книги из ГПНТБ / Салтанов, Н. В. Гибкие нити в потоках [монография]

где

алгебраические

дополнения элементов

детерминан-

та

da

Л

Проварьируем выражения

( I . 8 I ) и (1 .8 2 ) для функции Рауса и

ции d l

,

d r ,

d x * ,

d z ,

dg

и d x *

независимыми,

с

использованием

уравнений

(1 .7 6 )

находим

dR

dH

(1 .8 4 )

d7

d г

'

dR

dH

(1 .8 5 )

d r

d T ’

dR

dH

(1 .8 6 )

d%

dz

dR

dH

’

(1 .8 7 )

dq

dq.

dR

dH

’

(1 .8 8 )

d x * ~

d x *

dR

-P *

■

(1 .8 9 )

d x * -=

Подставив

выражения

(1 .8 6 )

и (1 .8 7 )

в канонические

уравнения

(1 .7 8 )

и

(1 .7 9 ) ,

запишем

dR

£

-

(1 .9 0 )

d q

’

2

dR

(1 .9 1 )

=

- dz

С

помощью соотношений

(1 .8 8 ) и

(1 .8 9 )

уравнения (1 .7 7 )

преобразуем

к

130,117

oil

Ё/ L .

~ д х *

- о

'

а . 92)

d x *

~

Из

соотношений

(1 .8 0 )

и

(1 .8 5 )

следует

& L .O .

(1 .9 3 )

Таким образом,

получено

ЯГ

имеющее характер тож­

соотношение (1 .8 4 ) ,

дества,

а

также

группа уравнений

(1 .9 0 )

- ( 1 .9 3 ) .

Переменным га ­

мильтонова типа

( у

,

?

) соответствуют уравнения типа Гамильтона

(1 .9 0 )

и

( I . 9 I ) ,

переменным лагранжева типа

{ х *

,

х *

) - уравне­

ния типа Эйлера-Лагранжа ( 1 .9 2 ) .

Уравнение

(1 .9 3 ) ,

очевидно, может

ра-Лагранжа.

Получим уравнения (1 .9 0 ) - (1 .9 3 )

из вариационного принципа.

Рассмотрим следующий функционал:

,

_

J ‘

(1 .9 4 )

где

функция

ft

{

I ,

Т ,

Xй ,

х ы

,

z

,

q

)

определяется

соотноше­

нием ( 1 ,8 2 ) ,

величина

(

I ,

Т

,

х *

,

z

, q, ) - произвольная

функция своих аргументов. Подынтегральной функции в функционале

(1 .9 4 ) соответствует

пространство

искомых функций

( Г ,

х *

, z ,

q, ) .

Варьируя действие

( 1 .9 4 ) ,

в

качестве

условий

его

экстремальности

получаем систему

уравнений

(1 .9 0 )

-

(1 .9 3 ) ,

а

также следующее усло­

вие

на краях интервала интегрирования:

Г '

08*j\

- JQ tl da -

/f aft

ds*d ) S x * -

г

- dz

dq.

*

( dx*

ax

1(2)

08*7

08*7 )

,n

7

= 0 .

(1 .9 5 )

- ft -

]

ат

У d x л

01 J

J / m

явно

не

вхО'

циклическая , т .е . величина z

дит в функцию Гамильтона. Вследствие соотношения

(1 .8 6 )

она не

вхо­

дит явно также и в функцию Рауса.

Импульс,

соответствующий

цикли­

ческой

переменной

z

, согласно

уравнению

(I .9 1 ),

сохраняет

свое

значение

=

co n st,

(1 ,9 6 )

где

ч

- постоянная интегрирования.

Подставляя

соотношение

(1 .9 6 )

в функцию Рауса

(1 .8 2 ) ,

получаем

-*J] 9 33(Ч0 -Ф3 У W’W d T .

(1 .9 7 )

х * = х

(1’ х О’ *0

’ ^0’ ^0^ 1

(1 .9 8 )

Т - Т (

Тв , 90 ).

