книги из ГПНТБ / Салтанов, Н. В. Гибкие нити в потоках [монография]

по смещению нити от

оси

у 1 всюду,

кроме слагаемого, пропорциональ­

ного множителю Хп

. В

результате

получим

ния нити от

оси

у 1 .

В некоторых случаях может представиться целесообразным выде­

лить в уравнениях

(Ш.29) равновесное

положение

У2

(Ш.ЗО)

где у * - смещение

нити от оси

у 7 в

равновесии, у2 и у3 ~ компо­

ненты вектора смещения нити из равновесного положения.

Проводя в уравнении (Ш.29)

замену (Ш.ЗО), соответственно, для

величин у 3,

и

у3 получаем

скорости потока и нити мало

по сравнению с ее равновесным значени­

ем

т ,+ уо ъ ) №

* ъ тз )

« 1 -

(ш- 33)

« '■

Тогда в уравнении

(Ш.32)

слагаемое,

пропорциональное величине

, линеаризуется. В результате получаем

m £ Hi +

( dt

+ у — ) у - — If +

J ds J

d t z

о d s ) t

d s [ [

/

+ f

<з4Ус

a->> 4n

d y * l d

d

ds*

— * У —

y0

/

d s

dt

0

ds,

(Ш.34)

* J t

—

-

f ■ = О , i

=2,3.

dy.

r , s

d t

J Vi

=f v3

= о ,

а амплитуды ко­

Положим в уравнениях” (Ш.29)

ш = у 2 =

лебаний достаточно

малыми,

так

что

нелинейным слагаемым

в

уравнении для величины

у 3

можно пренебречь.

В результате

для

у~

имеем

, ,

,

д 'ц J

M f - L . г

* ) ’, * . f i . £ V

m —

(Ш.35)

dt*

( d t

0 d s /

ds *

’ { [ r s ' w l l M L L b .

0.

* // * f

J

ds J

yc

d t .

Сравним уравнение (Ш.35) с уравнением (5 ) из работы /1867.

Положим в уравнении

(5) с

=

ст

и проведем следующие замены:

,У + У

.3

■ У „ .

cTMUf _ „

C2MuZ

(ш.36)

о

•

23

ь

т*

В результате получаем

d 4y i

д !г

+ MI—-+ V„

E l

d t?-

dt

'0 ds

d s 1

= Z

F ,

y ( * - * K

(Ш.37)

ds (l '

У

J dssJ / ygd [|ddtt

0 ds /

Сравнивая уравнения (Ш.37)

и (Ш .35),

ввдим, что они не совпа­

на нормаль к

гибкому цилиндру, в то время

как остальные

члены

это­

го уравнения

представляют собой проекции

соответствующих

сил на

ось у

3 . Отметим, что некорректность близкого происхождения содер­

жится

также в уравнении (16) /1807. Она связана с тем обстоятель­

ством,

что один 'и тот же эффект (сопротивление трения) учтен в

си­

Н и т ь

с

п р о и з в о л ь н о й

с т р е л к о й

п р о г и б а

в

г о р и з о н т а л ь н о м

п о т о к е .

Пусть в

равновесии

нить характеризуется следующими выражениями:

%

+ у 3 Т2 ,

(Ш.38)

T °

= T °(s),

(Ш.39)

где

г0

и

Т -

соответственно

текущий радиус-вектор и натяжение

в равновесии.

Пусть^ далее,

~ =

7g * y 2 (s, t ) T 2

,

(Ш.40)

Т = Т ° + Т \

(Ш.41)

где

у 2 -

малое

смещение нити из равновесного положения, Т 1 - ма­

частности, следующим условиям:

(Ш.43)

№«'■

(111.42)

Подставляя

соотношение (111.40) в уравнение (Ш .1),

с точностью

до слагаемого,

квадратичного по возмущению, имеем

(Ш.44)

Подставим

соотношения

(111.23), (Ш.40) и (Ш.41) в уравнение

(Ш .18). Проводя затем разложение,

приравнивая величины одного по­

рядка малости

и интегрируя

соответственно

в нулевом и первом

приближении по возмущению,.получаем

Т° =

Г

- ш у°

-

(Ш.45)

О

3 о

Ъ у о ‘

' т'=

(111.46)

г ' = °-

(111.47)

Предположим также, что возмущение

нормальной к нити составляю­

Проводя разложение и учитывая соотношения

(111.38), (Ш .39), (Ш .42),

(Ш.44), (111.47) и (Ш .48), соответственно, в

нулевом и первом при­

ближении по величине возмущения получаем

Подставляя выражение (Ш.45) в уравнение (Ш .51),

с

помощью по­

лучившегося уравнения можно определить величины у ’ (s)

и Уд ! s > в

функции текущей длины нити s

. Далее

с помощью выражения (Ш.45)

можно определить равновесное

натяжение

Т °= T ° ( s ) .

