книги из ГПНТБ / Салтанов, Н. В. Гибкие нити в потоках [монография]

Используя определения ( 1 . 159)

и

( I .I 6 2 )

соответственно для

и

F .

, можно убедиться

в

том,

что имеет место равенство

64)

*,да?

a*x*

r

axi_

ax™

a x ^ ~

"ik du*

du^du* l'mp d u *

d u d

du * <*,p0 ’

Г

J

,(i 0

да

gB*u

dafi00

( I . 165)

_

du P

du >*

du*-,

•U-

где

Тл

g - символы Кристоффеля для поверхности.

Подставим соотноше­

ния

( I .J 6 4 )

в

уравнение

( I .I 6 3 )

и введем

в

рассмотрение

новые

вели­

чины

Г ^

,

связанные

с

величинами

Гы</ар

следующим образом:

t

t

j r

* =

r

л

•

C I.I6 6 )

В результате

получим

dfi

fti>

<X,/U0

.

[ * . ( £ « * ) ,

Z

Г *

i

'

i

1

Q^-0.

( I . 167)

Подставляя соотношения

( I .I 5 7 )

/

°

и пользуясь

затем

в уравнение

(1 .3 )

определением

( I . I 5 9 ) ,

находим

и

а

2

а ^А й й

•

( 1 .1 6 8 )

Таким образом, задача равновесия неоднородной

растяжимой нити на

поверхности,заданной

по

Гауссу ,

сведена

к

системе

уравнений

( I .I 6 7 ) и

( I . I 6 8 ) .

Эта система служит для

определения величин

и 1 ,

и 2 %

Т .

В

случае

нерастяжимой

( г

=

I

,

I

=

s

,

х0 = х )

нити урав­

нения

( I .I 6 7 )

и ( I .1 6 8 )

принимают несколько

более простой ввд

^

/

1

( г й ^ + тг^

<1Л69)

ъ ^

А ■ 1.

( I .I 7 0 )

Пусть для

силы

Г.

имеет

место

соотношение

( 1 .6 ) . Подставим

выражение (1 .6 ) в определение

( I .1 6 0 )

для

,

преобразуем полу­

чившееся

соотношение

с

помощью выражений

( I .I 5 7 )

и введем следующее

определение:

V

-

d u *

'

(X .1 7 1 )

В результате

получим

. 1__

dU

( 1 . 172).

^ ” диА-л

эе0(l) (

диы

du ■/3/

Заметим, что

соотношения

( I . I 6 7 ) ,

( I .I 6 8 ) и (1 .1 7 2 ) по виду анало­

гичны соотношениям ( 1 .2 ) ,

(1 .3 )и

( 1 .6 ) .

Поэтому дальнейшее изложе­

где Sn4

( I

Т , иы ) -

произвольная функция своих аргументов.

Подынтегральной функции

( I .I 7 4 ) и

( I .I 7 5 )

соответствует

пространст­

во искомых функций

и * ж

7 . Можно убедиться в

том, что

уравнения

Эйлера -

Лагранжа,

получающиеся при экстремизации действия

( I .I 7 3 ) ,

( I .I 7 4 ) ,

совпадают

с уравнениями

(1 .1 6 7 )

и

(1 .1 6 8 ),

где

обоб­

щенная сила ^'определена

согласно

соотношения

( 1 . 1 7 2 ) .Условие на

[ [ -

+

~

* т +

[ ( Е

дТ

t(2)

■0.

м / у / и)

( 1 .176)

Л и краевое

В случае нерастяжимой нити выражение

( I .I 7 5 ) для

условие ( I . I 7 6 ) несколько упрощаются:

йый-°)-яе(s) U(s, г/°у+ ^

- ( I .1 7 7 )

Гаы * * * Ь

dS , i ) du^-h

dT

dT t

+ du*J

К'

(2)

(I .I 7 B )

К а н о н и ч е с к и е

у р а в Х)*н е Ин и я .

При получении

■( ^xU - Т +

; J j

a )

d s

канонических уравнений

равновесия нити на поверхности, заданной по

Гауссу, будем исходить из лагранжиана

А0 , определяемого соотно­

шением ( I . I 7 5 ) . С его помощью для импульса

Пл ,

сопряженного

координате

и

, находим

Л - 1 7 9 >

Разрешая

соотношение

( I .1 7 9 ) относительно

й * ,

имеем

аСй

а *А (Ч>'6 - П Л ,

( 1 .180)

-

t

^

/

где a J

контравариантшй метрический

тензор поверхности.Далее,

поскольку лагранжиан

A Q не зависит от

величины

Т ,

соответствую­

щий канонический импульс

равен нулю,

пт-о.