Величины

Т

i

и

суть постоянные интегрирования. Подстав­

ляя

соотношения

(1 .9 8 )

в

функцию Рауса (1 .9 7 ) , имеем

8 ~ d j l , Т(х*,х *, fa i9’0) , x ‘<(Z,XQ,Xff >Тд , д,0),х

(I,x0 ,xg,ftg,f0),q^ jil,99)

Подставляя функцию Рауса

(1 .9 9 )

в уравнение

(1 .9 0 )

и интегрируя

получившееся уравнение,

находим

I

а а ■41,

(1 .1 0 0 )

- v /■ 0У„

где

%0 ж 10 -

л.

Отметим,

что не все из

постоянные интегрирования.

Связь между ними определяется

соотношением ( 1 .9 3 ) ,

записанным, на­

пример,

для точки

1= 10

-

С л у ч а й

Н. Расщепим фазовое пространство статики нити

на следующие три подпространства:

’> х 7,Р , ,

»

z ,<z ( x z,x 3),q.^(P2 .p3 )

(d=jl2)t

(I .I O I )

3)

Г.

Тогда выражение для действия (1 .4 4 )

и функция Гамильтона

(1 .2 4 )

примут

соответственно

bkoj;

S ~ [

(Р ,*,+ Ь

* - н > а !!>

( 1 .1 0 2 )

^ ( Р г Ф , ) * 29 Ы(РгФ ,)(Чл -Фл) ' ^ ( Я е - в с M fi ~

СГДОЗ)

Необходимыми условиями экстремума функционала ( I .I 0 2 )

и

( I .I 0 3 )

является соотношение ( 1 .8 0 ) ,

а

также такие

условия:

х 1= М . ,

'

( I .I 0 4 )

dpj

р

= - Ш -

(1 .1 0 5 )

п

Зх'

%*= вН

(1 .1 0 6 )

I*

*Чл

_

дН

(1 .1 0 7 )

9

=

- ' ^

дх°

Функцию Рауса введем следующим образом:

Л ~ Н ( 1 ,Т ,х т,р } ,х*,<1л ) - р 1х 1.

( I .I 0 8 )

Здесь

гамильтониан

Н определяется

соотношением ( I . ЮЗ).Исключая

с

помощью уравнения

( I .I 0 4 )

импульс

р

из

выражения для функции

Рауса

( I .1 0 8 ), получаем

л (1 ,г ,х > ,х ’, * * , ь ) . * 0 и - х ’рг * J e 2 ± ( Г } а Т +

+2 f j j ^ [ j * ’*91А(Ъ > ~ ъ]~ 9 * * ( fc "9 к )(9 р - <pfi)}■

(1 .1 0 9 )

Проведем варьирование выражений

( I .I 0 8 )

и ( I .I 0 9 )

и отождест­

вим полученные при этом соотношения. Считая вариации

31

, ЗТ , Зх \

f x

1,

независимыми и учитывая уравнение ( I . I 0 4 ) ,

приходим

к

соотношениям (1 .8 4 ) и (1 .8 5 ) ,

а также

к соотношениям

dR

=

dH

( I Л Ю )

d z *

’

( I . I l l )

M . = J J L ,

( I . I I 2 )

d x 1

d x ’

i b - - " ' -

( I - I I 3 )

Подставляя соотношения ( I . НО)

и

( I . I l l )

в

канонические уравнения

( I .I 0 6 )

и

( I . I 0 7 ) ,

находим

д Чы.

( I . I I 4 )

^1 Л 1 5 )

С помощью соотношений

( I . I I 2 )

и

( I . I I 3 )

уравнение ( I .I 0 5 )

преобра­

зуем к виду

d

dR

dR

„

* Г 1 Р ~ и ж в -

(1 .И 6 )

Как и в случае I ,

здесь также

имеет место

соотношение ( 1 .9 3 ) . Та­

ким образом, переменным гамильтонова типа

( z * ,

q,^)

соответствуют

уравнения гамильтонова типа ( I .1 1 4 ) и

( I .1 1 5 ),

а переменным лагран-

жева типа

( х 1 ,

х 7) -

уравнение

Эйлера-Лагранжа

( I . I I 6 ) .

