книги из ГПНТБ / Салтанов, Н. В. Гибкие нити в потоках [монография]

a s

m.’ , 2 >

/ “ *

’ 6 , 2 m ^

Щ

+ х з

о,

(П .196)

d

(П .197)

■ f ( f j O + X t f t . r f . f i - 0 .

V

*

+ ? * ,

(П .198)

=

d p j

Ш .199)

d X = <“

Можно видеть, что соотношения

(П .198) и

(П.199) тождественно удо­

влетворяют уравнению (I I .3 ) .Разрешая

систему уравнений

(П .196)

-

(П .199), можно найти величины

i 7” ( £

) ,

( f )

и J ? ( £ ) .

Далее

с

помощью первого

соотношения (П .195)

можно определить величину Т ( { ) .

^ А с и м п т о т и ч е с к и й

м е т о д .

Пусть величины

Х3

и Х^ представим

в виде

h

= хзо ( ^ 6 < Р гР )+ Х з 1

)

Ш.200)

где влияние величин Хз ; is XJ?

на характеристики конфигурации нити

в определенном смысле мало по сравнению

с влиянием величин Я ^ и Х1 д .

В этом случае решение системы уравнений

(П .196)-(П .199)

разыскива­

ем в виде разложений

е-б-в+*г+е2 + - >

(П .201)

РгЪ оРРл+Ъ г*-',

+хзо(%>&о<Pjo ’Ро) = °>

(П .202)

(*>’ 60 ' Рло ’^ о ) ’ 0’

(П .203)

d i f t h * 9! ? » ) * *Л ( Z - C o ’ P n , ’ ? ' , ) *

+^'w)*10

( * ’ бо Ж ? о ^ ° >

(П .207)

& .

*

Ро ■?,

(П .208)

d s

У Ж

dp 1

=

-

(П .209)

— И

М

a

d r

1 7

J

а

Ж ) *37 ( * &о Л о Л )+

'О

^10

j. a

tyo

. j L -

d . ir а

z dff„

* ^

'л2 ' Щ

71

'Л

/rkJл>’

кг/

■щ *

Ш- 2 П >

a'fc

■7Г ,г

(П .212)

Z—A ~ * -------------/ 7T>

* fPo’Pi}

„■*•-«►

^ ' 2 / u ^ J ! ^ l

2Pd P 2 ~

f + p ;

а р i2

(П .213)

к гравитационной

составляющей, для величины Х0

имеет место соот­

ношение

__

%д ~ a ( G ) f n f i * е3 .

(П .214)

место

хд = °.

(П .215)

Подставляя выражение (П .214)

или (П .215) в уравнения для последую­

щих приближений (П .202) - (П .205), (П .206) -

(П .209) и т . д . , можно

дится к последовательному вычислению квадратур.

Рассмотрим для про­

стоты

случай

(П .215).

Решение

системы уравнений

(П .202) -

(П .205)

здесь

тлеет

вид

_

?d =&o ■

'

- *°0 *

(

? - ? * )

, K +

f i a

-

к в) ,

(п ,2 1 6 )

где

ff'fi,

fig ,

ff" ,

„О „

->0

постоянные

интегрирования.

Из уравнения

г;и

и

р

“-

(П .206)

с

учетом выражения

(П .215) получаем

(II. 217)

где

sro

-

t

величины

_

,

/>

и

—

опреде­

J j

постоянная интегрирования,

о,

/и

ляются соотношениями

(П .216).

Из уравнения

(П .207) с

учетом выражения (П .215)

получаем

А

О

J0 •>„

где

( u f -

постоянная интегрирования,

величины

&0 , f i Q, &

, р

ж

.определяются согласно соотношениям Ш.2Т6) и (П.217).

Зная величину р 1

, с

помощью соотношений

(П .208)

и

(П .209)

находим

f

I h + fi

Г

б?. = в ° i

f

о

И fi

Л

(П .219)

1

1

Л

p z

где

<у

и р

-

постоянные

интегрирования,

величины fi Q и

р 1

опре­

деляются

согласно соотношениям (П. 2Т6) и (П. 218).

Таким образом, показано, что в случае

(П .215) отыскание

попра­

вок первого

порядка к

решению

(П .216)

сводится к квадратурам. Да­

лее

исходя из системы уравнений (П .210) -

(П .213) можно убедиться

в том, что отыскание

поправок второго

порядка к

решению (П .216)

также

сводится к квадратурам

и т .д .

