книги из ГПНТБ / Салтанов, Н. В. Гибкие нити в потоках [монография]

С л у ч а й

П.

Пусть конфигурация нити имеет минимум. Тогда

для

S

- координаты точки минимума можно получить выражение

3 7

/

7 [ 1+а_

2гг„ /<*„,/+%

(1 -a . ) J

aZ

•

2яп /

<

*

,

7+a.)J

* /

1 -а .

(ГГ. 134)

=

у !

В

области о

<6 е.6

угол d

определяется

соотношением (П ЛЗО ).

В остальной области для угла

ы.

имеем

Ы *

2■daа {}[/+ * { (7U-&JJе)]а-~--

[JL +'* ^* (U(7-6o-)]>]а~ ‘

Xj {(7+ а_)/'г+я/ (’-&)]

(l-a_)[1+Xf (!-&)] °-J ’

ff £ 6 £ 7.

(П .135)

Таким образом,

в

случае П при

О < е

< ;

соотношения (ПЛЗО) и

(П .135) определяют угол наклона нити к оси

f

по всей длине

нити.

Подставляя соотношения (ПЛЗО)

и

(П .135)

в

выражение

(П .123),

нахо­

дим заглубление

нити

у =

Пусть угол между нитью и осью

f

отрицателен по

всей длине

нити.

В этом случае

- (Па_)[2sen/a</+*f

(7-а_)]J{[ / < * * / +

+ aef

(l+a_)][i+arf

7

О £ S' £ ].

(П .136)

Подставляя выражение

(П .136)

в

выражение

(П .123), можно определить

заглубление нити % = %т .

С л у ч а й

Ш.

Пусть конфигурация нити имеет минимум. Тогда

для

€

- координаты точки минимума и угла

ы.

слева

и справа от

нее

соответственно

получаем выражения

ё- H-L-JLexp f

apf

*2sen / d * li

f

(П .137)

*2

(

d ,d 2 { [ U x / ( 1 - e ) ] y l - [l-^

g - 6 ) ] ^ }

^1[i+^/ ( h S ) ]y^+ d2 p + X j f l - i ? ) ] 1^

(П.138)

О £ в £ в ,

Х у { l n [ l + X y ( 1 - 6 ) ] ~ In[ l + X j ( J - G ) ] ]

2 x n { 2 ln [u ,Ty (r-s)J- ln[7-fXj (?-§)]]

(П .139)

ff

T il.

Подставляя

соотношения (П .138)

и (П .139) в

соотношение

(П .123),

можно определить в рассматриваемом случае

координату ^ (6 )

. При

отрицательных углах между нитью и осью

f

по всей длине

нити вира­

жение для

ы. запишется следующим образом:

* / { ( * / +2*п / ы* / ) 1п[

4 * п / ы* / } ^

2 х п (2xf t (Ху*2хп / d

j )

0 - s ) ] j

'

( П Л 4 0 )

О i 6 i l .

ны с помощью асимптотического метода

в

качестве первого приближения

по параметру со .

П р и м е р ы . Пусть с<#= 0 и

и

- соответственно площадь

тела. Введем

обозначения

'Г = —

1Я KfdL

W

2 w '

(П .141)

0

~ Х п * Р $

В результате,

используя определение

(П .29) для

гу , выражение

(П .125) для d

и определения

(П .126) для

и а

запишем в виде

d - Ы.Ыл

( * , * 1 - 5 )

+ - (т ) ‘

1

(П .142)

—■ --------- -

-1-------

—1 я\

’ 2

d r (Tt

+ 1 - 6 )

+ + d 2 (% ) а+

d

W0

ал г .dy

(П .143)

’ d2~

~ 2 eJ

Величины %(б)

на основе формул

(П .123)

и (П. 142) рассчитывались о

использованием ЦВМ для следующих безразмерных параметров:

Ю3£у = 2 ,6 1 ; 9 ,1 6 ;

10-г , =

0 ,1 9 ;

0 ,3 7 9 ;

0 ,6 6 3 ;

1 ,3 3 ;

3 ,0 3 ;

6 ,0 7 ;

1 0 ,6 ; 21,2;

W3 W0 = 0 ,0 7 3 ; 0 ,1 4 7 ; 0 ,2 1 9 ; 0 ,2 6 ; 0 ,4 4 4 ; 0 ,5 1 8 ; 0 ,7 8 1 ;

1 ,0 4 ; 1 ,5 6 ; 2 ,0 8 ; 3 ,1 2 ; 4 ,1 7 ; 6 ,2 5 ; 8 ,3 3 ; 1 2 ,5 ; 25.

