книги из ГПНТБ / Салтанов, Н. В. Гибкие нити в потоках [монография]

Предполагается, что в соотношениях

( I .1 0 ) и

( I . I I )

декартовы

коор­

динаты выражены через криволинейные, у ^ = У 1

( х * ) .

Пусть

нить

нахо­

дится в

неоднородном по

у 3

горизонтальном потоке

жидкости.

Пусть

для

распределенной

силы

F

справедлива аппроксимация ( 1

.8 ) ,

при­

чем

составляющей

сопротивления трения можно пренебречь

( Уу

= О ) .

Пусть

по-прежнему

краевые условия таковы,

что

нить

располагается

в

плоскости

{ у 1у 3 ) . Если также малы углы,

которые

нить

составляет

с

осью

у 3 ,

то

с

точностью до величин второго

порядка малости

по

указанному углу

соотношение

(1 .8 )

представим в

вице

выражения

( 1 .9 ) ,

где

w <s)

U

( I .1 2 )

2 -

У

X

(S )

ствия

потока на нить в настоящее время является одной из

наиболее

часто

используемых /41,190./. Для входящего в эту формулу

коэффи­

циента сопротивления формы Добычно принимают значение,

равное

ряде практически интересных

случаев весьма слабая /41, 159/. Поэ­

тому в дальнейшем для простоты величину Ну будем

считать

постоянной

и равной некоторому ее эффективному среднему значению.

В а р и а ц и о н н ы е

п р и н ц и п ы

д л я

у р а в ­

н е н и й

(1 .2 ) -

( 1 .5 ) .

Рассмотрим следующий функционал:

L o ll ,

( I . 14)

s i О)

L

as

Ln —

d S , ( x \ T , l )

( I . 15)

О

d l

Lo

3 i [ j

( I . I 6 )

-эе0 (1) U (1 , х ‘J + Фк х к ,

где

-

произвольная функция своих аргументов.

Подынтегральной функции (1 .1 5 )

, ( 1 .1 6 ) соответствует

простран­

ство

искомых функций х ‘ и

Т

. Можно убедиться,

что уравнения

Эйлера-Лагранжа, соответствующие

экстремизации функционала

( I . 14)

-

( I .1 6 ),

совпадают с

уравнениями

равновесия

нити

(1 .2 ) и

( 1 .3 ) . Условие на краях интервала интегрирования, получающееся

при

экстремйзации

функционала (1 .1 4 )

-

( I . I 6 ) ,

имеет

вид

-Z9m k*

~4>т + -

dx^Jdxm

т+

$Т+ ( х и - fc d U

) d e l / <2)= О.

( I . IV)

£

~",п

"

дТ

[(

0

J

d&dd<rj

J

j (1)

В

случае

нерастяжимой

гаи и выражение

( 1 .1 6 )

для лагранжиана и ус­

ловие ( I . I 7 )

принимают несколько

более

простой

вид

’ ~ Ъ * * 1'*■к^ - х U+

<ph

( I . 18)

[ ( Т9 тх

х ' - Ф т * -

dS*

) f x m+

dS*

dT +

dT

V/г

( I . 19)

+ ( х и -

2

) .= 0 .

(

ds /

J

/ <n

н и ч е с к и е

у p а в н e н и я

Г а м и л ь -

т о н а .

При получении канонических уравнений Гамильтона

статики

нити будем исходить

из лагранжиана L0 , определяемого соотношени­

ем ( I . I 6 ) . На основе

этого лагранжиана для импульса

рщ ,

сопряжен­

ного

координате

х

m ,

получаем

P m B -

j

■

( 1 . 20)

Решая соотношения

(1 .2 0 )

относительно

величин

х

‘ , находим

где g Lm-

контравариантный метрический гензор.Поскольку лагранжиан

L0

не

зависит

от

производной натяжения по

I ,

обобщенный импульс

рт ,

сопряженный натяжению

Г ,

равен нулю,

р т = 0 .

(1 .2 2 )

Функция Гамильтона

Н

, соответствующая лагранжиану

L0

, имеет

вид

fi = x *p k - L 0 ( l , T , x * , i * ) .

(1 .2 3 )

Исключая из

соотношения (1 .2 3 ) величины х к о

помощью выражений

( I . 2 I ) ,

получаем

Н (I , Т , х к ,р к ) = - - J J : 9 тП (Рт - Ю *

* (Pn-i>n) - 21 j e*jf ( { ) dT+*o(l)U-

(1 .2 4 )

В

случае

нерастяжимой нити выражение

(1 .2 4 )

принимает более прос-

”

8

” и

'

•(рп- ф „ ) - ^ + % (s ) U ( s , x * ) .

