книги из ГПНТБ / Салтанов, Н. В. Гибкие нити в потоках [монография]

о'Ъ J_ ___

( ? ; c tg % - Y2 ) ,

(П .59)

sin : Y0

dff2

1+ COS2ctg ^

2

+

W

s'n%s/r><*0 1 smdg

2sm<<a

■ COScC,

7

1 ctS % *9*0 Ъ *!*—

Yj -

V2 C0s 90

(П .60)

sm % l

***"%

/

Последовательно интегрируя уравнения нулевого приближения

(П .43) -

(П .4 8 ),

получаем

о '

(П .61)

(П .62)

% =

(П .63)

(П .64)

(П .65)

(П .66)

(П .67)

где

? * ,

(* , у * ,

<<*,■&*,

f g -и

У*

- постоянные интегрирования.

Подставим выражения

(П .61)

-

(П .63) в уравнение

(П .49)

и учтем

в полученном соотношении второе

из

соотношений (П .29). Выполняя

затем интегрирование, записываем

Tj =t* -cod;- %*)*

+ £ Т * /ehi

■eh

r +

(П .68)

T * -

Sin ri

где

постоянная интегрирования.

Подставляя выражения (П .61)

-

(П .63) в выражение

(П .50)

и ин­

тегрируя,

получаем

.

X

ch*i : Ъ - К *

Y ^ 9 *

(П.69)

т*0 sir,у*0

Заметим, что в рассматриваемом примере краевые условия для

попра­

вок к решению второго и т .д . порядков имеют такой

же вид,

как и

краевые условия (П .7 5 ). Исключая с

помощью условий

(П .74)

постоян­

ные интегрирования из соотношений

(П .61) - (П .6 7 ),

решение

в нуле­

вом приближении записываем в виде

Здесь величина У

определяется первым из

соотношений (П .29).

Исключая с помощью условий

(П .74)

и (П .75)

постоянные интегрирова­

ния из выражений (П .68) -

(П .7 0 ),

поправки первого порядка к реше­

нию (П .76) - (П .81)

представим в

виде

(П .83)

(П .84)

sr1 sm -v JfM—г

hc

(П .88)

4

sina> J 1

|s / m / J j

А с и м п т о т и ч е с к и й

м е т о д

в

с л у ч а е

н е о д н о р о д н о й

н и т и .

Рассмотрим неоднородную

(с/ =

= d (s),w = u>(s>) нить,

находящуюся в однородном

( V = У ^

,У0=сол,<•')

потоке. Введем обозначения

со э со((Г) =

’- Xnf t = * nЯ < S>=

Кп *(*)/>У0 4

у К

у у »

с/ s

n

/

Сравнивая систему уравнений

(П .90) -

(П .92)

и (П .15)

-

(П .17) с

системой

(П .18)

-

(П .2 3 ), видим,

что

они аналогичны.

В

силу этого

обстоятельства

при малых параметрах £ j ъ.

55

для системы уравне­

ний (П .90)

-

(П .92)

и

(П .15)

-

(П .17)

может быть развит, например,

асимптотический метод, аналогичный изложенному выше для

системы

уравнений

(П .18)

-

(П .23).

П р и м е р .

Пусть нить находится в

однородном потоке. Пусть

при этом также

=

( я / 2 ) .

Тогда с

помощью полученных выше со­

отношений в

первом приближении по малым параметрам со и

длину

нити

L

,

необходимую для того,

чтобы тело

находилось на горизон­

те £

= f

,

можно представить

в

виде

(3 - ch2 )[ch¥1f-ch(Vg +

¥

4 х „

cfi (Гр ¥ Г ')¥ -2 . s 6 ( r B + r j J +

(П.93)

У [ с * 3 Г < -c * 3

-

6 се.

Величина

VQ

определяется

согласно

соотношения (П .3 9 ).

Для неве­

сомой ( со

-

0)

н т

: из выражения (П .93)

следует

J .

sh

(Г В * Ъ )

sf>

tr, +

x f c a r ,

А.

Y

«S сА(Га +%) - s fifr 0 *r+) + sJ>

Ъ ] .

