аналитических выражениях приняты таки­ ми же, как и в работе [73]. Для случая простых балок доказано, что каждому значению корня частотного уравнения соответствует определенная функция, отнесенная как к Аг так и к В г

граничным_и условиями будет достаточным условием для ортогона­ лизации всей системы.

Если исходить из физического смысла условия ортогонализа­ ции, то в данном случае ясно следующее:

а) колебания стоек обусловливают характер колебаний рамной системы в целом и не накладываются на собственные колебания ригелей,

б) функции f(l) и f\(l) являются основными,

в) для элемента, который характеризуется этими функциями, можно доказать условие ортогонализации.

Принимая во внимание то обстоятельство, что ко всем стойкам одноэтажной однопролетной пространственной рамы приложены одинаковые начальные возмущения и необходимо охарактеризо­

53

вать движение с учетом начальных смещений для каждой стойки б отдельности, можно записать:

критерием для всей системы.

Предложим необходимые доказательства условия ортогонализации собственных форм, которые записываются в виде

i

Л- 1

Сучетом преобразований, предложенных в работе [73J, будем иметь

<111.40)

о

54

U

I OyUm(z)dz

0

(III.41)

J [Um l*)]*dz

о

Эти значения произвольных постоянных подставляются в интег­ ралы вида

Ч

J[Um{ z ) f d z .

о

Фундаментальные функции для приведенных выше выражений получены в работе [103] с учетом любых видов закрепления стерж­ ней. Форму изгибных колебаний рамной системы с массами, рас­ пределенными по длине ригелей и стоек, можно характеризовать формой деформаций рамной системы в плане.

§ 4. КОЛЕБАНИЯ МНОГОПРОЛЕТНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РАМ

Составим из призматических стержней пространственную рам­ ную конструкцию с распределенными массами. Соответственно вы­ берем систему координат и представим, что собственные колебания рамной системы происходят в определенном направлении. Предпо­ ложим, что стойки жестко защемлены в основании и узлы монолит­ ны. поперечные размеры элементов малы по сравнению с длиной; внутренним трением пренебрегаем и считаем, что продольные ко­ лебания в ригелях i отсутствуют. Такую конструкцию можно получить из ранее рассмотренной ячейки, если принять, что отсут­ ствуют нижние ригели и стойки защемлены в основании. Подобная система показана на рис. 18. Имеются также модификации рамной системы с различным числом пролетов по оси оу.

Одноэтажную однопролетную рамную систему можно составить из четырех пространственных крестообразных элементов, двух­ пролетную одноэтажную — из такого же количества крайних крес­ тообразных элементов и двух крестообразных элементов, имеющих стойку и три ригеля. Соответственно и для трехпролетной прост­ ранственной рамы можно указать необходимое количество крайних и средних крестообразных элементов. Для приведенных выше эле­ ментов ранее были записаны граничные условия и условия сопря­ жения, а также показана возможность получения пространствен­ ной рамы в результате сочленения.

Элементы пространственно-рамных систем, составленных из объ­ емных элементов, в случае собственных колебаний испытывают следующие виды деформаций:

а) стойки 1, 4, 6, / претерпевают изгиб по оси ох, б) поперечные ригели 3, 5, к испытывают изгиб по оси ох,

в) продольные ригели 2, 6, 8, i подвержены изгибным деформа­ циям по оси ог,

55

г) стойки 1, 4, 7, j совершают крутильные колебания вследст­ вие изгибных колебаний ригелей к и i.

Запишем общую систему дифференциальных уравнений, описы­ вающих деформации элементов пространственных рам при собст­ венных колебаниях

ной системой для ячейки ц (III. 08), то видно, что в данном случае отсутствуют уравнения, описывающие деформации нижних риге­ лей ячейки. Поэтому решениями системы дифференциальных урав­ нений (III. 42) будут являться ранее записанные решения для общей системы уравнений (III. 08), а именно выражения (II 1.09) — (III. 11), (III. 14) — (III. 16).

Для получения частотного уравнения собственных колебаний рамной системы необходимо данные выражения подставить в гра­ ничные условия и условия сопряжения, составленные для каждого

где / — число этажей, t — число пролетов по оси оу.

56

В случае одноэтажной однопролетной пространственной рамы

W2(x) = AsS3(n2zx) + B3T3{n2z x) + С.ли з (п 2гх ) + D3V3(n2zx),

(III.4 8 )

57

Записанные выражения подставим в граничные условия и ус­ ловия сопряжения и после некоторых преобразований получим уравнение собственных колебаний в виде

58

В4 = [ Т (в) + и (е) V/(в) ] [1 - 5 (е) + п Ctg СТ (в) ] +

-^ t / ( e ) [ l - S ( s ) - 7 ( s ) l / ( s ) ] .

Вслучае одноэтажной двухпролетной по оси оу пространствен­

В случае одноэтажной трехпролетной пространственной рамы

Oi3 = a tl; с13 — с12.

59