(1 .2 5 )

Беря вариации левой и правой частей выражения

( 1 .2 3 ) ,

с

учетом

соотношения (1 .2 0 ) получим

SLn

Чй. $ т _ dLg_

S x k

(1 .2 6 )

Варьируя левую

дТ

д'х *-

находим

и правую части выражения ( 1 .2 4 ) ,

дН

о х 1

д н

(1 .2 7 )

" - 1 Г ! ы ¥г

д х *

рр,

f l

, (ГГ

Отождествляя выражения (1 .2 6 ) и

(1 .2 7 )

и

считая

вариации

д х * и dp

независимыми,

получаем

дН

«

(1 .2 8 )

J T

1 II

1

д !

(1 .2 9 )

Ж

.

К о

’

дТ

' ~

дТ

дН

dL0

(1 .3 0 )

д х *

д х *

’

Ж

дН

( I . 3 I )

др к

(1 .2 4 )

для

Н

,

при-

выражение

ходим,естественно,к уравнению ( I . 2 I ) .

Рассмотрим уравнения Эйлера-

Лагранжа,

соответствующие

экстремизации функционала ( I . I 4 ) - ( I . I 6 )

по координатам

х к .

д_

dLn

SL

Л

д х *

д х *

= °-

Отсюда с

помощью соотношений (1 .2 0 ) ,

(1 .2 4 )

и

(1 .3 0 )

имеем

г Г 7 ( * . - > « ) [ > " " ~>дхгФ"

(1 ,3 2 )

+ 1 Л л Ж ( 9 - р \1_х

6U

2

дХ 1

*

“m /J

д х ‘

и исполь­

Подставляя выражения

( I . I 6 )

и (1 .2

4 )

в соотношение (1 ,2 9 )

зуя затем уравнение

( 1 .3 ) ,

получаем

следующее уравнение:

(Pm - 9 m ) ( P n - <Pn ) = Т* ■

(1 *33)

Система соотношений

( I . 2 I ) ,

(1 .3 2 )

и

(1 .3 3 )

представляет

собой ис­

нити,

находящейся в поле сил ( 1 ,6 ) . Пусть

нить нерастяжимая. Тог­

д а , исключая с помощью уравнения

(1 .3 3 ) натяжение Т

из уравнений

( I . 2 I )

и ( 1 .3 2 ) , записываем

(1 .3 4 )

У У

(Pm ~ Pm ) (Рр~

Pi =

Рп'Рг,

. тп

V9

z (pr -<Pr )(p z

Ф хЧ

U

(1 .3 5 )

ЗФт ,

1

77/7

7

д д тп

д х ‘

2 дх Т& пГРт )]- X ( S )

1 Г 1

В а р и а ц и о н н ы й

п р и н ц и п

д л я к а н о н и ­

ч е с к и х

у р а в н е н и й

Г а м и л ь т о н а .

Получим

канонические уравнения ( I . 2 I ) ,

(1 .3 2 ) и

(1 .3 3 )

из

вариационного

принципа. Рассмотрим

следующий функционал:

'= /

L d l ,

(1 .3 6 )

J n >

Т _ Т

d$* (1,7, х / pt )

(1 .3 7 )

0

d l

’

где if

( l , T,

x ‘ , p-) -

произвольная функция своих

аргументов.

Подынтегральной функции

(1 .3 8 )

соответствует

пространство ис­

комых функций

Т

,

х 1 ,

pi .

Нетрудно убедиться

в

том, что урав­

нения Эйлера-Лагранжа, соответствующие

экстремизации действия

(1 .3 6 ) -

( 1 .3 8 ) ,

совпадают

с

каноническими уравнениями Гамильтона

(1 ,2 1 ) ,

(1 .3 2 )

и

(1 .3 3 ) .

Условие на краях

интервала интегрирования,

получающееся при

экстремизации функционала

(1 .3 6 )

-

( 1 .3 8 ) , имеет

ввд

Г7_

dSL

S T - M t (? р .+

р - - Л - ) ( Г х к -

д Т

нх

д х к)

’

дрк

х

dS,

'«>

(1 .3 9 )

£ d T - эе0 U -

S I i

= 0 .

dl

m

В случае

нерастяжимой нити

соотношения

(1 .3 7 )

и

(1 .3 8 )

принимают

вид

7

-

7

L„

d

s , T

, x

L, P i)

L

-

~ ------------7------------ f

d s

(1 .4 0 )

/

• 777

s e lf + ^

+

Ln =

x

p

П

~ n

( I . 4 I )

(Р т -Ф т) ( Р П -Фг,)>

27

J*

sp . /+

T-aeU -

м

ч

у ,(2) dpx

*J

(

(1 .4 2 )

Исключая из соотношения ( I . 4 I )

натяжение

Г

с

помощью уравнения

(1 .3 3 ),

получаем

l o = L+ ( s , х к , х к, р )= х кр -Н + ,

*

(1 .4 3 )

Н+ = * U - f a ™ (рт -фт )(Р„-фп ) ■

Далее нетрудно

убедиться

в

том, что

уравнения

(1 .3 4 )

и

(1 .3 5 ) суть

уравнения Эйлера-Лагранжа,

получашгаеся при

экстремизации функцио­

нала

(Z)

S = J L+ ( s ,x * ,x * ,p k ) d s ,

(1 .4 4 )

где лагранжиан

l f ( s , x kx k, pk f } определяется соотношением

( 1 .4 3 ) .