( I .181)

Функция Гамильтона

Нл ,

со ответ'ствующая лагранжиану

Ад , такова:

"л t u , - *

■'>«> -% ‘ V f ^

- If i ) ( y

lr ) -

- j

J e

! - ~

( 1 . 182)

нл =~2Г afir( nfi~rf i ) ( Y f7y b

X(S>U(S'

■ (1Л83)

Соответствующую гамильтониану ( I .I 8 2 ) систему канонических уравне­

ний составляют уравнение ( I .1 8 0 ), а также

следующие уравнения:

■ ( * - * * ) ] - * & ■

,

( 1 1 8 5 )

а АГ <ПА -Г л )(П г -Уг ) - Т г .

‘В случае нерастяжимой нити, исключая с помощью уравнения

( I .I 8 5 )

натяжение Т из

уравнений

( I .1 8 0 )

и ( I . I 8 4 ) ,

запишем уравнения

. *

а Л А ( Г А -П р )

( I .I 8 6 )

)fa * r ( n f i - r fi )(n r - r r )

’

иг

-

П

п у !>

-------г

д М

* Ъ +

У а " ( П г Ъ ) ( П ,- Г ?) [

d u *

(1 .1 8 7 )

В а р и а ц и о н н ы е

ПЛп~*°р и н ц и п ы

д л я

к а н о ­

dU

du°

н и ч е с к и х

у р а в н е н и й .

Рассмотрим функционал

■/

A oil,

( I .I 8 8 )

J (7)

ил , Пл )

d S „ 4 ( l, T,

( I . 189)

Л = Ло '

7 i

WMi)

d r -

x n U ,

( I . 190)

где

( l

,

T , u ci,p aC ) -

произвольная функция своих

аргументов.

Подынтегральной функции ( I .I 8 9 )

и

( I .1 9 0 )

соответствует

пространст­

во искомых функций

Т ,

и *

и

/7^

. Непосредственной проверкой нетруд­

но убедиться в

том, что уравнения

Эйлера-Лагранжа,

получающиеся

при экстремизации действия

( I .I 8 8 )

-

( I . I 9 0 ) ,

тождественны канони­

ческим уравнениям равновесия нити на поверхности

( I . I 8 0 ) ,

( I .I 8 4 )

и ( I . I 8 5 ) .

Условие

на краях

интервала интегрирования,

получающееся

при экстремизации функционала

( I .I 8 8 )

-

( I . I 9 0 ) ,

имеет

ввд

дз~л ' duu-

дТ

dT -

^

* ± $ П а +

£dT - se„U-

1(2)

if!

О.

( I . I 9 I )

0

О)

В случае нерастяжимой нити,

исключая из выражения

( I .I 9 0 ) на­

тяжение

Т

с помошыо уравнения ( I . I 8 5 ) ,

находим

Л0 = A t ( s ,

и *, йы, лы ) ш u f l nfi +

*

} [ * * * ( n f i ~ ¥A) ( nr

-rf )

' x U -

( 1 . 192)

Далее нетрудно убедиться В том,

что

уравнения

( I .1 8 6 )

и

( I .I 8 7 )

суть уравнения Эйлера-Лагранжа,

получающиеся при экстремизации

следующего функционала:

(г)

S = j

At ( s , u u,H ci ,П Л)

da ,

( 1 . 193)

где

лагранжиан

А + ( s

, J ”, й ы, /7..)

определяется

соотношением

( I . I 9 2 ) .

У р а в н е н и е

Г а м и л ь т о н а - Я к о б и .

При полу­

чении характеристического уравнения для равновесия неоднородной

растяжимой нити на поверхности,

заданной по Гауосу, будем исходить

из

следующего функционала:

S = f

[ n fl i fidA О, T ,u * ,/ ? J J d l .

(1 .1 9 4 )

Здесь гамильтониан

Ил

определяется

согласно

соотношению

( I . I 8 2 ) .

