книги из ГПНТБ / Салтанов, Н. В. Гибкие нити в потоках [монография]

Н и т ь

в

а к с и а л ь н о - с и м м е т р и ч н о м

п о л е .

Пусть

однородная

( эе = ж °

=

const )

нить находится в ак­

сиально-симметричном поле

I / ■= U ( г )

,

где

г

-

расстояние

до

оси

симметрии. В цилиндрической системе координат

(

г

, у

,

у 3 )

уравне­

ние Гамильтона-Якоби

(1 .5 4 )

запишем так:

ну.I f a s у

as у

a s ^ „ о У ( г ) .

(1 .2 4 3 )

O r)

;

( dtp) +тдуъ)

ds

0

Полный интеграл уравнения

(1 .2 4 3 ) отыскиваем

в

ввде

$=Sg +c,f l Y + c3 y i + T 0s + S i l (T),

(1 .2 4 4 )

где

Sg ,

Су ,

с3

и Г ° -

постоянные.

Подставляя выражение

(1 .2 4 4 )

в уравнение

(1 .2 4 3 ),

разрешая по­

лучившееся соотношение относительно

производной

(

dSf

/ d r

)

и про­

водя затем

интегрирование,

находим

S ^ s l + j Q d r ,

Q = ^ f(T °+ x°

и ? *

'

(1 .2 4 5 )

Общий интеграл канонической системы уравнений

(1 .3 4 )

и

(1 .3 5 ) ,

со­

ответствующий полному интегралу

(1 .2 4 4 ) и

(1 .2 4 5 )

уравнения Гамиль­

тона-Якоби

(1 .2 4 3 ),

а также

соотношение для натяжения

Г

имеют

сле­

дующий вид:

(Т ° +ae°U )dr

(1 .2 4 6 )

Pr = ± Q ,

T= T ° + * ° u ,

где

у 0 ,

у 03 и s ° - произвольные

постоянные.

Отметим, что если нить

находится в поле центральных сил,

и ~

и (г)

,

где

г - расстояние до центра, то

аналогичным способом

можно получить решение Жуковского /51/.

Н и т ь

с

т о к о м

в

п о с т о я н н о м

м а г н и т ­

н о м

п о л е .

Рассмотрим равновесие в постоянном магнитном по­

ле Н0 нерастяжимой нити,

по которой протекает ток

силою

10 .

Рас­

смотрение проведем в декартовой системе координат

{ у 1 ,

у 2 , у 3 ) ,

причем

ось

у 3

направим вдоль магнитного поля.

Векторный магнитный

потенциал

а

,

соответствующий постоянному полю М0

,

выберем та­

ким:

^

й = Уи0 и0 У, е 2>

(1 .2 4 7 )

где

е2

-

единичный вектор

вдоль оси

у 2 ,

-

магнитная постоянная.

Используя

соотношения

(1 .2 4 7 ),

(1 .7 )

и (1 .5 4 ) ,

уравнение

Гамильтона-Якоби для равйовесия нити с током I

в постоянном маг-

нитном поле °Н0

запишем в

ввде

d s

(1 .2 4 8 )

ds

Полный интеграл

уравнения

(1 .2 4 8 )

тлеет

вид

S = S0 + T°s + ol2 y z л d3 у 3 ±

(T °)2- ^

- ( ?

0 i 0 H0 y

i - V

2 * У 7 ,

(1 .2 4 9 )

где

величины

S0 , Т°,

d2

н

СУТЬ постоянные

интегрирования. Под­

ставляя соотношения ( 1 .7 ) ,

( 1 .5 0 ) ,

(1 .2 4 7 )

и (1 .2 4 9 )

в

уравнение

(1 .3 3 ),

определим натяжение

Т = Т ° .

(1 .2 5 0 )

Идентифицируя постоянные

с

постоянными

Т°

,

d2 и d3

, с помощью

соотношений (1 .2 0 8 )

и

(1 .2 4 9 )

выразим величины

у 1 ,

у 1

и

у 3 через

текущую длину нити

s

.

Проведя затем

надлежащее

переобозначение

произвольных постоянных,

запишем

у ’ щ у 01 + s in i - s i n

(< f° + k s )

,

( 1 . 251)

у 3 =

у 02- s m ®

cos ( у>° ■/Its),

(1 .2 5 2 )

у 3 =

у 03•/

cos 8 ° s ,

(1 .2 5 3 )

к

s -

fio

Ip

H0

(1 .2 5 4 )

где у 01,

у 02, у 03,

8 °

у 0 -

T°

'

и

произвольные

постоянные.