У р а в н е

н и е

Г а м и л ь т о н а - Я к о б и .

Получим

нити, находящейся в поле сил ( 1 .6 ) .

При этом

будем исходить

из

следующего фунзсционала:

а )

(1.45)

S - J

jp kx k- H ( l J , x l,Pi)Jdl,

где

гамильтониан

Н

определяется

соотношением

(1 .2 4 ) .

Пусть существует решение системы канонических уравнений

( I . 2 I ) ,

(1 .3 2 )

и

(1 .3 3 ) ,

получающейся при

экстреыизации функционала

( 1 .4 5 ) .

На шогообразии

этих

решений функционал (1 .4 5 )

является функцией

начальной и конечной точек / 138, 1527

и может

быть

представлен

в

виде

....

S !

<Z)=\

(Pk

d x k - H d l ) .

(1 .4 6 )

'

<П

(?)

Соотношение (1 .4 6 )

справедливо

при любых допустимых значениях

то­

чек

( I )

и ( 2 ) .

Рассмотрим случай, когда начальные

условия заданы,

т .е .

конец ( I )

закреплен.-

7п> = 0 '

S l!cn

= 0 ■

(1 .4 7 )

В этом

случае,

варьируя соотношение

(1 .4 6 )

и опуская лишние индек­

сы,

получаем

d'S = р

сГхк -

Н 01

(1 .4 8 )

‘ Из соотношения

(1 .4 8 )

следует,

что действие

б1 является функцией

величин

х к и

1

,

S = S ( x * , l ) .

Ц .4 9 )

Подставляя выражение

(1 .4 9 )

в соотношение

( 1 .4 8 ) ,

выполняя диффе­

ренцирование и отовдествляя

коэффициенты при вариациях,

имеем

_

“

3S__

(1 .5 0 )

Рк

д х к

И - -

М

( I . 5 I )

д1

Исключим из выражения

(1 .2 4 )

для гамильтониана Н

натяжение

Т

с

помощью уравнения

(1 .3 3 ) .

Исключив затем из

получившегося соотно­

шения величины

рк и

И

о

помощью выражений

(1 .5 0 )

и ( I . 5 I ) ,

запи­

шем

J e ( l , T

) d T

~

^

+ ge0 ( l ) U ( l , x * ) , ,

(1 .5 2 )

' • ■

/ Г

(1 .5 3 )

поле сил ( 1 .6 ) . Б случае нерастяжимой

нити уравнение Гамильтона-

Якоби упрощается и принимает ввд

dS

+ a e ( S ) U ( s ,x * ) .

(1 .5 4 )

Y H - .d x m -P,

dxn

nJ ~ da

Т е о р е м а

Я к о б и

д л я

у р а в н е н и й

(1 .5 2 ),

(1 .5 3 ) .

Уравнения

(1 .5 2 ) ,

(1 .5 3 ) содержат действие только под

знаками

первых производных. Поэтому в

их решении одна из

постоян­

ных входит аддитивно. Следовательно,

уравнения (1 .5 2 ) , (1 .5 3 ) до­

пускают решение вида

,

;

S = S 0 +S1

ц . 5 5 )

симых постоянных не больше числа

степеней свободны системы, т .е . не

больше трех. Пусть найдено решение вида

( 1 .5 5 ) . Подставляя

это ре­

шение в уравнение Гамильтона-Якоби

(1 .5 2 ) и дифференцируя получив­

шееся соотношение

по я к

, получаем

* гЬ

е

f d S 7

) = 0

(1 .5 6 )

Ift .d l

Т У

д я .д х ™

( д х п

Гп/

Вычисляя полную производную по

I

от производной действия по пара­

метру

я . и используя каноническое уравнение

( I .2 1 ) и соотношение

( 1 .5 0 ) ,

находим

d

dS

d2S,

£ Л wn d 2S7

(1 .5 7 )

7 i

* * k

d ld x . ~ T 9

д х т0Я.

( д х п Гп/

к

’

и-~к

ления соотношений (1 .5 6 ) и

(1 .5 7 ) получаем,

что

имеет место следую­

щий закон сохранения:

#

7 1

~дГк = ° -

(1 -5 8 )

Таким образом, производная действия

по любому из

параметров являет­

ся интегралом канонической

системы уравнений

( I . 2 I ) , (1 ,3 2 ) и (1 .3 3 )

d S ( l , x K,dtk )

j

(1 .5 9 )

---------щ —

’

соотношения

(1 .5 9 )

относительно координат

х

1

,

получаем

х ‘ = х ‘ (1 ,я к , $ * ) .