С помощью цепочки рассуждений

и выкладок,

аналогично проведенной

при получении уравнения

(1 .5 2 )

и

(1 .5 3 )

на основе

функционала

(1 .4 5 ),

в рассматриваемом случае

приходим к следующему характери-

стическому уравнению:

dS

/ £ (1,Т )Р Г =

d l * x 0 ( O i / n . u * ) ,

( I .1 9 5 )

г ’ / " 7 ^

- ^ ) ( т

~ г - гг }

(1Л96>

Т е о р е м а

Я к о б и ,

формулируем теорему Якоби примени­

тельно

к уравнениям

( I . I 9 5 ) ,

( I .I 9 6 )

и системе канонических уравне­

ний ( I .1 8 0 ),

( I .184)

и ( I . I 8 5 ) .

Пусть

S - S g +ST ( I .U *

Роы ) ,

( I .I 9 7 )

где

величины

S0

и Р0 л { ы.

=

1 ,2 )

суть

произвольные

постоянные,

представляет собой полный интеграл уравнений

( I .195) и ( I .1 9 6 ) .

Пусть далее

отличен от нуля гессиан

*диЗр„

^ * ° ■

( I .I 9 8 )

о/з

( I . I 8 0 ) ,

( I .I 8 4 )

Тогда общее решение системы канонических уравнений

и ( I .I 8 5 )

определяется соотношенияш

dSj ( I , i/fi,

Роа]_ = х 6*

(1 .1 9 9 ) '

dSj И , U■а, Pgfi)

( 1 . 200)

Pu°

ыа

pst а , о

^

) [ as, а , и f a

'о?

( I .2 0 I )

Ри°

рц '

- ь

К0 ( d

где

=

I ,

2)

- произвольные постоянные.

С л у ч а й

о д н о р о д н о й

н и т и .

Пусть лагранжиан

А0

,

определяемый соотношением

( I . I 7 5 ) ,

явным образом не зависит

от

i

,

£ =

£

(

Т ) , ге0

= a c° =

con st

, U =

U ( иы ) . В силу выра­

жения

( I .I 8 2 )

гамильтониан

тогда также явным образом не

зависит

от

I .

В

этом

случае

полный интеграл уравнений (1 .1 9 5 ), ( I .I 9 6 )

ищем в в о д е

<* -

г

?

( 1 . 202)

S ~

T

где

/

-

произвольная постоянная,

соответствующая интегралу для

натяжения системы канонических уравнений

( I .1 8 0 ),

( I .I 8 4 ) и

( I .1 8 5 ),

Подставляя выражение (1 .2 0 2 )

в

уравнения

( I . I 9 5 ) и (1 .1 9 6 ),

полу-

чаем

I

6(Т ) РТ « Т 01+я°о и (и ы) ,

(1 .2 0 3 )

(1 .2 0 4 )

5 .

Примеры

Р а в н о в е с и е

н и т и

в

н е о д н о р о д н о м

п о т о к е

ж и д к о с т и .

Рассмотрим пример отыскания равно­

графа I.настоящей

главы, при которых выражение для распределенной

силы, действующей на нить в потоке,

задается соотношениями ( 1 .9 ) ,

(1 .12) и

( I . I 3 ) .

Пусть, далее,

w =

const , у » con st .

Тогда в де­

картовой

системе

координат ( у ’ , Уг ,

У 3

) уравнение Гамильтона-Яко­

би (1 .5 4 ) , а также соотношения

( 1 .5 5 ) ,

(1 .5 9 ) и (1 .6 3 )

запишутся

так:

\2

as

J s - wy \ р, ^ = - Д

(1 .2 0 6 )

s = so+ sr

V

'

(1 .2 0 7 )

as, ( s .y k, x k )

j

'

(1 .2 0 8 )

------JZ

---- “f

(1 .2 0 9 )

Идентифицируя постоянные

х 1 с

постоянными

Т

,

с;

И

С2

и

надлежащим образом переобозначая постоянные f

1

,

с

помощью соотно­

шений (1 .2 0 8 )

-

(1 .2 0 9 ) выразим величины

s

,

у 7

и

Т

через

вели­

чину у

следующим образом:

(T ° -w y 3) d y 3

(1 .2 1 1 )

Tj(T°-wy3)2-c 2 -[cr

<(>1 (у3)]2

„о; „ f

Сс,-Ф, t y b ] (fy3

( 1 . 212)

\ /(T °-u y3) 2- c j - [ c , -9 , <У3>]2

02 J. .

Г

а У5

(1 .2 1 3 )

У2-У

■±C

f _____

/ ( T °-w y3)2- c * - [ c t-<p1 (y3)]2

2J V ( r

^

T= T ° - v)y3,

( 1 . 214)

где

s

, у 01к у ог - произвольные постоянные.

