книги из ГПНТБ / Фоломеев, А. А. Снижение материалоемкости железобетонных конструкций-1

(11.30)

где

Однако для оценки перемещения га(х, у, £) И усилия Q (у, t) значение функции РА(0 нельзя сразу заменить ее максимумом,

так как wk (х, у), Qk , rkl и М { будут знакопеременными.

Недостаток спектрального метода — отсутствие данных о фа­ зах максимумов отдельных нормальных составляющих и невоз­ можность определения действительного максимума какого-либо фактора — на практике устраняется принятием одного из следую­ щих допущений:

1) предполагается, что в момент достижения максимума име­ ются усилия и деформации по одному из нормальных колебаний, а по остальным нормальным составляющим — незначительны и ими можно пренебречь. В качестве расчетного принимаются мак­ симальное усилие и деформация одной из нормальных форм (как правило, основной — первой формы);

2)учитываются усилия по всем формам, в качестве расчетного принимается среднеквадратичное значение максимальных усилий нормальных форм;

3)предполагается, что усилия по всем формам достигают мак­ симума одновременно и в качестве расчетной принимается сумма максимальных усилий отдельных форм, называемая абсолютным максимумом усилий.

Иногда абсолютный максимум усилий умножается на коэффи­

циент у<1 (в зависимости от конструкции зданий).

При определении расчетных усилий возможны и другие под­

показаны на рис. 11.

При вычислении w (х, у, t)max мы ограничивались только пер­ вой нормальной, формой, так как остальные -при подсчете оказа­ лись незначительными.

Значения максимальных усилий, вычисленных на основе фор­ мул (II. 30), при допущениях, указанных в п. 2 и 3 (при y= 0,9) для тех же задач приведены на рис. 12 и 13 соответственно.

40

Г л а в а III

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РАМ

С РАСПРЕДЕЛЕННЫ МИ М А С С А М И

§1. СОПОСТАВЛЕНИЕ ТОЧНЫХ И ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РАМ

Известно, что любой расчет независимо от степени его точно­ сти дает только некоторое приближение к действительному рас­ пределению сил в элементах сооружения. Это происходит потому, что в большинстве случаев фактически производится расчет не самого сооружения с учетом его многообразных элементов, а неко­ торой условной схемы, заменяющей отдельные элементы конструк­ ции. Если говорить о влиянии связи какого-нибудь рассчитываемо­ го элемента с остальными частями целого сооружения, то оно зача­ стую оценивается приближенно, а иногда не отражается на расчете.

По данным работ [ЮЗ, 104], жесткость рам в поперечном на­ правлении может быть принята во внимание введением добавочных уравнений, учитывающих связь продольных ригелей с продольны­ ми рамами. Этот вопрос возникает при изучении колебаний плос­

При расчете рамных систем со свободно смещающимися узла­ ми, подверженных действию вертикальных нагрузок, принимают, что узлы нс могут иметь линейного горизонтального смещения, и условно вводят несуществующие в действительности специальные опоры, которые и обеспечивают линейную несмещаемость узлов. Возможность поворота узлов при этом не исключается. Степень погрешности, вносимая этим допущением в расчет (по сравнению с «точными» методами), зависит от геометрической формы рамы, соотношения моментов инерции отдельных элементов, характера расположения нагрузки и может колебаться в значительных пределах.

При рассмотрении деформации стержневой системы, обладаю­ щей многими степенями свободы, обнаруживается аналогия формы деформации системы в каждом главном направлении с формой соответствующего свободного колебания. Таким образом, каждой форме деформации системы соответствуют и силы, вызывающие эту деформацию, что относится к случаю свободных колебаний.

42

При вычислении кинетической энергии стоек во многих случая?, с достаточной точностью можно пользоваться методом приведения масс стоек т. , распределенных по длине, к массам, сосредото­

ченным в узлах рамы М к .

У одноярусных рам коэффициент приведения масс стоек равен

.0,372 и берется в предположении, что нулевая точка находится на середине высоты яруса.

Рис. 14. Схема приведения присгранггвен юн рамы к плоской.

Приведенная кинетическая энергия рамы определяется из вы­ ражения

Prs — вес всех сосредоточенных грузов, связанных с ригеля­

ми рамы (в данном случае равен нулю),

Gf — вес всех нагрузок, которые необходимо сосредоточить

вузлах рамы;

—горизонтальное смещение узлов рамы.