К р а е в ы е

у с л о в и я

д л я

п о с л е д у ю щ и х

п р и б л и ж е н и й .

Получение краевых условий для последующих

приближений в рассматриваемом

случае

проиллюстрируем на примере

следующих условий:

, Р / Х, 0 = ° ’ &/ К. 0 = ° -

(П .220)

н.

* ( Р ) / К. } ’

где Ф (р )~ приложенная к

концу нити сосредоточенная сила, являющая­

ся заданной функцией своих аргументов.

При этом в качестве

характерной длины

/

выбрана у 3

-

коорди­

ната концевой точки нити. Используя обозначения

(П .195),

а

также

обозначение

-*

ФЛ

3 (

ф, -

V

,

(П .221)

условия (П .220) преобразуем к

виду

P i/x = o

° ' в/ х - о ~ 0.

Подставим выражения

(П .201) для

,

&

и

f t

в условия

(П .222).

Ф±о1х=о 0 >

^ о /х = 7 ~

(П .223)

=- / S(Ъ о * )]Ь , - ( W b H ?(?ю •

pn h ; * o ~ 0 ' е’! $ = 0 = О.

Г

W /f.r

(fijo •*)]L , fJ

ш ' г 2 4 >

?/r./ '* {[$ 12 • ajsio * 2

7

'

& о ? г + % Ъ * % & / г ~ Г

/ (П .225)

Ч /? п ж * 1 (ъ -ж ,Т ]ъ

■ )

Ф = ф(к) , х= 7 ( с , е,]и) ■

(П .226)

Удовлетворяя

с

помощью выражений (П .216) и (П .217) -

(П .219) усло­

виям (П .223)

и

(П .224),

определяем в явном ввде входящие в указан­

ные выражения постоянные

интегрирования. В результате

решение в ну-

Пусть эффекты, связанные с растяжимостью нити, не существенны.

Тогда имеет

место условие нерастяжимости нити следующего вида:

(Ш.1)

где г и s

г- соответственно текущие радиус-вектор и длина нити.

Силовой

баланс для единицы длины нити представим так:

(Ш.2)

(Ш .З )

где t - время,

Т - натяжение,

m

и w - соответственно

масса и

плавучесть единицы длины нити,

Рл

- вес к -го сосредоточенного

груза, sk - s

- координата к

-го

сосредоточенного груза,

N - чис­

ло сосредоточенных грузов,

L* - характерная длина,

у - ускорение

силы тяжести, ]~е

- распределенная сила, обусловленная упругими

свойствами нити,

- распределенная сила гидродинамического воз­

действия потока на нить, /

- функция Дирака /907,

нормированная

следующим образом:

st *o

нити запишем в виде /52, 77,

1177

т

+

ds

е

=0

(ш .7)

М

- момент

ds

'

где

напряжений в

нити.

Пусть момент

напряжений

М

пропорционален кривизне

нити

в

рассматриваемой точке и направлен

по

бинормали к ней

ds

Os2

.

(Ш.8)

где

£ -

эффективный модуль Юнга нити, I

- момент инерции попереч­

ного

сечения нити относительно диаметра.

Подставляя выражение

(Ш.8)

вектора упругого усилия

в нити

ф ,

находим

Ф = - £ Г ^ + Л ^ ,

(W-9)

А -

е

d s 3

ds

где

произвольный множитель.

Подставляя выражение

(Ш.9) в условие (Ш.6) и учитывая уравне­

ние

(Ш .1),

определяем величину

А

. В результате

получаем

9е = £1

d s [ ds

d s 3J

(ШЛО)

ности,

то из выражения (ШЛО) получается естественное

следствие

9е

= 0

/827.

Таким образом, при сделанных допущениях распределен­

ную силу

/ е

, обусловленную упругими свойствами нити,

определяют

выражения (Ш.5) и (ШЛО).

Проведем детализацию гидродинамической составляющей распреде­

ленной

силы,

действующей

на нить. Представим ее в следующем виде:

J/,~ f a +/ п *i f * f v '

(шли

j

-

/ п -

где

сила инерции^присоединенной массы жидкости,

сила

сопротивления формы, /

- сила сопротивления трения,

-

боко­

вая сила, обусловленная срывом вихрей.

