книги из ГПНТБ / Фоломеев, А. А. Снижение материалоемкости железобетонных конструкций-1

% (Ы) = ь,

E7- - |j- E 8 +

-T^-S11

136д4 — 48ft2

, 12

12!

5

_

64№_ ?13

2160

, 2 р |4 42а*_

15

13!

?

"г

14!

5

15!

5

? з (^ ) = * « (- |г Ев- - 1 г ев + т

Е12-

552а4 — 2166»

t l 3

3360

13200

+

(V.16)

13!

'

'

14!

’

+

15! ?

где

и i __ 4с (1 — а) /4

. _ (от<а»—с) /4

’

[£/1

[Д/|

Если в (V.12') предположить,

что все bt ~ 0, кроме Ь0 (Ьх= 0),

т. е. с (£) = cb0= const (что соответствует

однородному

основа­

нию), то ®0 =

?i = ®з =

Тз = 0

и решение

(V.5) будет

иметь вид

X(t) = abS(a%) + ахТ (а\)

+ a2V (аХ)-\- а3 V{с&).

(V.17)

Решение (V.17) есть форма свободных колебаний

балки, ле­

жащей на однородном упругом основании.

Для того,

чтобы

определить

влияние

неоднородности осно­

Из (V. 11)

видно, что значения bi зависят от коэффициента

жесткости с,

коэффициента неоднородности а, длины здания I и

приведенной

жесткости здания [EJ\.

Чем меньше значения £4, тем меньше членов нужно удержи­

вать в функциях срг и чем больше значение Ь1, тем больше

чле­

нов нужно удержать в функциях <рг

Следовательно, количество

удерживаемых членов в функциях

зэеисит от значения

и

X " = X "' |£=0 = 0, X " = Х '"У _х = 0.

(V.18)

X (£) = я 0 [5(а|) + ? „ (« )] + л,

T(aj)

+ <Pi {№) .

а

Чтобы

определить

а0, аи

используем

два

других

условия ив

(V.18),

которые дают

й0 £ a2U (а) +

То

O-i \^clV (#) -f- т,

(6)j = О

(V.19)

ао [ а ^ (а ) ~Ь То

(b) j + а\ U (а) +

Ti

(^)J =

О

откуда

получаем частотное

уравнение

a2U (а) +

т0

(b), a V (a) -f-

(b)

0.

(V.20)

а3Т(а) +

То' {b),a2U (а) +

т '"

(b)

Рис. 40.

Зависимость собственных чи­

сел а 4, соответствующих первой и вто­

рой формам собственных колеоэний, от

коэффициента неоднородности в4 при

решении задачи методом Фурье.

Значения корней уравнения (V.20) при

удерживании в функ­

циях То и ft членов, содержащих \

до 20-й степени,

и при из­

менении

Ь4 в пределах — 10~3 -г- 10!

приведены в виде

графиков

на рис.

40.

Формы свободных колебаний определяются по формуле

X(l) = a0 S(aS) + <p0(tt)

a2 U (а) + (р0 (Ь)

T(ai)

+ Ti № )

aV (а)

<pj(6)

а

(V.21)

тпI 4

<9 Я

(V.22)

Интегрируя

выражение (V.22) п | методу

199,121] и учитывая

два последние

условия (V.18),

получаем

следующее значение

нормирующего множителя:

2

(V.23)

VmXk(\)

_ д2 и

+ %(ь)

Т(аИ)

-Г ?t (b\)

(V.24)

aV (а) т

т1(6)

а

\Е1\ - ^ £ 4 - +

+ с(х)-у (х, t) = р ( х , t).

(V.25)

Р (х, 0 =

2 ? * (*) тш1 Х к (•*)•

(V.26)

к

где qk (t) —- коэффициент разложения, определяемый

по формуле

i

Як (О =

р (х, t) Х к (х) dx.

(V.27)

Р (х, 0 = 2

>прк (0 Х к (X).

(V.29)

к

Смещение также разлагается в ряд по

формам

собственных

колебаний

в виде

у ( * , 0 =

2

м * ) .

(V-30)

к

Подставляя

выражения (V.29)

и (V.30)

в

исходное

дифферен­

циальное уравнение (V.25)

и

принимая

во внимание (V.8), по­

лучаем

2 т Х к (X) [ Тк (t) +

«I Тк {i) -

Рк (0 ] = 0.

(V.31)

Tk(t ) +

(О* Tk (t) — p k (t) = 0.

(V.32)

Интеграл уравнения (V. 32) при нулевых

начальных

условиях

имеет вид

t

Tk (*) = ~

j*/»* С*') sin

— т) rfx.

(V.33)

О

Подставляя выражение

(V. 33) в равенство

(V. 30), выводим об­

ской нагрузки Pk(t)

в следующем виде:

1

У (*, t)=

2 Х к (х) ^ - [ р к (т) sin шк (t - т) dt.

(V.34)

M ( x ,t)

=

\ E l \ d- ^ ± - .

(V.35)

Принимая во внимание (V.30), из формулы (V.35) получаем

М (х, <) =

2

Л** (*) Ти(0,

(V.36)

где

к

д*Хь (х)

(V.37)

M k (x) = [EI

Tk (t) — определяется соотношением (V.33).