Если силами,

в гл.П .

Подставляя величины y ’ is> , у 2 (s)

и T°(s)

в уравнение

(Ш .52),

можно выразить его

коэффициенты в функции

величины

s .

Пусть

величина f vZ

есть

заданная функция величин

s , t

, dy2/d t ,

dy2/d s

и т .д . /13, 4 3 ,

537.

Тогда получаем,

что задача о малых ко­

ния, то вторым слагаемым в выражении для упругой

силы в

(Ш.52) мож­

но пренебречь.

Выше рассмотрен случай,когда вектор малого

в

определенном выше

смысле смещения нити, обладающей произвольной

стрелкой

прогиба,

нити, рассматривались,

в частности, в работе

/187. При этом авто­

ры предприняли попытку

учесть нелинейности,

обусловленные силой

Н и т ь

с

м а л о й

с т р е л к о й

п р о г и б а

в

н а к л о н н о м

п о т о к е .

Пусть соотношение

между

плаву- .

честью

нити,

скоростью потока и натяжением в нити таково,

что

на­

тяжение

в нити практически

постоянно (7" = Т°

=co n st), а характерная

величина стрелки прогиба является малой. Пусть

ось

у 7 проходит

через концы нити. Ось

у 2

выберем таким образом,

чтобы вектор ско­

рости потока

был компланарен плоскости

(

у ’ у 2

) .

При этом угол

между вектором скорости потока и осью

у 1

обозначим через

у>°

, так

что

V е

е

ш созф 0 е

!

+ sin ф ° е

(Ш.54)

о о

о

”

~

2

При сделанных допущениях для текущего радиуса-вектора нити Т

справедливы соотношения (Ш.24)

и (Ш .25).

Подставим выражения

(Ш.24)

и (Ш.54) в уравнение (111.17). Проводя в получившемся соотношении

разложение и

пренебрегая при этом величинами,

квадратичными по

сме­

щению всюду,

кроме слагаемых, пропорциональных величинам

Кп

и

,

получаем следующие уравнения для компонент смещения

у 2 и

у 3

:

д гу

I t 2

+

/ ип° е2-

(/dtд *

C ( i * < £ > / < ■

v2J

'

f

(9 гТг + ЯЗТз ) [ М

ип - - j r h t t i ’ h2>3- (Ш*55)

Здесь использованы обозначения

( I . I I ) ,

а

также

следующие:

U° з

о

V

г ’

U°

=

V sin ф°.

(Ш.56)

т

п

о

г

Можно видеть,

что

полученные уравнения для

величин у 2 и

у 3

ной скорости

потока и нити по сравнению

с ее

равновесным значением,

Т ds

(Ш.57)

то уравнения

(Ш.55)

принимают вид

dt2

dt

т ds j

.

г Г ^ V

= (i-2)w+

ds2

ds 4

+

In s,n Ф

+

-2 <3-i)[r„

(Ш.58)

U i • L*2'3-

Выделим в

полученных выше уравнениях равновесное

положение нити

У*

У02

+ У2 , у 3 - *

у 03

У3 ,

(Ш-59)

где у *

и

у * -

компоненты

вектора

смещения нити от

оси

у 1 в равно­

весии,

ж

у3

-

компоненты

вектора

смещения нити из

равновесного

положения.

Проводя в уравнениях (Ш.55) замену

(Ш .59),

соответственно для

величин

у г , у^,

У2 и

у3

получаем

+

( 3 - i ) a

sindi°+

—

/

7*1 и*.

,

l =

2,3,

(Ш.60)

/

'

у>2 /

п /

П1

'

'

’

'о

т

d*y<

. н ( ± . u ‘ ± ) ’ , . . T‘ f 2 L . [ l S l 2 i

d t2

( d t

f d s j

l

6 s2

d s 4

'

Г ’3 -i) U °-

dt

(3 - i)

r j sin <p°j,

, i =2,3,

(111.61)

n

~u*= u°n 7 - u L

о Ч(Уг0 е2 + У30 %)

— — -

n

Jn c2Z

°T

ds

. Проводя в уравнении (Ш.58) замену

(Ш .59),для

величин

У3

соответственно

имеем

[ M (U ° f-

= а - 2 ) ш +(з -1 ) у з г п ф 0 +

* In lU

lt- j

( з - i) ( u ° - u ° ^ 2 . ) - u °

T i l 1,

t = 2 ,3,

(Ш.63)

Y0

l

I n

*

ds J

*

ds J

-i) sin 2фу ж

r,

U f * * / ' 4 1

dy.