Выражение для максимальной потенциальной энергии рамной системы имеет вид

здесь W — горизонтальная сила, под действием которой получи­ лась деформация П-образной рамы, примерно соответствующая динамической при свободных колебаниях для основной частоты.

В результате вычислений, произведенных с учетом выражений (III. 4) — (III. 7), получено значение частоты собственных колеба­ ний, отличающееся от значения частоты собственных колебаний, подсчитанного точным методом, на 15—17% в сторону увеличения.

При точном методе расчета принималось, что жесткости и гео­

44

метрические размеры всех элементов пространственной рамы были равны, кручение стоек и продольные колебания ригелей отсутство­ вали.

Предлагаемая ниже методика позволяет определить более точ­ ные численные значения деформационных факторов, возникающих в пространственных рамных системах при действии сейсмических нагрузок.

§2. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЯЧЕЕК

Внастоящее время задача о поперечных, продольных и кру­ тильных колебаниях призматических стержней с различными усло­ виями закрепления получила достаточно широкую математическую интерпретацию и не нуждается в комментариях. Между тем инте­ ресно представить и рассчитать некоторую комбинацию или систе-

Рис. 15. Ячейка 3, полученная из пространственно-рамной системы.

.му стержней, имеющих относительно друг друга различные виды контакта. Ограничив характер деформации системы призматиче­ ских стержней определенными дифференциальными уравнениями и граничными условиями, можно произвести расчет указанной системы на колебания. Покажем это на примере собственных коле­ баний обособленной ячейки (.рис. 15), полученной из каркаса здания.

Исследование колебаний пространственной ячейки начнем с выбора системы координат, а затем запишем систему диффе­ ренциальных уравнений, характеризующих деформации элемен­ тов. Для этого составиманалитические выражения из из­ вестных балочных функций А. Н. Крылова [4], описывающих реше­ ние каждого дифференциального уравнения. Наложим граничные условия и условия сопряжения на элементы системы, пока не свя­ зывая их с другими ячейками каркаса. Подставив решения диффе­ ренциальных уравнений в граничные условия и условия сопряже­ ния, получим матрицу п-го порядка, определитель которой, при равенстве его нулю, будет являться частотным уравнением собст­

45

венных колебаний. Таков общий путь решения задачи собствен­ ных колебаний обособленной ячейки п, которую будем счи­ тать существовавшей отдельно, без связи с другими по трем коор­

U k (y) — функция смещения верхнего ригеля кя в плоскости хоу, Fk (у) — функция смещения нижнего ригеля kaв плоскости А о у .

Решениями для каждого дифференциального уравнения сис­ темы (III.8) являются выражения

46

При колебаниях любого призматического стержня в простран­ стве необходимо учитывать условия наложения связей. Граничные условия и условия сопряжения для обособленной ячейки выберем принимая во внимание предположение, иго элементы, жестко сое­ диненные в узлах, и ригели, обозначенные на рис. 15 как iB и iH, не испытывают продольных деформаций. Стойки /, связанные в уз­ лах с верхними и нижними продольными и поперечными ригелями, испытывают кручение, являющееся следствием взаимных дефор­

47

Из коэффициентов при неизвестных данной системы можно составить матрицу:

4$

d

Рис. 16. Две ячейки, соединенные по оси оу.

известных методов преобразования матриц и вычисления числен­ ных значений коэффициентов.

Любую многоэтажную многопролетную пространственно-рам­ ную систему можно представить как состоящую из множества ячеек. Данное условие предполагает обратную задачу: из п ячеек получить пространственный каркас (без плит перекрытий), связав их по трем координатным осям и наложив на них при этом опреде­ ленные граничные условия и условия сопряжения.

В данном случае укажем только на подход к решению задачи о собственных колебаниях двух ячеек, связанных по оси оу и пока­ занных на рис. 16. Как видно из рисунка, для ячеек г) и 6 выбрана система координат с началом в узле а. Для каждой ячейки в дан­ ном случае справедлива определенная система дифференциальных уравнений, аналогичная системе (III. 8), и конкретные выраже­ ния, характеризующие решения каждого уравнения системы, а также свои граничные условия и условия сопряжения как для ячей­ ки г), так и 6.