Пусть поток однородный (

V (y 3)~vo = c o n s t ) . В

этом случае

из

вто­

рого

соотношения

(1 .2 0 6 ) следует

^ - Ч п У 3,

( I .2 I 5 )

где

величина

уп

определяется первым из

соотношений

( I . I I ) .

Пусть далее

го =

о , а

краевые

условия

таковы,

что нить

распо­

лагается

в шюсдости,

параллельной плоскости

у ' у 3

,

т .е . с2

-

0 ,

у г =

у 02.

Тогда,

беря интегралы

( I . 2 I I )

и

( I .2 1 2 ) и выражая с

помощью

полученных соотношений координаты у 3 и

у ’

через

текущую длину нити

s ,

находим

у 3=у113+1 smkg (s-s°), y 7=yw+-

cosk0 (s-s°),

K

^

, y

B3* - ^ T

(I .2 1 6 )

Таким образом,

конфигурация нити в

рассматриваемом случае представ­

ляет собой дугу окружности. Удовлетворим с

помощью решения

(1 ,2 1 6 )

следующим краевым условиям:

y3/s=o =°>

y ’/ s - o

=

T ° ^

/ s - r

T* C0SJi*

’

Т °

=

T* 5 !n fi*

’

где

I

-

длина нити,

Т+ -

модуль

сосредоточенной

силы,

приложен­

ной к

ее

концу,

р^ - угол, который эта сипа составляет

с осью

у 3 .

В

результате

определим постоянные

у 03,

у 07,

s °

и

Т°.

Подставляя

найденные таким образом значения постоянных в

соотношения ( I . 2 I 6 ) ,

получаем

J-Js/n(k0 L+ p j + s i n ( y g s - p ^ - kg l

)J ,

y '

= -f

/ cos (kgs - p it-kgL)-ais(kgL*plf)J,

Г = ^ / 1 , 2 1 7 ^

ko L

Из решения ( I . 2 I 7 )

видно,

что наибольший угол

с осью у 3 нить сос­

тавляет в точке закрепления ( s

= 0 ) .

В силу сделанных ранее допу­

щений условие

малости квадрата

этого

угла

(A * + * 0 U 2 «

i

есть достаточное условие применимости решения

( I . 2 I 6 ) .

Н и т ь

в

п о л е

с и л ы

т я ж е с т и . Рассмотрим-

(1 .3 4 )

и

(1 .3 5 )

для неоднородной нити на основании

полного инте­

грала уравнения Гамильтона-Якоби

( 1 .5 4 ) .

Пусть нить находится в

поле силы тяжести,

ф7 =0

, и = - д у 3 ,

где

д

-

ускорение

силы тяжес­

ти. Тогда в декартовой системе координат

(

у ’

, у 2, у 3 )

уравнение

(1 .5 4 )

примет

ввд____________________

а - 218)

Полный интеграл уравнения ( I .2 I 8 )

разыскиваем в

виде

S = Sa ^c1y ’ +с2 у 2* J

(y 3, s ) ,

( I .2 I 9 )

где S0

,

с7

и

с2

-

произвольные

постоянные.

Подставляя выражение

( I .2 I 9 )

в

уравнение

( I .2 1 8 ),

получаем

( 1. 220)

Полный интеграл уравнения (1 .2 2 0 )

имеет

вид

J

=30 +[ с 3 +дJ

зе (s) d s j у 3 +J / Я

/ d s ,

(1 .2 2 1 )

a = c f e;+ c2 r2

+ [c3 + g

f X ( s ) d s J r 3 ,

( 1. 222)

Где Jg

и

с - произвольные постоянные.

Общий интеграл

системы канонических уравнений (1 .3 4 )

и (1 .3 5 ) ,

получаемый на основе полного интеграла

( I . 2 I 9 ) ,

( I .2 2 I )

и (1 .2 2 2 ),

имеет вид

г

7

.

-

г = г и - /

Г а /

d s , о = а

J

(1 .2 2 3 )

~г =(У\ У2, У3)

, Р

= ( р \ р 2, р 3),

где Т ° -

произвольный постоянный вектор;

величина а

определяется

согласно

соотношения (1 .2 2 2 ) .