Таким образом, конфигурация нити в рассматриваемом случае пред­

ставляет собой винтовую линию. Удовлетворим о" помощью решения

(1 .251)

-

(1 .2 5 3 ) следующим условиям:

s= О , у ’= у 2=у3* 0 ,

s = L , y r=c}

, у г=с2 , у 3 -

Cj ,

(1 .2 5 5 )

где

L

-

длина нити.

Выразим с

помощью соотношений ( I .2 5 I ) -

(1 .2 5 3 )

и условий

(1 .2 5 5 )

при s

-

0 постоянные у ° \

у 02 и у 03

через

постоянные 6 ° , у 0

и Ъ . Подставляя получившиеся при этом соотношения в выражения

(1 .2 5 1 )

-

(1 .2 5 3 ),

находим

у 7 а

^ s,n (<f°* b s)-sin < f°J,

(Т .256)

у г = lllLM l£

cos q>°- COS (

+

,

(1 .2 5 7 )

у 3 =

cos

8 ° s .

(1 .2 5 8 )

Г л а в а

П

АСИШТОТИЧБХЖИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ

КОНФИГУРАЦИЙ ГИБКИХ НИТЕЙ В ПОТОКАХ

I . Обобщение решения Крылова на случай

неоднородного потока

И с х о д н ы е

у р а в н е н и я .

В настоящей

главе рас­

смотрение проводится в декартовой системе координат (

У \у2, у 3 ),

причем ось у 3 направлена вдоль вектора силы тяжести.

Исходную сис­

использования

удобно записать

в виде

( т

+ 7 ( т< ™ > = о ,

(П .1)

d r

(П .2)

ds

“ m '

m 2 ^ 7,

Ш .З)

тг* у ' е 1+Уг^2'," 7 % t

(П .4)

где

т -

единичный вектор

касательной

к

нити,

~el

, Т2 и ё3 ~ орты

в направлении осей

у 1 , у 2

и у 3 , f

( 5

, г , я )

-

распределенная

сила в расчете на единицу длины.

Величина

/ ( s

, Т ,in )

считается

заданной функцией своих аргу­

ментов. В

случае, когда нить находится в потоке,

явная зависимость

силы

/

от

у

может быть обусловлена переменностью по длине линей­

ной плотности,

а также диаметра нити;

зависимость

от г - перемен­

ностью в пространстве скорости потока

У и т .д .

За исключением

специально

оговоренных случаев в настоящей главе

примем, что нить

однородная

( d

= con st, <е = const,

w - con st),

а для

силы гидродинамичес­

кого воздействия потока

на нить справедлива уже использованная в

гл .1 (см.

формулу (1 .8 )

г л .1 ) обобщенная аппроксимация Попова-Крн-

лова /4 1 ,

74, 107, 1907

. Для дальнейшего использования ее удобно

записать в

вш е

,

(П.5)

определяемую третьим из соотношений

(1 .8 ) г л .1 . Подставляя это

со­

отношение в выражение

(П .5 ), используя определения (1 .8 ) гл .1

для

qn и

и полагая для

простоты sign

У iy -Ъ =/, получаем

у1

у г

V3

с-

s

Р

L*

- ? * j

’ ^ 7 ’ г

’ Л Т ’

(П .8)

~ f L*

L#

,

L*

= —

= £ fr\rz ‘in *’*

ж

=S>

/7 )=

j *

J

y

r = 7> ,x n

Y *

j

f

'

цце Lx и T" - характерные

значения длины и натяжения.

В результате

уравнения

(П .7) и

(П .2)

запишем в

виде:

(T m ) + G>e3 + X j? 1 +эёп jin х (е 7 > т )/т * ( t j <т) = 0,

(П .9)

2С£ = £ .

(П .10)

семи уравнений (П .З ),

(П .9)

и (П .10)

служит для определения семи

величин

Ц ,

у

,

% , щ , ”>г ,

т3 ъ

Т

в функции текущей длины ни­

ти & .

Далее

используем следующее

представление для

единичного

вектора касательной к

нити:

т = c o s d в] ssindcoscfe^

+ s/n d sin cfe3 ,

(П .11)

где d

и у

-

соответственно

меридиональный и азимутальный углы.