( П . 9 4 )

Как показано

в

параграфе I

настоящей

главы,

при со = 0 в

случае

ментарных функциях. Оказывается, если провести в точном

решении

разложение

по параметру Ху

и удержать в разложении линейные по

этому параметру слагаемые, то в результате

получим приведенное выше

приближенное решение. С помощью этого

решения для невесомой

ш ли

были вычислены значения величины

/ / у 2

, где у 2 г I *

,

в нуле­

вом и первом порядках по параметру

ж

в

следующих двух

случаях:

1)

х п = 1 ,

Ху = 0 ,1 ,

= я / 4 ;

2)

хп = I ,

Ху = 0 ,0 6 ,

- я / 4 .

Найденные значения величины

L / у 2

сравнивались с соответствующими

зало, что в нулевом порядке по Ху

расхождение

составляет

соответ­

ственно

около 7 и 4%. В

первом порядке по

Ху

расхождение

состав­

ляет менее одного процента в обоих

случаях.

В случае плоских

конфигураций для однородного потока при Ху = 0

решение в первом приближении по параметру

со

получено А.Ф.Попо­

вым /1077. В работе /14/ в случае

плоских конфигураций для

неодно-

'родного

потока при Ху =0

показано,

что решение исходной системы в

первом

приближении по

параметру

со

сводится к квадратурам. Как

можно было видеть, в

настоящем параграфе приближенный метод развит

ной гидродинамической

силы (

ф 0) и геометрии конфигурации нити

(я у Ф 0 ) . Показано, в

частности, что решение в

последующих прибли­

жениях по выбранным малым параметрам сводится

к квадратурам.

3 . Нить с малыми углами

наклона к вектору

скорости потока

И с х о д н ы е

у р а в н е н и я .

Рассмотрим нить в одно­

родном ( х п = яп » const, Sty = Ху = con st )

потоке.

Пусть соотношение

мал,

,

(П .95)

ы.2 « 1 .

Тогда, проводя в уравнениях (П. 12) -

(П .17) разложения по

ос

и

пренебрегая в полупившихся выражениях величинами порядка

ы 2

и вы­

ше, получаем

d t

+

cod sin cf = О,

(П .96)

~№

Т ы

аи +

со c o s у = О,

(П .97)

Г ш ~

* п*

2 -* / ы + м ' п <1’ =0>

(П .98)

СОТ

(П .99)

(П.100)

d ?

=_ Ы COS ср.

сСТ

. .

(П .Ю 1)

d%

7 3 =

°“ / п Г -

/# = Z , Т *

= Т¥ ,

L -

Далее в настоящем параграфе принимается

где

длина нити,

Т¥ - натяжение на ее конце.

В качестве

краевых усло­

вий принимаются следующие:

,а1/т*?л* ’ 'с/ о о ‘ 1,^/т=о^’'>/б-^о~ У/&=о= О,

(П .102)

где <f¥ и

- заданные величины.

П р о с т р а н с т в е н н ы е

к о н ф и г у р а ц и и .

Комбинируя уравнения

(П .97)

и (П .98),

находим

do.

,

хпЫ3 +*f<*‘

Ш .Ю З)

труднительным. Далее рассмотрим следующее уравнение:

^

- Ы

J

со costf

,

(П .104)

df

где Ъ и m - постоянные. В

случаях

( геп ы

) » /

и

( х пы /ае^ )

« /

уравнение (ПЛОЗ) является частным случаем уравнения

(П .104). При

этом соответственно

Ъ =

зеп

, т * 3

и

m -Z

• Проведем

в

уравнении Ш .Ю З) замену х п ы 3 -*■ х п ы ы 2

, где

ы

-

некоторый

эффективный средний угол. Получающееся при этом уравнение также

является частным случаем уравнения

(П .104)

{ Ъ = геп ы

/

(

т - 2

) .

Можно указать и некоторые другие специализации уравнения

(П .104),

представляющие определенный интерес. Уравнение

(П .104) интегрируем,

используя подстановку

ющемуся следствием первого и второго условий (П.1 0 2 ),

получаем

ым

Г

т j <f

d y f

j

(т -7)д(о(# с а с ^ ) т~ (

]

ы *- СОSep

f

«<?'

} г -

п

J

cosm<pr /

(П .105)

V

J

Принимаем

£Oct Sin <f «

1.

(П .106)

Тогда, интегрируя уравнение

(П .96)

и удовлетворяя с

помощью найден­

ного выражения третьему из

условий

(П .102), записываем

т

=

7+

( 7- б ).