Получим уравнения

(1 .9 3 )

и

( I . I I 4 )

-

( I . I I 6 )

из

вариационного

принпипа.^ассмотрим следующий функционал:

S' = (

L z ^ - R ( i , T , x ’. i 7,

dS*2 a

J ’x l’ Z^ qd ) lca !

(1 .117)

J (j) /

ctt

J

"(i) ‘

где функция R (

Z,

T

, x 7, x 1 ,

х л ,

)

определяется

соотношением

( I . I 0 9 ) ,

величина

5 ^

-

произвольная функция своих

аргументов.

Подынтегральной функции в

функционале

( I . I I 7 )

соответствует про­

странство

искомых функций

( Г

,

х 7, z d , q

) . Варьируя функционал

„

d z°y

d ^

- f ~ +

_££s*) f *7-

*

9* [ a i t *

d x i )

- * * £

s r J i 7

d l j

. 0 .

( 1 .118)

d r

(

d x T

J j (i)

Пусть

переменные

z * циклические,

т .е . величины

z u явно

не

входят в

функцию Гамильтона

( I . I 0 3 ) . Вследствие соотношений

(1 .1 1

0 )

они не входят явно и в функцию Рауса

( I . I 0 9 ) . Импульсы

^

соот­

ветствуют

циклическим переменным

х л

, тогда в

силу уравнений

( I .115) они

сохраняют

свои значения:

“ 9 d o = Donst»

( 1 .1 1 9 )

где

-

постоянные

интегрирования.

Подставляя соотношения (1 Л 1 9 )

в функцию Рауса

( I . I 0 9 ) ,

записываем

* ( и , х \

w =

j £ 2 w ( i ) d u

+2 ? l g ri[ ' £ X,* ff

ЬсГ & с)(V

'^ v /

( 1 .1 2 0 )

Подставим функцию Рауса

( I .I 2 0 )

в уравнения

(1 .9 3 ) и ( I .1 1 6 ) . Реше­

ние полученной

системы уравнений имеет вид

х 7= х 7(1,

Ха7 , х 7, Тв ,

9л д ), Г* Т(1, х 07 , х 07 , т0 , ^ д ) .

( I . I 2 I )

Величины

х 7 ,

х 7

, Т0

суть постоянные интегрирования.

Подставляя

соотношения ( I . I 2 I )

в функцию Рауса ( I . I 2 0 ) ,

получаем

^ ~ «

[ ,

Т(1, Хд, Хд,

Тд, УЫд), Х 7(1,Хд, i g’

j g ,

^Ыд) ,

i 7 ( l , x l , X g,Tg,7

ф^д) , ^ g j .

^1 • 122 )

Подставляя функцию Рауса

( I .I 2 2 ) в

уравнение

<1.114)

и интегрируя

получившиеся соотношения, находим

.

(1Л23>

£де Хд и 10 - постоянные интегрирования. Здесь, как и в

случае I ,

ду

ними определяется

соотношением (1 .9 3 ) ,

записанным,

например,

для

точки 1 = 1 .

3 . Гибкая нить на поверхности, заданной одним соотношением

И с х о д н ы е

у р а в н е н и я .

Пусть нить

находится на

поверхности, уравнение которой имеет вид

Ф ( х 7, х 2, х 3) - 0 .

( I .I 2 4 )

д ф

( I .I 2 5 )

. г

*о<1)

д х ‘

где

нити,

г .

- сила реакции поверхности в

расчете на единицу массы

у г

-

скалярный множитель. (В рассматриваемом случае индекс

у

не пробегает

значений

I ,

2

и 3 .)

С учетом силы реакции поверхности

( I .I 2 5 )

уравнения равновесия

нити примут вид

•

*

•

*

’

* ' ] '

*

* „ f l)F i

+ ?r

= °

■

( 1 . 126)

Как было условлено

выше,

для

силы

Р

справедливо

соотношение( 1 .6 ) .