Заметим,

что

соотношение

(П .11) тождественно удовлетворяет

уравнению (П .З ).

Умножая скалярно

(П .9)

на вектор касательной к

нити in

, с

использованием представления

(П .11)

получаем

д'т

_

(П .12)

+ X j COSd -i- СО S in d sin Cf = О .

Умножая скалярно

уравнение (П .9)

на вектор

(

е1 *

т

) и учитывая

соотношение

(П .1 1 ), находим

т s in d

-JZ v со co sy - О.

(П .13)

а б

т

т )

Свертка уравнения

(П .19)

с вектором

*

приводит к

уравнению

doC

^

„

^ ^ ^

Т —-- Хп sin ‘d - X ^sind + СОCOS d S in y =О.

Подставляя первое из определений

(П .8) и выражение

(П .П ) в

уравнение (П ЛО ),

получаем

Pasрешая систему трех уравнений

(П .18) -

(П .2 0 ),

можно определить

значения

т ,

у

и а.

в функции величины

t

. Зная d ( £

) и у ( %),

с помощью соотношений

(П .21)

- (П .23) можно определить величины

| ( £ ) .

( ? г ) и ^ ( ^ ) .

И н т е г р а л

д л я

н а т я ж е н и я .

Пусть поток одно­

родный, V (у 1) = У0 = co n st. Тогда

к ,

= «а?. =

^

= con st

х

=

т.*

= c o n s t .

(П .24)

f

f ~

у *

1 П П

Здесь величины

q

и

qn определяются соотношениями

( I . I I ) .

Подста­

вим выражение

(П .21)

и первое

выражение из

(П .24)

в

уравнение (П .18)

за характерное значение натяжения натяжение в

точке

(

f ,

, ^ ),

запишем

'г = 1+яу:

■

(П .25)

Интеграл для натяжения (П .25) может,

в частности, быть полезным

при проведении

оценочных расчетов. В случаях

со

ф 0 ,

зе^ = 0

и

со - 0 , Ху. Ф 0

он переходит в известные /41,

72 ,

74/.

О б о б щ е н и е

р е ш е н и я

К р ы л о в а .

Пусть

нить

обладает

нулевой плавучестью,

= 0.

(П .26)

Покажем,

что в

этом

случае система уравнений

(П .18)

-

(П .23)

инте­

<?* 9 ,-

(П .28)

I

х п * Х ,

е ” в . х ,

я к .

(П .29)

/

2 х .

Тогда, подставляя соотношения

(П .26) и

(П .28) в

уравнения (П .18)

и (П .20) и используя

затем обозначения

(П .2 9 ),

соответственно за ­

пишем

a'LЛ я

_ „

ccqct

Ш.ЗО)

d f

/

sin f t

d d

2 e "

+ sind-

(П.31)

d p

Sin </>

Разделим левую и правую части уравнений Ш.ЗО)

и (П .31)

друг на

друга, проинтегрируем получившееся при этом уравнение

и удовлетво­

рим затем условию

^ /

_

= г,

которое является следствием четвертого и шестого условий (I1 .2 7 ).

В результате, полагая

0 ,

находим^

~ _

/ *

jL ££-

Sind.

(П .32)

i £

п

1+

S i n d „

Подставим выражение

(П .32)

в

уравнение

(П .3 1 ).

Интегрируя по­

лучившееся при. этом уравнение

и удовлетворяя затем

шестому условию

(П.-27), записываем

2 s

* 9 j = е*Р/

( Г - г „ )

,

(П.ЗЗ)

sm <f

sin р . In tg -jf-

(П .34)

'1 *

7 +

2 £ ”

s in ж#

выражаем натяжение т

Подставляя соотношение (П .ЗЗ)

в

(П .3 2 ),

через координату т, :

- - ■2е'

1+ 2 £ ? c/t f —

sLnh

J

т =

/

/

s/n (/>«

Ш .35)

Sind#

Подставим выражения

(П .28)

и

(П.ЗЗ) в уравнения (П .21) - (П .23)

?

Г 1+ l^t-

- 4- / sh

-

< * - * * * ' ,f ' r ,

(П .36)

s m ^

l

s,n9*

J

7 = S

c t g v * ,

(П .37)

1+

P s77

6 = .

7

Ch

S/nd.0.

soup

Sin <Pf

(П .38)

Решение (П .28) и (П.ЗЗ)

-

(П .38) представляет

собой обобщение точ­