книги из ГПНТБ / Фоломеев, А. А. Снижение материалоемкости железобетонных конструкций-1

Глава II

ВЫ НУЖ ДЕННЫ Е КОЛЕБАНИЯ К О РО БК И

§ 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ

При изучении свободных колебаний коробки мы считаем, что обобщенные силы, действующие на систему отсутствуют, т. е. Р=0. Для общего решения задачи о вынужденных колебаниях исходим из уравнения

ственных чисел; Р — R~x А~г Р — вектор; /?(ф) — матрица собст­ венных векторов.

Преобразование координат Т в координаты z приводит к раз­ делению переменных в дифференциальных уравнениях движения. В связи с этим координаты z называются главными.

Матрица-столбец ф определяет отношение амплитуд собствен­ ных форм колебаний и геометрически может быть представлена как вектор в n-мерном пространстве, компоненты которого явля­ ются элементами матрицы ф.

Матрица ф называется также собственным вектором.

Вообще говоря, собственный вектор ф включает произвольный постоянный коэффициент. Для того, чтобы избавиться от неопре­ деленности в собственном векторе ф, первый отличный от нуля эле­ мент собственного вектора ф приравняем единице.

Таким образом, все остальные элементы собственных векторов ф будут определены единственным образом. Можно считать, что собственный вектор нормализован, и главные координаты следует

.-31

Закон движения пространственной коробки выражается фор­ мулой

здесь $\к) — компоненты собственных векторов, соответствующие

k-ft собственной частоте; w (х, у) — аппроксимирующие функции. Суть принимаемого приближенного метода заключается в том, что при решении конкретных задач в выражении (II. 6) сохраняет­ ся конечное число членов, зависящих от количества аппроксимиру­

ющих функций.

§ 2. О ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ ПОЧВЫ ПРИ ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЯХ

Из решения (II. 4) на основании (II. 5) видно, что возможность динамического расчета сооружений на сейсмическое воздействие требует знания законов перемещения почвы при землетрясении, т. е. значения функции u0(t) или ii0(t).

Впервые переход на динамический метод расчета был осуществ­ лен в нашей стране К. С. Завриевым [31]. Он предложил рассмат­ ривать сейсмические перемещения по закону косинуса, т. е. в на­ чальный момент времени основание получает некоторое смещение, а скорость основания равна нулю. Следовательно, функция il0(t) принимается равной

и0(t ) = — а0р2 cos pt, (II.7)

где ас, р — амплитуда и частота колебаний земной поверхности соответственно.

Учитывая сложный и запутанный характер движения почвы при землетрясении и стремясь обойти трудности, связанные с математи­

32

ческой формулировкой этого движения, М. А. Био [109] предложил определять динамический эффект землетрясения эксперименталь­ ным путем на моделях, гак называемым методом спектральных функций.

В СССР метод, предложенный М. А. Био, использован А, Г. На­ заровым [64, 65], который для построения спектральных кривых пользовался не акселерограммами землетрясений, а специально разработанными многомаятниковыми сейсмометрами, позволяю­ щими оценивать максимальные значения сейсмических сил, возни­ кающих в каждом отдельном маятнике прибора, моделирующем сооружение с равным ему периодом.

С. В. Медведев [63] для построения спектральных графиков использовал сейсмограммы, обработанные графоаналитическими методами, известными под названиями «метод фазовых плоско­ стей» и «метод векторных диаграмм».

Совсем недавно появилось новое направление, заключающееся в применении вероятностных методов к оценке возможного воздей­ ствия землетрясения на сооружения [5, И, 12].

И. Л. Корчинский [47] на основе анализа сейсмограмм считает, что в качестве упрощенной математической интерпретации пере­ мещения почвы при землетрясении может быть принят закон сум­ марного действия ряда затухающих гармонических кривых, т. е.

где у 0— перемещение почвы; а0— начальная амплитуда соответствующей слагаемой ряда;

г0 — коэффициент затухания грунта; ш — частота колебаний соответствующей слагаемой ряда;

■; — угол," определяющий момент вступления соответствую^ щей слагаемой ряда;

t — время.

Расчет реальных сооружений на сейсмические воздействия по

неопределенным. Поэтому для практических расчетов рекоменду­ ется ограничиваться действием одной затухающей синусоиды, час­ тота которой может иметь различные (в известных пределах) зна­ чения, т. е.

В этом случае в начальный момент времени и перемещение, и скорость равны нулю.

По М. Т. Уразбаепу [92], сейсмическая нагрузка по характеру близка к импульсивной с малой продолжительностью. Поэтому де­ формации системы можно считать но времени независимыми от за­ кона изменения нагрузки. В рассматриваемой задаче продолжи­ тельность действия сейсмической нагрузки /0 мала по сравнению с периодом любой из форм колебаний. Тогда для такой продолжи­ тельности действия нагрузки принимают вид

§ 3, ПРИМЕНЕНИЕ ГРАФИКА ДИНАМИЧЕСКОГО КОЭФФИЦИЕНТА р ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ КОРОБКИ

Учитывая, что один и тог же интеграл zk встречается в формуле

(II. 6), а также в выражениях для изгибающих моментов и пере­ резывающих сил, вводим обозначение

34

В принципе безразлично, какую из величин использовать, важ­ но правильно их определить и правильно ими пользоваться. Таким образом, для определения закона движения коробки и всех необ­ ходимых расчетных величин (перемещений, изгибающих моментов, перерезывающих сил и т. д.), следует вычислить периоды сво­ бодных колебаний.