Таким

образом,

в

рассматриваемом

случае

система

уравнений

( 1 .3 ) ,

( I .I 2 4 )

и

( I .I 2 6 )

служит для определения пяти величин: натя­

жения

Т ,

координат

х ‘ и скалярного

множителя

.

Зная величины

и

х 1

,

с

помощью соотношения

( 1 .125)

можно определить

силу

реакции поверхности в расчете на единицу массы нити.

В а р и а ц и о н н ы й

п р и н ц и п

д л я

у р а в н е ­

н и й

( 1 .3 ) ,

( I .I 2 4 )

и

( I . I 2 6 ) .

Получим уравнения

( 1 .3 ) ,

( I .I 2 4 )

и ( I .I 2 6 )

из

вариационного

принципа.

Рассмотрим функционал

S = f

L r d l ,

( I .I 2 7 )

Z r= z : _

<г' т, х 1- ?г>

>

( I .I 2 8 )

0

oil

<1 Л 2 9 >

где

величина

L0

определяется

соотношением

( I . I 6 ) ;

8л 3 -

произволь­

ная функция своих аргументов.

Подынтегральной функции ( I .I 2 8 )

и

( I . I 6 )

соответствует

пространство

искомых функций

Т

,

х ‘ и

уг .

Экстремизация функционала ( I . 127)

-

( I .I 2 9 )

приводит

к

уравнениям

( 1 .3 ) ,

( I .I 2 4 )

и

(I .I 2 6 .),

а

также

к

следующему краевому условию:

dS,* з

f -

9,

t fx 1

дТ

mk

d x m0

dSf3

( I . 130)

<?7r

/

j

i

m

Г а м и л ь т о -

К а н о н и ч е с к и е

у р а в н е н и я

н а .

Запишем канонические

уравнения для нити,

находящейся на по­

верхности,

которая задана

соотношением ( I . I 2 4 ) .

При этом будем ис­

ходить из

лагранжиана

L 0r

,

определяемого

соотношением

(1 .1 2 9 )- .

Тогда для импульсов

р .

,

сопряженных координатам

,

для

произ-

водных

х ‘

и для импульса

р

сопряженного

натяжению

Т

,

полу-

чаем соответственно

выражения

(1 .2 0 ) ,

(1 .2 1 )

и '(1 .2 2 ) .

Импульс р }

сопряженный

скалярному множителю

уг

,

как

и импульс

Рт ,

сопря-Г

женный натяжению

Т

,

равен

нулю,

( I . I 3 I )

Р ? = 0 .

И

i

Рк - £ 0

( 2>Т ’ х1>

* 1)- 7 г ф (х *>>

( I .I 3 2 )

'

где

величина

L0 определяется

соотношением

( I . I 6 ) . Исключая

из

соотношения ( I .1 3 2 )

величины

х 1 с

помощью выражений ( I . 2 I ) ,

полу-

чаем

н

( г , г , * \ р /1'? г ) = / / ( 7 , г , х * , р л ) - у ?гФ (х *),

(1 Л З З )

где

величина

Н

( Z

,

Т ,

х к, р

)

определяется

соотношением (1 .2 4 ) .

Систему канонических уравнений равновесия нити на поверхности,

соответствующую гамильтониану

( I . I 3 3 ) ,

образуют

уравнения ( I . 2 I ) ,

(1 .3 3 ) ,

( I . I 2 4 ) ,

а также

следующее:

0Ф

д и

д х '

Ь Ь [ 9 ™ (р ™ ф'” ) ( р ” - ф" )} '

(1 Л 3 4 )

В а р и а ц и о н н ы й

п р и н ц и п

д л я

к а н о н и ­

ч е с к и х

у р а в н е н и й .

Получим систему канонических

уравнений равновесия нити на поверхности

( I . 2 I ) ,

(1 .3 3 ) ,

(1 Л 2 4 )

и ( I .I 3 4 )

из

вариационного

прищепа.