Типичные зависимости

представлены на р и с.1.

Величину ы (б )

с помощью формулы

(П .142)

рассчитывали при следующих значениях

2

_ _ _

3

X

О

0,5

б

Рис Л . Зависимость

заглубления,,нити

от

текущей

длины при

£j

= 2 ,6 1 -1 0 “

,

- 1

,0 6 и

различных

значениях W0

:

£ ” = 3 ,9 2 -К Г 3 ;

Т ,= 0 ,0 5 9 ; 0 ,2 3 6 ; 0 ,9 4 4 ; 3 ,7 7 ; 1 5 ,1 ;

Л ?Ч = 0 ,1 9 7 ; 0 ,6 9 4 ; 2 ,7 8 ; 1 1 ,1 .

•Типичные зависимости

представлены на рис.2 .

dy

.

. .

(П .150)

« sm fi

s/пф ,

jll. _

cos /ь.

(П .151)

d6

Разрешая систему

уравнений

(П .146)

-

(П .148),

можно определить

ве­

личины

fi

)

, <р

(<? )

и

€ { б

) .

Далее

с помощью соотношений

(П .149)-

(П .151)

можно определить величины ц

(<Г ) ,

у

(<Г ) и

J

(<5~

) .

Пусть

имеют место

условие

(П .144),

а

также

следующее

условие:

/О ) /

(П .152)

Тогда исходная система уравнений (П .146)

-

(П .151)

упрощается и

принимает

вид

= ^

СО!ф’

(П .153)

т !

=

( * n * * f )

(П .154)

dff

+

со = О,

(П .155)

PLi

=

л

созф,

(П .156)

dff

J

й

=

f i

sfn *

’

(П .157)

* ±

=

7

(П .158)

d ff

П р и б л и ж е н н о е

р е ш е н и е .

Далее

в настоящем

параграфе принимается

Т *=

Т+ ,

где

L

- длина нити,

Г

-

натяжение на ее конце. Тогда,

интегрируя уравнение

(П .155)

и удо­

влетворяя

третьему из условий

(П .102),

получаем

t

=

и

ь ) ( 7- в ) .

(П .159)

Здесь и далее предполагается,

что при

а с

О

выполняется

/ о / < 1.

Исключим величину б

из

уравнений

(П .153)

и (П .154)

при помощи

соотношения

(П .159) и проинтегрируем получившуюся при этом систему

уравнений с

помощью следующей подстановки:

В результате

получим

ft

(Г

Р

(П .160)

ctg ф =

С° +

Хп *

(П .161)

р° и

OJji ‘

Где

0 °

-

постоянные

интегрирования.

Ф :

Пусть

на

конце нити заданы

углы уз

и

(П.162)

Р/б-i ~ Р* '

~

’

где

уз,

и

д

задапние постоянные.

Исключая из

выражений

(П .160)

и (П .161)

переменную

г

о по­

мощью выражения

(П .159) и удовлетворяя

затем

условиям

СП.1 6 2 ), по­

лучаем

*

А

А~

Sin^cf> + cos fa

+

п

(плез)

н со а-6)

fi*

ctg <j>=

ctg fa

*

Xn + * f

(П .164)

A sin4>* (7 -6).

Подставим выражения

(П .163)

и

(П .164)

в выражения (П .156)

и

(П .157)

и проинтегрируем получившиеся

при этом соотношения, а также

соотно­

шения (П .158).

Удовлетворяя

затем

четвертому, пятому и шестому ус­

ловиям (П .102),

имеем

.

f

- ф . <*,)••

A

sin А

_

1+0)

Г = сг.