(П .107)

Исключая из

уравнения (П .97)

величины Л и

б ' соответственно с по­

мощью выражений

(П .Ю 5)

и

(П .Г 07),

интегрируя получившееся уравне­

ние и удовлетворяя затем условию

г Д ,= ^ =

7,

являющемуся

след­

ствием первого

и третьего условий

(П .1 0 2 ), получаем

х ы ■ COSV

7^

. 7

^

^

: ^

/ ^

(П Л 08)

т = ехр / /- - ----- -

//'

ы

casmtfrl

cos*if"

со

J

)

Интегрируя уравнение

V>ȣ

удовлетворяя

f*

(П .9 9 ),

четвертому условию

(П .102) и пользуясь

затем выражениями

(П .107)

и (П .10В ),

выражаем

величины f

и

<?

через

азимутальный угол

у

1 * * ;

_ i _

exp

'X f* *

cos (Р, '

У

5-

сО

<-!

f

(m -/)b(a<*C O S<f)

V

! i -m

d<f'

г

т

J COSmc f r

cos2<pH

(П .109)

<<(?)

и в ( у )

%

J

Зная величины

,

с

помощью соотношений

(П .100)

и

(П .101),а также

пятого

и шестого

условий

(П .102) находим

у

= [

А ш у

d<f,

(П .110)

Ju

U 7

Y0 tf

f

=

j f

O ts/acf— -

d<f.

(П .Ш )

Здесь величины

и

ету)

определяются соотношениями (П .105) и

(П .1 0 9 ), а величина

у>

-

из

следующего трансцендентного

уравне-

ния:

'

(т-1)Ъ(<*,cos%)

Г dcf'

1-т d<f‘r

а1пП+эеу )

(П .112)

\/9. LL/

COS’"cf'f

C0S2cf>'r

COScf^

случай,

%

'J

/

•

Рассштрим

когда

m =

2 . Из (П .108) получаем

/

Ы * cosv>

7 —^

» .

(П .Н З )

Исключая из

соотношения (П .Н З )

величину

с помощью выражения

ти б\-

h+ ae (/-<?)] - 7

(П Л 14)

(у ^ +

5d^cos %

Исключая

из

соотношения (1T .II6)

угол

у

с

помощью соотношения

(П .114),

выражаем меридиональный угол через

текущую длину нитис5:

ы =

COS (fa

[7+эе^ а - 6 ) ] Щ

2 1

-

Н зе (h б),

1 2

(П .117)

\1+}*9?»+\

Ь«*С05%[

Подставляем

выражения

(П .107), (П .П З )

и

(П .116)

в

соотношения

(П .110)

и (П .Ш )

и выполняем затем интегрирование.

Используя в

полученных выражениях

соотношение (П .114),

находим

cns v*

(

1

1

.ЬФзРу ,

(П .118)

b-Xf

l / r ■ссе, (>-&>] */ !

(l+ s tp * /'1]

■V'

? -

°i„ cos у*

1+ Jfj

b -

(П .П 9)

—

In

7+at

(7-&)

со

V

GJ

*

Ы+ stn <P+- ъ

f

/

,

ЪФ*/

(П .120)

4 b

n + X fiih '1]

Sln Ч>+ -

J £0

,

7/

3Pf

Г =

зё,

(П .121)

---------------£- In

* /

т = 2

Таким образом,

при сделанных допущениях в

случае

все

физи­

ческие

величины

(

у

, *

, г , f

, у

и f

) в явном виде выражены через

текущую длину нити

6 .

П л о с к и е

к о н ф и г у р а ц и и .

При

у = j

уравнение

(П .97)

удовлетворяется тождественно.

Полагая выполненным неравен­

ство (П .106), интегрируем уравнение

(П .9 6 ).

В результате

получаем

соотношение

(П .107). Для величины f

по-прежнему остается справед­

ливым первое

из

соотношений

(П .109).

Из соотношения (П.ЮО)

при

у= ^

следует

const .

С учетом выражения (П .Ю 7) уравнение

(П .108)

в

рассматриваемом случае запишем в виде

etoc

d S

(П.122)

Заметим, что уравнение (П .122) записано таким образом, чтобы

вклю­

чить в рассмотрение также и случай отрицательных

углов

ы .

Разре­

шая уравнение (П .122), можно определить величину

d

б ) ,

Далее

с помощью уравнения (П .101) можно^определить

X = j < * ( 6 ) d 6 .

(П .123)

о

возможных

При интегрировании уравнения (П .122) возникает несколько

шая общности) будем рассматривать только случай

со >0

. Действи­

тельно,

как

видно из уравнения (П .122),

случай

со < 0

заменойы.-*■(-<*.)