Рассмотрим функционал

■Lп)

Г г d l,

(1 .1 3 5 )

/~ = 7 ? _

as,,з

(1 ,Т ,х \ , ?г )

(1 .1 3 6 )

0

d l

’

l ,

Т ,л * ,

Lo

^

mPm - H r( h T , x \ p k , Vr) ,

( 1 .137)

где

и (

p

,

у

)

определяется

соотношениями

(1 .2 4 )

и

( I . I 3 3 ) ,

St 3 (

l

Т

,

х * ,

рк ,

)

-

произвольная функция своих

ар­

гументов.

Подынтегральной функции

( I .I 3 7 )

соответствует

простран­

ство

искомых функций х 1 ,

р . ,

Т

и

у .

Варьируя действие ( I .I 3 5 )

( I . I 3 7 ) ,

в качестве

условий его экстремальности получаем канони­

ческие

уравнения

( I . 2 I ) ,

(1 .3 3 ) ,

( I .I 2 4 )

и ( I . I 3 4 ) , а также

крае­

вое

условие г ,

_

is.* з

л

-

^

W

-

dS* 3 <ГТ -

S x * J

дТ

)(2>

И ,:

E d T - x 0 U - dS.*a

П

= о .

%

(}■

d l J -

J / d )

"

( I -138)

У р а в н е н и е

Г а м и л ь т о н а - Я к о б и .

Получим

уравнение Гамильтона-Якоби

статики неоднородной

растяжимой гибкой

нити, находящейся на поверхности,

которая

задана соотношением

( I . I 2 4 ) .

При атом будем ^исходить

из

функционала

*

S - Г

[р^ х * - М г(!, Т, x

i,p i , yr )7 d l ,

( I .I 3 9 )

где гамильтониан Н

определяется

соотношениями (1 .2 4 )

и

( I . I 3 3 ) .

В результате,

проводя цепочку

рассуждений,

аналогичную соответствую­

щей цепочке рассуждений в параграфе

I,приходим к соотношениям

(1.46)-

(1 .4 8 ) . В

рассматриваемом

случае

одна из компонент вектора импульса

является линейной функцией двух других компонент. Действительно,

продифференцируем уравнение

( I .I 2 4 )

по

Z

и исключим из получивше­

гося соотношения производные

х 1 с помощью уравнений ( I . 2 I ) ;

раз­

решая результирующее

соотношение

относительно

р3 , находим

р _ ф - _ Ф *(Ъ г< М

рз

Ф3 -

фв

РФ

( I .I 4 0 )

ФА д Ф

Ф .

k m у-л

При получении

соотношения

m *

TJ7

Охо л '

*

( I .I 4 0 )

было предположено, что

Ф 4 0 .

Как и ранее,

за

исключением

специально

оговоренных случаев,гречес­

кие индексы принимают значения I

и 2 .

Аналогичным образом, полагая

ф>3 фо ,

с

помощью соотношения

( I .I 2 4 )

выражаем вариацию

Л г 1*через

вариации

сРх1 и

<Рх2 :

.

„ .

(1 .1 4 1 )

Подставляя

соотношения

( I .I 4 0 )

и

( I . I 4 I )

в

соотношение

(1 .4 8 ) ,

на­

ходим

,

Ф % - - Ф 1ч>1

ф

Л г '

tfS

= - Нd'L + ( р

ф%

~оС

( I .I 4 2 )

Отсюда следует,

что действие

является функцией величин

X

ж

I

,

S = S ( x * , l ) .

( I .I 4 3 )

Подставляя выражение

( I .I 4 3 )

в

соотношение

( I . I 4 2 ) , выполняя диф­

ференцирование и отождествляя коэффициенты при вариациях,

получаем

р

+ Ф_Р^~ФФ1ф

s

$

OS

( I . 144)

Ох°

Ф3Ф,

Н + ™ - 0 .

( I . 145)

01

Разрешая соотношения

( I .I 4 4 )

относительно

рл ,

имеем

Р *

= s«.

ф тф„

( I . 146)

о

=

OS

os

= О.