Для случая изменения коэффициента

с(х)

по формуле (V.15")

и при принятых граничных условиях форма

колебания имеет вид

(V.21). Тогда формула (V.37) запишется

в виде

M k (t) = -[^ r Л / ( а $ ) + ? > $ ) -

a2U (а) + 9р (Ь)

X

aV (а) + <р\(Ь)

X

(V.38)

l*Mk (?)

a2U{a"c) + <р0

(bz) —

[£/]

- С ( е ) - Ч ( 5 ) * в (&>==°-

(V.40)

X t = /, (sin -f A. cos Хг£ + Д. sh Х^ -f Ct ch Х.£).

(V.42)

j [ * !V(?) -

vj(?) *(?)]

(?) d\ =

0,

(V.43)

6

где i — 1,

2, ..., п.

в (V.43)

и имея

в

виду,

что

функции

Подставляя

(V.41)

(V.42) обладают свойством

Х 1к = ^кХ к •/*, после несложных пре­

образований получаем

систему

уравнений

для

определения не­

известных

коэффициентов Ак :

оо

2 л [ ( 4 - »

у

'

, . +

й »] = °;

<у -44)

1

L4

J

^

=

Rlk^ ^ { i ) X

t X k d^

(V.45)

о

о

W

’

*4(5) =

*4-с(6) = |^ с ( 6 ) .

(V.450

Так как хотя бы один

из

коэффициентов

Ак отличен

от нуляэ

то для нетривиального

решения определитель

системы должен

равняться

нулю:

4=!( 4- )L» + Rn |=°:

(у-46>

здесь i — номер строки,

считая

сверху,

k — номер

столбца, счи­

тая слева. Следует отметить, что интегралы

Lik

и Rlk обладают

свойством

коммутативности, т. е. справедливы равенства Llk= Lk[;

« а = «и-

Как

видно из (V.45), коэффициенты Lik

и R lk посто­

янны для данных граничных условий

и легко

могут

быть вы­

числены путем

интегрирования

в

пределах

приведенной длины

О(

=

\Е1]

(V.47)

т

п

воспользуясь свойством

определителей,

разложим

детерминант

(V. 46)

по элементам первой строки:

2

< - 0 * +' [ ( Ч - “У » + Я м] Ц , = 0,

(V.48)

к =

1

I V

/

j

где i =

1, 2, ...

(V. 44)

имеет бесконечное множе­

Ввиду однородности система

ство решений.

Поэтому,

пользуясь произвольностью

выбора,. от­

■А аи "Ь A

al3 A

alt -f- • • • =

А ап,

(V.49)

где

a i k ~ { ^ n ~ ~ a

)А* +

А *

(г, k =

1, 2 ,...).

Ak = Dk -.Dl (А = 2,

3, ... , л);

(V.50)

здесь

— основной определитель системы i(V.49A

Dk — определители того же порядка, что и

, получаю­

щиеся из

заменой

элементов соответствующих

столбцов свободными членами А1ап.

Нетрудно доказать,

что Dk из (V.50)

можно выразить через

Dik из (V.48). В самом деле,

А = Я „ .

A = ( - 1)ft+1A

Dlk.

(V-51)

Следовательно, вместо ,(V.50) имеем

Ла = ( - 1 ) * +1^ А ( А - 2 , 3,...,« ).

(V.52)

и 11

^(S ) = ^ f L =

5 L 2

(V.53)

1

11

c(S) = 4с(1~ а) (*2~ * 0 -

(V.54)

Рис. 42. Зависимость первой

формы

свободных колебаний балки

от коэффи­

циента неоднородности в1 при отрицательных

(а) (а = 0,5; в* < 0),

положитель­

ных (б) (а =

0,5; в1 > 0) значениях в1 и^в переходный момент (в)

(<*= 1).

Уравнение

форм будет

таким

же,

как и (V.21), а обозначения

имеют вид

= щ \ (ото)2 -

b4 =

J Щ Ас (1 _ *)•

(v -55)

Х\ = Х ."

= '0

при Е= 0

(V.56)

X t = X t

— 0

при X= 1

В качестве

аппроксимирующих

функций

выбираем систему

функций (исходя из физических соображений)

= h [Т ( \ *) + Mt S [ \

5)] (i = 1,

2,...),

(V.57)

где S, Т — функции Крылова.

коэффи­

Ограничиваясь первыми

пятью формами колебаний,

циенты It , \ , mt положим равными:

/, =

2(2 - a) (i = 1,

3,

4,

5),

/ 2 = 2 (2 -

а) (1 - 2$);

т х=

т2=

0,

т3 = — 1,0178,

= -

0,999223,

тй= — 1,0000335;

а, =

Х2 =

0,

Х3 =

4,73, Х4 = 7,853,

Х5 =

10,996.

Значения

параметров заим­

ствованы из [4,17]. Интегралы

Llk остаются без изменения, а

Rlk имеют вид

ного уравнения и вычисление форм собственных

колебаний вы­

полнено на ЭЦВМ М-20. Найденные собственные

числа для

из­

менения коэффициента неоднородности

№ о т— 1000 до +

1000

приведены в виде графиков на рис. 41.

Влияние коэффициентов

Допустим,

j

I

с (£) =

С - У - X +

а-С.

(V.60)

Тогда

расчетную схему

принимаем

так,

как показано на

рис. 45.

Обозначая

а 4

ти>-14 — acl1

А* - g С1-«)/*

’

(V.61)

[Щ

’

~

IBI]

получаем уравнение движения в виде

х 7 - { а А- Ь \ ) Х (5)

= 0.

(V.62)

Интегралы Llk не меняются, a Rlk будут

равны:

R ik=\%Xr X kd'.

(V.63)

о

9-207

129