(1 .6 0 )

Подставим выражения

(1 .6 0 )

в решение

(1 ,5 5 ) .

В

результате

запишем

(1 *6 1 )

Подставляя ( I . 6 I )

в

выражение

(1 .5 0 ) ,

можно получить соотношение

„

ш пульса

]

(1 .6 2 )

Подставляя соотношения

(1 .6 0 )

и (1 ,6 1 ) в (1 .5 3 ) ,

для натяжения

А с '

щ(1 .6 3 )

'ds,[г, х ра, яч. ,е*),яр]

Соотношения

( 1 .6 0 ) ,

(1 .6 2 )

и (1 .6 3 )

представляют

собой общее

реше­

ние

системы

канонических уравнений

( I . 2 I ) ,

(1 .3 2 )

и

(1 ,3 3 ) .

Таким

образом, имеет место следующая теорема.

Теорема.

Пусть

соотношение

(1 .5 5 )

представляет

собой полный

интеграл уравнений Гамильтона-Якоби

(1 .5 2 )

»

(1 .5 3 ) . И пусть

отли­

чен от

нуля

следующий гессиан:

h 2s

<Ф0.

Кроме

того ,

пусть

f

дх к Ас',

произвольных постоянных.

- набор независимых

Тогда общее решение системы канонических уравнений

(1 „ 2 1 ),

(1 .3 2 )

и (1 .3 3 ) дается соотношениями

(1 .5 9 )

-

( 1 .6 3 ) .

С л у ч а й

о д н о р о д н о й

н и т и .

Пусть лагранжиан

Lq

,

определяемый

соотношением ( I . I 6 ) ,

явным образом не

зависит

от

I , т .е .

£ = s (Т ),

= х ° =

const,и

=и ( х 1) .

В

силу соотношения

(1 .2 8 ) гамильтониан

(1 .2 4 )

тогда также явным образом не

зависит от/,

В этом случае полный интеграл

уравнений

(1 .5 2 )

> (1 .5 3 )

находим

в виде

S = r l + S ^ ( x i) l

(1 .6 4 )

тд&

Т° - произвольная постоянная,

соответствующая интегралу для

натяжения системы канонических уравнений ( 1 ,2 1 ) ,

(1 .3 2 )

и

(1 .3 3 ) .

Подставляя выражение (1 .6 4 )

в

уравнения

(1 .5 2 )»

(1 .5 3 ) ,

получаем

J £ (Т) d T = Т°+ з е ° U ( х 1) ,

(1 .6 5 )

( 1 . 66)

Яд и (х *; - >- - п (х *), х г-+-х 1,р. -*■ ~р1 .

(1.72)

преломления

л и потенциалом U ,

а также между краевыми условиями

в задачах геометрической оптики и

равновесия однородной нерастяжи­

мой гибкой

нити. Тогда в силу указанной

вш е аналогии решение од­

ной из этих

задач может быть получено из

решения другой.

между моделью гибкой нити и моделью

твердого тела в феноменологи­

ческой квантовой теории /1417• В связи с этим отметим, что В .С .Т к а -

лич построил универсальный алгоритм

квантования

нелинейных динами­

ческих систем, представляющий особый интерес для

теории деформируе­

С л у ч а й I . Расщепим фазовое пространство

статики нити

на следующие три подпространства:

О х * , р

( * = 7 , 2 ) ,

2) Z

9 3 Р3 .

(1 .7 3 )

3)

Г.

Тогда выражение для действия

(1 .4 4 )

и. функция Гамильтона (1 .2 4 )

примут соответственно

вид

а\

S =\ (PcC ^ ^ 9 ’^ - H) d l ,

(1 .7 4 )

Ь)

г

н а . Т, х *

РаС, z,

9) a -

j f / д r(pf i - f f i )(Pr

-1>r )+

.*■

-

з н

7

(1 .7 6 )

X

-Z----

Эр*

II

1

*

(1 .7 7 )

\

•

-

дм

(1 .7 8 )

х

—— ,

dq.

(1 .7 9 )

II

(1 .8 0 )

помощью соотношения

/V ( ( J , x

cl.p aC, z , q ) - p f l x Ji,

( I . 8 I )

где гамильтониан н { l ,

Т , -г ,

р

z

, q

) определяется

соотно­

шением (1 .7 5 ) . Исключая с

помощью уравнения

(1 .7 6 ) импульсы р * из

выражений для функции Рауса

(1 .7 5 )

и ( I . 8 I ) ,

получаем

R ( l,T ,x * ,± * ,x ,g )

=

U -

х^ф^ *