- /

(1D.64)

- Л

= 0 , i = 2,i?.

d t

J

vi

При

уравнения (Ш.63)

и (Ш.64)

несколько

упрощаются. В

частности,

уравнения

(Ш.64)

принимают вид

го dZyL

+ E

l

f

. О, (Ш.65)

( т + М ) А ^ _ T ° ^ L

ds4

Л

di2

ds2

уд

Jri

С л у ч а й

м а л ы х

i - 2 , 3 .

м е ж д у

н и т ь ю

у г л о в

и в е к т о р о м

с и л ы

т я ж е с т и .

Пусть

соотношение

что

г ” =» se~ + и ] Т + у 2е ) ,

(Ш.66)

где

(Ш.67)

Подставим выражения (Ш.23) и .(Ш.66)

в

уравнение (Ш .18). Прене­

брегая в

полученном выражении несущественными

слагаемыми, получаем

Т = Т ^ + ш ( L - s )

,

(Ш.68)

где

Tt -

натяжение на конце нити (при

s

= L

) .

Подставим выражения (Ш .23), (Ш.66)

и (Ш.68) в уравнение (Ш .17).

малости по смещению всюду,

кроме слагаемых, пропорциональных коэф­

фициентам Хп иж Xf

, приходим к следующим уравнениям:

* *

-

(т+М)

д гу 1

____

+

d i2

3

■Cl d s 4

ds ,

d2yl

Ч¥)■Cl

C4yj

(т + М )

dt2 - i

f r

-

d s 4

ЬАк- f(2-i)V-(3 -i)0A

A

1,2 ■

(Ш .71)

°

'

dtj

i

Выделим в

уравнениях

(Ш.69)

равновесное

положение-

У Уд■У« У+, у . У

J2 ’

(Ш.72)

где у ' - смещение

нити от оси

у3 в

равновесии, у1 и у, - компо-

ненты вектора

смещения нити из

равновесного

положения.

нению (Ш .73), а также к

следующим уравнениям:

(т +м )

£ %

_д_

f j

Очи-

d t 2

ds

—-if

ds4

( 3 - i) t q ni-q4 ) dy-

,

(Ш.75)

Yo

d t

4 i

'

'

'

Отметим, что решение уравнения

(Ш.73)

при

E I =

0

в иных обозначе­

ниях рассмотрено в параграфе 4 гл.П .

В уравнения, приведенные в

настоящей главе,

входят величины

/ ., i = I, 2, 3, — компоненты

"боковой" силы, обусловленной срывом

замыкания есть задание

функций f v -

с

использованием теоретических

и экспериментальных данных, например,

в виде

д т* п у Р )

(Ш.76)

dsm d t mJ ’

г , р

= 1 , 2 , 3 ;

т , п = 0 , 1 , . . . .

руем уравнения

(Ш.16) по s

от s ^ - a s

до sk + a s

. Устремляя

затем &s~*0, и

используя

нормировку

(Ш .4),

получаем следующее

условие в точке

нахождения к -го сосредоточенного груза:

Рк

д 1г

tsk +0

= рк тз +

(Ш.78)

I в

* = 1,2,..., N.

Очевидно, в

точках

расположения сосредоточенных грузов должны

0.

(Ш.79)

I

is

, * £ ) /

* *

" в 0

(Ш.80)

d s2J ] s k -o

Условия (Ш.80] есть

условия

непрерывности моментов напряжений в точ­

ках расположения сосредоточенных грузов.

Перейдем к рассмотрению некоторых возможных типов условий на

концах нити. В задаче могут

быть

заданы

смещение и ориентация нити

в коренной

точке:

г /

ds Is* о

(Ш.81)

r ’°{ t

)

и m°( t

/■*•0

где

) - заданные функции своих аргументов.

В случае шарнирного закрепления коренной точки нити вместо вто­

рого условия

(Ш.81)

имеет место следующее:

о

= 0.

(Ш.82)

Условие

(Ш .82) означает равенство

нулю приложенного

к нити в точке

s =

0

изгибающего момента.

Пусть

второй

конец нити

( s = L ) присоединен к телу достаточно

компактной форш,

характеризуемому

эффективной массой

Мк , харак­

терной площадью

St

, весом

в жидкости

/°

и коэффициентом сопро­

тивления

. Условие динамического равновесия сил,

приложенных

к этому

телу,

имеет

ввд

/

j2-*-

K *S *P

и Г

+

'771 '

(Ш.83)