сводится

к

случаю

со

> о .

Пусть меридиональный угол на конце

нити удовлетворяет условию

л ,

>, О

.И з физических

соображений ясно,

что

тогда по всей

дли­

не нити так же выполнено неравенство

z-О .

Уравнение

(П .122) в

этом случае

принимает

вид

a s

сСЫ

(П .124)

*ае,а- со

; -с *

( 7-& )

/

(П .124)

и удовлетворяя с

помощью полученного

Интегрируя уравнение

решения второму условию

(П .102), ПОЛполуЧЕчаем

ы2

ы,

(<*, - < * J

ы =

*,

(<*2

0&G&1,

(d.y + d ,) [ l +cef ( 1 - в ) ]

+ * 2

- 0 <

(П .125)

эе, + Y & y+4co#n

2со

Ы} ш

2*»

'й=— — 7 = ^ = = = - '

(П .126)

+

+4сооеп

а+ в j / 1-с

.

Из выражения (П .125)

следует,

что

если

а.у < ^

,

то и d

< «к

;

если же

d у > а.2

, то

и

ы

> ы2 .

При

= d'2 из

(П .125)

получаем

«<

=е^ .

Таким образом,

при а. у=

угол наклона нити к оси постоянен

по всей длине нити. Дифференцируя соотношение

(П .125),

нетрудно

убедиться в

том,

что

при <<у < <<2 имеет

место неравенство d d /d () <О,

а

при

><а2 - неравенство

d d / a е

> 0

. Заметим, что согласно

уравнению (П .122)

при

d

< о

всегда

имеет

место

условие

. d d / а б

<0.

Пусть меридиональный угол на конце нити отрицателен, асу

< о .

конца)

углы d отрицательны. Для отрицательных углов ы. уравнение

(П .122)

перепишем следующим образом:

d I * /

d ff

sen / d l 2+iejlo4-MO

(П.127)

7+sej(T-6)

I

А . >0,

/7.

а

< 0 , т . д

-

о ,

*

„

.

,

.г

(П .128)

йо s

4шжп ~ ( ж/ ) ■

С л у я

а

й I .

Пусть существует

такое

6

,

удовлетворяющее

условию

о <

в

< J

,

что

* / в =

ё = 0 -

(П .129)

Тогда слева

от

точки 6 = 6

углы

о.

положительны,

справа -

отрица­

тельны. Удовлетворяя с помощью решения уравнения

(П .122)

условию

(П .129),

имеем

с1,ыг {

[ xf

a - ff ) ] t’ ~>- [ l+ Z j 0 - 6 ) ] ° * }

= <*7[ изе^а-б)]** +d2[i+st/ (i-e)]a+

О i

ff £

6 .

(П .130)

Здесь величины

<*г

,

и

а+

определяются из

соотношений

(П .126).

Интегрируя уравнение

(П .127)

и удовлетворяя

затем

условию

(П .129),

находим

Ы= ~

уГд^

arctg -f— +

- 1—2. tg

2 хп

2 я п

I

*

} %

У 'Ц

1+ эе,(1-6)

, ff

£ 6 i J .

(П .131)

------ In -------2--------

2Xj.

1+Xj (1 -6)J

Удовлетворяя

с

помощью выражения

(П .131)

второму условию

(П .102) и

разрешая получившееся соотношение

относительно

в

, записываем

,

1 г

[ 2 * , /

. 2х п /<х*1+эе,

эе,

в =;Т

-7 4

^vr0 1r t9~v^-arct9yk)]-

(П .132)

Таким образом,

в

случае I

при 0 < б < 1

соотношения (П .130)

и (П .131)

определяют угол наклона нити к оси

f

по всей длине нити.

Подстав­

ляя выражения (ПЛЗО)

и (П .131)

в

выражение

(П .123), можно опреде­

лить координату

f

= ^

(&) .

Пусть углы

ы.

между нитью и осью

£

отрицательны по

всей дли­

не нити. Удовлетворяя в этом

случае

с помощью решения уравнения

(П.127)

второму условию (П .102), находим

2 хеп 2* жп I(

,j -0

2f f

In [ l+ S j(l-ff)] j,

0 £ S&l.

(П .133)

Здесь величина

определяется

согласно

соотношения (П .128). Под­

a j0

ставляя выражение

(П .133)

в выражение

(П .1 2 3 ),

можно определить

заглубление нити

X = X

•