к

~ д х к

Ox3

Подставляя выражения

( I .I 4 6 ) в

соотношение

( I . I 4 0 ) ,

получаем

Р3

----- ^

•

( I . I 4 7 )

^

vw

С помощью соотношений ( I .I 4 6 )

и ( I .I 4 7 )

находим

р . . ф.=

ф

Фк (sr

<pi ) - n p mi</>m - s m)0 i

( I . I 4 8 )

ф пф„

Нетрудно убедиться в том, что

подстановка выражения

( I .I 4 8 ) в вы­

ражение ( I .I 4 0 ) приводит

к

тождеству.

Подставим в соотношение Cl•145) выражение для гамильтониана

(1 .2 4 ) и преобразуем

получившееся соотношение с

помощью каноничес­

ких уравнений (1 .3 3 )

и ( I .I 2 4 )

и выражения

( I . I 4 8 ) .

В результате

получим

1

‘

( I .1 4 9 )

f

ik f

ФЯФд (S j-ФО* ФЬ(9Ь-3Ь)Ф1

I

f

%.

//у,-

Ф Я * п (8 ъ -ф *)* Ф '(1 > * -Ы Ф *

1

/2

( I . I 5 0 )

ф Ч „

J

U

м и ( 1 , х л. х 3) /

.

,

я ( I . I 5 I )

Ф

/ ф ( х ы, х 3)~ 0

Соотношения ( I .I 4 9 )

-

( I . I 5 I )

представляют

собой искомые уравнения

Т е о р е м а

Я к о б и

д л я

у р а в н е н и я

( I . I 4 9 ) -

( I . I 5 I ) .

Пусть соотношение

S =

s ^

s 1 ( 1 ,х * ,х ^ )

,<* = !,г ,

( I .I 5 2 )

где SD и хл - произвольные

постоянные,

представляет

собой полный

интеграл уравнений

( I .I 4 9 )

-

( I . I 5 I ) .

И пусть отличен от

нуля сле­

дующий гессиан:

d ^ S ’ n , х и, х ^ )

дх. ^ дХр

Ф0.

Тогда общий интеграл системы канонических уравнений

( 1 ,2 1 ) ,

(1 .3 3 ) ,

( I .I 2 4 ) и

( I .I 3 4 )

определяется

соотношением

( I . I 2 4 ) ,

а также

следую­

щими соотношениями:

8

s 1( l . x * , x e t) _

( 1 . 153)

р

ф *ф*

(s/ ~

( I .I 5 4 )

r t

~L

Фпф

’

- г

г

/

/

J

где f

-

произвольше

постоянш е.

Доказательство

сформулированной

теоремы Якоби для

уравнений ( I .I 4 9 ) -

( I . I 5 I )

аналогично проведен­

ному в параграфе I доказательству теоремы Якоби для уравнений

( I .5 2 ) f

(1 .5 3 ) .

4 .

Гибкая нить

на поверхности,

заданной по Гауссу

И с х о д н ы е

у р а в н е н и я .

Пусть поверхность,

на

которой

находится

нить, задана по Гауссу

• х (и * ), сС -1 ,2 ,

( I .I 5 7 )

где и

-

произвольные криволинейные координаты на поверхности.

Запишем уравнения равновесия нити на поверхности в рассматри­

ваемом представлении. При этом будем исходить из

уравнений (1 .3 ) и

( I . I 2 6 ) ,

полагая, что задание поверхности о помощью соотношения

( I .I 2 4 )

соответствует

ее зад аю т

с помощью соотношений ( 1 .1 5 7 ), и

поначалу

не конкретизируя выражение для силы

F-

. Подставим соот­

ношения

(1 .1 5 7 ) в

уравнение ( I . I 2 6 ) .

Умножим получившееся соотноше­

ние на

{ d x 1 / d u *

) , проведем суммирование

от I

до

3 и учтем, что

в оклу геометрического смысла координат

имеет

место условие

дФ

Лгг

= О.

( I .I 5 8 )

d x i

du°