Дальнейшие вычисления проводятся с использованием спект­ ральной кривой [46]. Что касается сейсмического коэффициента Кс- го в нормах СССР для районов с семибалльной сейсмичностью он принимается равным 0,025, с восьмибалльной — 0,05 и с девятибалльчой — 0,1.

Однако обработка С. В. Медведевым [63] многочисленных аксе­ лерограмм показала, что действительные значения максимального

ходимый для задач, связанных с изысканием методов проектирова­ ния сейсмостойких зданий. В случае необходимости определения ускорения для более длинных периодов можно пользоваться также формулой для диапазона 0,5 сек. ^ Т ^ 1 ,5 сек. Однако вычислен­ ные значения ускорений будут немного преувеличены, так как при У'^1,5 сек. ускорение уменьшается быстрее, чем величина, обратно пропорциональная первой степени периода Т.

Представляет интерес возможность вычисления верхней оценки спектральной кривой динамического коэффициента р. Этот вопрос особенно актуален в связи с тем, что в последнее время в литера­ туре приводятся данные о так называемых длиннопериодных зем­ летрясениях, которые имеют максимумы динамического коэффици­ ента в диапазоне Г>1 сек. Для таких землетрясений нормативные спектры типа принятого в СНиП II—А, 12-69 совершенно неприем-

35

лсмы, так как ис могут гарантировать сейсмостойкость сооруже­ ний е большими периодами собственных колебании. Работа в этом Направлении проводится В. Т. Рассказовским и др. 174а].

§ 4. РАСЧЕТ КОРОБКИ НА ДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКИ ЗАДАННОЙ СЕЙСМИЧЕСКОЙ СИЛЫ

грузки, возникающие в различных уровнях коробки, а по этим на­ грузкам — значения обобщенного изгибающего момента и обоб­ щенных перерезывающих сил. Кроме того, можно найти значение изгибающего момента и перерезывающих сил па кромках изгибае­ мых панелей, что очень важно для определения прочности соеди­

элементов коробки на том же уровне.

* Такой закон перемещения почвы при землетрясениях принят в теоретиче­ ских исследованиях японских и американских ученых. В случае, когда переме­ щения почвы при землетрясениях являются затухающей синусоидой, как ре­ комендует И. Л- Корчинский [46, 47], решения получаются аналогично.

36

Обобщенный изгибающий момент можно вычислить по формуле

нием почвы, но происходящих с собственными частотами. В этом случае термин «свободные ко­

лебания» нельзя считать вполне удачным.

Рассмотрим теперь два случая, характерных для различных соотношений р u>ft.

1. р значительно меньше со#.

Это соответствует случаю медленного по сравнению с периодом собственных колебаний нашей системы изменения движения почвы при землетрясениях. Тогда из (II. 18) получаем

37

принципиальная возможность перехода колебаний через резонанс, если в процессе землетрясения совпадение р н сохраняется лишь мгновенно, что наблюдается на практике. Тогда амплитуды смещений не могут достигнуть опасных величин [68].

§ 5. РАСЧЕТ КОРОБКИ НА ДЕЙСТВИЕ КРАТКОВРЕМЕННОЙ И ВНЕЗАПНО ПРИЛОЖЕННОЙ СЕЙСМИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ

Как показывают наблюдения, при многих разрушительных зем­ летрясениях действующие на сооружения силы могут быть пред­ ставлены в виде кратковременных нагрузок большой интенсив­ ности [10, 73].

Расчет сооружений на действие кратковременной сейсмической нагрузки основан на предположении, что сооружения претерпева­ ют сейсмический у'дар, которому в течение очень короткого времени сообщено столь большое ускорение, что величина, его импульса за этот промежуток времени значительно возрастает. Формула

(11.23)

и

выражает импульс сейсмического ускорения, т. е. скачок скорости. Здесь to — продолжительность действия импульса ускорения, она может быть больше или меньше периода собственных колебаний рассматриваемого сооружения.

На основе анализа действия кратковременного сейсмического импульса на поведение сооружения установлено, что кратковре­ менный сейсмический импульс намного опаснее тогда, когда он действует вертикально, т. е. создает вертикальное колебание. Отме­ чены многие случаи подбрасывания сооружений при катастрофиче­ ских землетрясениях. В подобных случаях из-за большой жестко­ сти конструкции сооружения в вертикальном направлении период свободных колебаний намного меньше по сравнению с продолжи­ тельностью действия импульса, т. е. сейсмический импульс, по-ви­ димому, достигает более значительных размеров.

ми, расмотренными в настоящей работе. В связи с этим возникает необходимость расчета коробки зданий на действие кратковремен­ ного сейсмического импульса.

Функция й(х) в формуле (11.4) положительна и имеет малую протяженность во времени. Используя интеграл на этом участке, получаем

38

На основе (И.23) окончательно имеем

' 2

Согласно равенству (11.6) записываем

С помощью выражения (II. 28) нетрудно определить соответст­ вующие значения силы инерции или сейсмической нагрузки, воз­ никающие в различных уровнях, а на основе формул, приведенных в § 4 настоящей главы — обобщенные изгибающие моменты, обоб­ щенные перерезывающие силы и другие данные.

§ 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СМЕЩЕНИЙ И УСИЛИЯ В ШВАХ С ПРИМЕНЕНИЕМ ДИНАМИЧЕСКОГО КОЭФФИЦИЕНТА (5

Перемещения точек исследуемой системы можно оценить с по­ мощью динамического коэффициента р на основе формулы, полу­ ченной в § 3:

С точки зрения расчета коробки на сейсмостойкость важное значение имеют усилия, возникающие в вертикальных швах. Их можно определить по формуле

33