Влияние присоединенной массы жидкости учтем как влияние движу­

где

V

- скорость потока ^жидкости. (Всюду в настоящей главе по­

ток

считается однородным,

V = c o n s t .}

В результате для силы

/

запишем

J 0

йо ) I Й-, ■•//У

} '

1.13)

м -

tfy //(*??

г im

где

присоединенная масса

единицы длины нити.

Выражение (ШЛЗ) для силы, обусловленной инерцией присоединен­

ной массы жидкости, представляет собой определенное обобщение фор­

мулы, рассмотренной в работах /8 0 , 8 1 ,

180, 184,

18§7. Силу /~п при­

сительной

скорости

H r

/ = _ //& £ ? * ? .

(ill.14)

Jn

2

i s

d t / i s J J i s /\ i t J i s j

где Kn -

коэффициент сопротивления формы нити, i - ее диаметр,

ботаны еще

недостаточно /43] . Поэтому

конкретизацию выражения для

величины

целесообразно проводить в

каждом специальном случае

тим, например, работы / 8 , 180,

182, 184, 1867. В работе /1 8 2 7 , в

частности, рассматривается

вопрос

о выборе аппроксимирующего экс­

периментальные данные

выражения для силы, действующей на колеблю­

щийся в жидкости цилиндр (величин

Kn ,

М и т . п . ) .

Подставляя выражения (111.3),

(Ш .5),

(Ш Л О ),(Ш .II)

.1 3 )

11.15) в соотношение

(Ш .2),

приходим к уравнению

1 г р

i t 1

(т дГ\-

a - t J J _

i s !

i s ) ~

m,rip/ ^

dr d3r l )

> + {■ 1

r /j 3

is l i s t~ d s * i s 3] !

LX A*7

Wi

T 3s,

•

dt

Щ

№

. «•*>

Ч

Пусть величина

д

как функция времени,

текущей длины и производ­

ных радиуса-вектора по

t

и s

задана.

Тогда получаем, что систе­

ма четырех нелинейных уравнений в частных производных

(Ш.1)

и

(Ш.17) служит для

определения четырех

величин у 7, у 2 ,

у а и

Т .

(Напомним, что

здесь

величины

у 1, у 2

и

у ч е с т ь

проекции радиуса-

вектора элемента длины нити г

на оси декартовой системы коорди­

н ат). Умножая уравнение

(Ш.17)

скалярно

на единичный вектор каса­

тельной к нити

(

Зг /

ds

)

и делая естественное

допущение о

том,

тяжения вдоль

нити

за счет сил инерции нити, второе - за

счет пла­

вучести

нити

и третье - за счет

гидродинамической силы сопротивле­

ния трения нити.

Введем в рассмотрение скорости текущего элемента нити

v

в

•

( v, ,

v , v3 )

и единичный вектор касательной к нити

m

г

в

(n t j,

тг , т} )

с помощью соотношений

3 7

V ,

(И1.19)

dt

I E

'•

(Ш.20)

ds

~

я - 22)

Система уравнений,

состоящая из соотношения (П .И )

и уравнении

(Ш.19) - (1D.2I),

служит для

определения девяти

величин у 1 , y z, y 3, vJt

,1 $ , Т , ы. и

f .

Она может оказаться более

удобной по сравнению

с системой (Ш.1) и

(Ш .17),

например,

при проведении численных рас­

четов. Уравнение (Ш .22)(или

(Ш .18))

удобно при получении различных

оценок для натяжения. В некоторых случаях

гол удобнее

воспользовать­

ся вместо одной из

компонент уравнения (Ш .21).

Полагая в приведенных выше уравнениях

скорость

Г

= 0 , полу­

чаем соответствующие уравнения для нити,

находящейся в покоящейся

жидкости.

2 .

Некоторые предельные

случаи

С л у ч а й

м а л ы х

у г л о в

м е ж д у

н и т ь ю

ально оговоренных случаев будем считать, что ось

у 7 направлена

ВДОЛЬ потока,

*

*

о Т

(Ш.23)

Пусть углы между нитью и скоростью потока малы,

т .е .

г я se~7 + у2 Т2 v- у3Т3 ,

(Ш.24)

где

« и

(Ш.25)

Пусть также выполнены

следующие неравенства:

(Ш.26)

м

ду3

(Ш.27)

a .

I s V « 7 .