(П Л 65)

7

=

I n

—.--------------

СО

1+СО(7’ б )

Таким образом,

основные характеристики конфигурации нити в

явном

ятельство

может иметь

определенные преимущества.

В

случае

плоских

($& = <? =

0) конфигураций нити уравнения

(П .154)

и (П Л 57)

удовлет­

воряются тождественно.

Выражения

(П .159)

для

т

и

(П .165)

для £

не меняются. Для величин

уз и

£

из (П .163)

и

(П .165) получаем

(П .166)

Пусть

sign а

=/,

= уз =

ы

(П .167)

Тогда соотношения (П .166)

принимают вид

А = р ,

f

= j i S .

(П Л 68)

Таким образом, при выполнении условий

(П .167)

нить

располагается

вдоль прямой, составляющей с осью

х

Угол

А

•

Запишем на основе полученного решения для плоского случая ус­

ловия, налагаемые на параметры задачи неравенствами

(П .144) и

Ш .152). С помощью соотношения

(П Л 66) для уз

находим

d 6

[1+ ао (] -& )]2

(П.169)

Пользуясь выражением (П Л 66) для

р

и (П .169) для производной

( dfi

/ а б

) , определяем наибольшие

значения углов уз

,

которые

нить

составляет

с

осью

j

, для

различных соотношений

параметров

р

> ^

и

Условия

(П .144)

и

(П .152)

будут

выполнены на всей

длине нити,

если

они выполняются для

наибольшего

значения угла f i .

Это приводит к

следующим условиям:

f i l

с< Л — — « г

ПРИ

ядпсо=

7, jsf

>f i t

(П.170)

(fl*i , +* x n + *S*A2

,

(fl„ +sen +Xf)

1

VP"

(Б .1 7 1 )

V{

itU as

j)Y«>,

- 1 ----- c o a t e e ) -

-

<<}>

( P , +*n-fX/

J

f «

7,

X f

( p ,

** „ +*-,)

« 7

при

sj'gnti> = -f.

(П .172)

l

7+co

lcol ( it - a )

Отметим,

что

в

случае

(П .170) при выполнении первого

неравенства

■*/

5 . Случай малых углов между нитью и нормалью к плоскости

векторов скорости и силы тяжести

И с х о д н ы е

у р а в н е н и я .

По-прежнему,

считая по­

ток

однородным { х п = деп - const , ж, = sty -

con st ) ,

будем исходить

из

системы уравнений

(П .З ), (П .9) и (П .Ю ). Пусть

также

соотноше­

силами и скоростью потока таковы,

что

угол j

между нитью и осью г>

мал,

“

„ г

„

7

(П .173)

/

“

л

Получим для

этого

случая приближенное

решение

исходной системы

пользуемся

следующим представлением:

т = sinу т 8 Т; v cos^e^ * sinу cos бТ3

,

(П .174)

где в

-

угол между проекцией

вектора т

на плоскость

( ^ , ^ )

и осью % •

Соотношение (П .174)

тождественно удовлетворяет

уравне­

нию (П .З ).

Умножим скалярво левую и правую части уравнения

(П .9)

на вектор

т > * т ) . Используя в получившемся соотношении пред­

ставление

(П .1 7 4 ), записываем уравнение

Т

+ cos^rju cos в / sin 8 ^ + a en (l-s/'n 2j-s/n 28)*]J=

0 .

(П .175)

Проектируя уравнение

(П .9)

на вектор

( Т

* m ) t c

помощью пред­

ставления

(П .174)

получаем

<Гs i n

f ~ = u > sin 9 -cos8 ^ *sen (l-s/n^ s/n2fi/j([{,176)

Свертка уравнения

(П .9)

с

единичным вектором

m

,

определяемым

соотношением

(П .174).приводит

к

уравнению

+ s / n j (X jS/'n 8 + cocos8) = О.

(П .177)

Подставляя

соотношение

(П .174)

в

(П .10)

и используя

затем пер­

вое из определений

(П .8 ),

находим

S

™ T sfn В '

(П .178)

=

(П .179)

Т&

cos? ’

=

(П .180)

4 1

= sinj

cos 8.