Далее

с

помощью соотношения

(1 .3 3 )

и выражения

(1 .2 2 3 ) для

импульса

р

определим натяжение

^

т~ f a t -

(1 .2 2 4 )

Отметим, что иным способом решение для

неоднородной

нерастяжимой

и растяжимой нитей, находящихся

в

поле

сил тяжести,

получено в ра­

боте /у.

в°

1 ,

W i ' i )

(1 .2 2 6 )

* ' • '

* * ( £ * } )

„3 ,.о з.

f 1

1

\

(1 .2 2 7 )

J

J

X ? g

{

COSaC

C O S d 0 )

'

т=

A

- ,

(1 .2 2 8 )

d

-

COSct

у 1; s ,

„0 7

„0 3

п

где

угол, который нить составляет с осью

и

У »

У

»

Ъ

d0

- произвольные постоянные.

Удовлетворим

с

помощью решения

(1 .2 2 5 )

-

(1 .2 2 8 )

следующему набору краевых

условий:

d = c t ° , s= 0 , у ?= у 3 = 0 ;

(1 .2 2 9 )

at =<*„ , s * L ,

у 7= Ъ , у 3- а ,

где

L

-

длина нити, D и Н - соответственно

расстояния по

гори­

зонтали и вертикали между точками закрепления нити.

(Далее

предпо­

лагается,

что D > 0

и

н ^ О .)

В результате имеем

* 0* у О7=>у°3 = 0 ,

Ц ~

(1 .2 3 0 )

< 7

('

1

- 1 0) . н :

(1 .2 3 2 )

1COSoi^

COSoL J

Обозначим через

натяжение на конце нити

(при s = L

) . Тогда,

учитывая, что

•a

oL„

с

помощью соотношения (1 .2 2 8 )

находим

Г.

cosd *

(1 .2 3 3 )

Полагая величины Ъ и И

заданными, определяем длину нити L

при которой

натяжение

Т

минимально. Исключая с помощью соотноше­

ния ( I .2 3 I )

величину

G-

из выражений (1 .2 3 0 ),

(1 .2 3 2 ) и

(1 .2 3 3 ),

подучаем

38

_Z

tyoC^-

(1 .2 3 4 )

J)

f j

J _

/ _

H

(1 .2 3 5 )

COJd,

COS'*

l n t g ( ^ * ) - l n i g ( * £ + * )

В

ния (1 .2 3 5 ) производную

(

d d ° /d d t

) ,

приходим к

следующему уравне-

НИЮ:

/

/Ы*

*0)

In b f - f + T J

7

1

(1 .2 3 7 )

» ( Ч + т )

Sind-

s/nai

углов d ° и ы#

Решая уравнения (1 .2 3 5 )

и (1 .2 3 7 )

относительно

и под­

ставляя

результат

в соотношение (1 .2 3 4 ),

определяем длину нити

L ,•

при которой натяжение нити в точке

s = l

минимально. Заметим, что

при 0 <ы.м <■( я / 2 )

углы

d °

,

определяемые

уравнением (1 .2 3 5 ),

отри­

цательны

{< *° < о

) .

Пусть точки закрепления нити расположены на одной высоте

(Н = 0 ).

Тогда из

соотношения (1 .2 3 5 )

следует

сС° = - <*-

(1 .2 3 8 )

Подставляя соотношение

(1 .2 3 8 )

в

(1 .2 3 7 ),

получаем следующее урав­

нение для определения угла

* *

:

-

In

* * (? + & )

2

(1 .2 3 9 )

*9

( j

sin d *

Решая уравнение (1 .2 3 9 ),

с

точностью до четвертой значащей цифры

находим

= в, 9855.

(1 .2 4 0 )

Далее с помощью соотношений

(1 .2 3 4 ),

(1 .2 3 8 ) и

(1 .2 4 0 )

находим дли­

ну нити

L m , при которой величина

Т-

минимальна:

,

m

,

cos ы™ = 1,258,

—

=

—~

г

-

( I .2 4 I )

В

c o s d m

*

Минимальное натяжение

Г'77

определяем

с

помощью соотношений

(1 .2 3 6 ),

(1 .2 3 8 ) и

(1 .2 4 0 ):

0,755 х°0 д В .

(1 .2 4 2 )