Разрешая систему

уравнений

(П .175)

-

(П .177)

можно определить вели­

чины

/ ( 8 ) ,

8

( О

и

Далее

с

помощью соотношений

(П .178) -

(П .180) можно определить

величины

f ( < r ) ,

у

( О

и у ( б ') .

П р и б л и ж е н н о е

р е ш е н и е .

По-прежнему,

в качест­

ве характерного

значения натяжения

Т * примем натяжение

на конце

нити

Т * ,

в

качестве

характерной длины

Lл.~

длину нити

L

. Пусть

далее

имеют место

условие

(П .173),

а .также

следующее

условие:

/ j-(seisin 8 * cocosB)j « /.

(П .181)

Тогда система уравнений (П .175)

-

(П .180)

упрощается

и принимает

вид

'

Г

=

-со C 0 S 8 - ( х п +зе.)

s/n B ,

(П .182)

а в

1

п

/ '

а в

cos 8 ,

(П .183)

V ^ = u s / n e - ( Хп +

(П .184)

d 6

=j

sin8,

(П .185)

4 2

■7,

№ ,186)

c/6

4-1 = rsind.

№ .187).

dS

•

В качестве набора краевых

условий примем третье,

четвертое, пятое

и шестое условия

(П.1 0 2 ),

а

также

следующие условия:

// г»; " 7 * • % » , = в*

(П .188)

где

и

в#

-

заданные постоянные.

Полагая

в f

const

, переходим в уравнениях (П .182) -

(П .187) к

переменной

в

,

интегрируем получившиеся уравнения и удовлетворяем

указанному

вш е

набору краевых

условий. В результате получаем

cos (8* +8+)

т = 7 <7 = 7*

-г„«

cos (в * 8Ф)

Л

cos [8„+8+)

(Г- и

Ц ( в>+8+ ) - * 9 ( в + в + 1

(П .189)

-6=

Г *cos*(в*

* 8+)

, sin ВJ t g

( в + в+)~

Усо2 * (я„ * sc,)2

(

у с о г +(зеп +&f ) 2

и

c o s ( e 'i- e +)

' tg ( в * *

в +'> +

Здесь величина 8+ связана с величинами со, яп

и

следующим обра­

зом:

Из выражений (П .189)

t3

8+

=я ,* яУ

(П .190)

видно, что

решение можно также

выразить в яв­

ном виде через любую из величин

j , 6 , у , f

и

у

. Рассмотрим

особый случай

8 = 6

= const.

(П .191)

Из уравнения (П .183)

получаем

*п

(П .192)

tgB =

Для величин Т и у

по-прежнему

имеют место

первое

и третье вы­

ражения (П .1 8 9 ). Интегрируя с

учетом соотношений

(П .191) и

(П .192)

уравнения (П .182), (П .185) и

(П .187) и удовлетворяя

затем

четвер­

тому и шестому условиям (П .102)

и условиям (П .188),

получаем

l - t S T S ! 0 - ' 1 ' e > - S -

Пусть выполнено условие

1

J

® '193>

sign

(со cos В ) = +1.

Тогда из

первого выражения (П .193)

следует,

что наибольшего

значе­

ния угол

f

достигает при <Г =

0 . Поэтому неравенство (П .173)

будет

выполнено

по

всей длине нити,

если

оно имеет

место при е =

0 . Это

(П .194)

шения неравенство (П .181)

выполнено в силу

неравенства (П .194). В

случае, когда

реализуется

решение

(П .189),

условия,

накладываемые

на параметры

задачи неравенствами

(П .173)

и (П .181)

могут быть за ­

тода в качестве первого приближения по параметрам

а , х п и л». .

В настоящем параграфе, а также в параграфах 1

-4 настоящей гла­

вы для гидродинамической составляющей

распределенной силы было

использовано выражение (П .5 ) . Отметим,

однако, что

изложенные выше

решения в последующих приближениях сведены к квадратурам.

Перейдем в

системе уравнений

(П .1) -

(П .З) к переменной

у 3.и

воспользуемся

затем обозначениями

(П .8)

для величин р , f ,

у ,

, б" и т ,

а также следующими обозначениями: