книги из ГПНТБ / Салтанов, Н. В. Гибкие нити в потоках [монография]

Т

■Р й -^ s cosy, п

■ = s.

(1У .78)

*

о у

'

д<р

Подставляя второе

из соотношений

(1У .71)

и соотношения

(ТУ .78)

в соотношение (1 У .7 4 ),

записываем

,

п др _ w casyl*

2

(1У .79)

Опреде,лим величину

Q,Jp 0

n ' n ip

v - g * -

- ^ г I / * Л 1

- % ) ds-

(1У .80)

С помощью выражений

С/

и

(1У .57)

находим

(1У .54)

~е_ ■-ДД

cosy,

■- р

=

-leas 2у +s.

(1У .81)

z

Подставляя второе

из соотношений

(1У .74) и

соотношения

(1У .81)

в выражение (1 У .8 0 ),

получаем

Kn dp J j Z cos у -fl у cos2y-

,]р ^ c o s y l 1

* п ~

2

'

2

■s y j ^Zcos y+ ly c o s 2 y -s y J (lcos2y-s) Us.

ц у

g g j

Пусть имеет

место

неравенство

(1 У .6 3 ).

Тогда соотношение

(1У .68)

переходит в следующее:

^

=

Р о г .

О У .83)

.Выражения (1У .72)

для.

,

(П .75)

для

Q p

, (1У .79)

для

0 .!р

и (1У .82) для

QSP

принимают вид

//

тр

^

Q'u

-Q*Z1 =

-

— 2 ^ f

( ^ + sY /( i* sv)

,

(1У.84)

о

Q ip

= q f r =

2

1

+ Sy / ( i + s y ) s d s .

(1У .85)

JUsL______ Kn ^ L J (

z

0

Подставляя выражения (1 У .6 7 ),

(1 У .6 9 ),

(1У .72)

и (1У .75)

в

соотношение (1 У .6 5 ),

находим обобщенную силу

:

Р0 +2ш1

j"

j z

cosy +

+s<j>l(Z cosyi-sy) ds + J

/

Q

j Z

cosy-f- ly c o s2 y -

o

- * у / C t cosy * lycos 2у

- s y )

ds .

( 1 У . 8 6 )

Пусть

выполнены неравенства

иг-'О,

г >-а, z +if>o .

(ТУ .95)

Тогда находим

г

г

d s ■

f f z +s<f>/(Z + s y )d s = J

(z * s (f)

0

- l

( z * +

i l < f

*

0J^

)

,

(1У .96)

J

(Z + sf)sd s = J"(Z+s<f>y sds =.

(1 7 .9 7 )

■

4

( г Ч

и

^

щ

,

2

I

3 ~

'

'

’

2

Подставляя выражения (1У .96)

и

(1У .97)

в уравнения (1У .93) и

(1 У .9 4 ),

соответственно

получаем

= PQ+2 w l - Хп d p i

(Z 2*ZI<P+

(1У .98)

(

у

4

4

4

1

4

)

^

~Po + m i - b i i £ L

( z 2+

j

i i ? +

~

^ y

(1У .99)

Выберем в качестве

характерного

масштаба времени 4

значение

t

= ,/ ^

W

(1У .100)

*

-

у

~ 4Ро

Введем далее

следующие безразмерные величины:

у

_

*

(1У .101)

х =

Т ’

(1У .102)

L*

Р„

(1У .103)

(1Р Я кп dp911 ’

Г

7П-

(1У .104)

*п * Р 1

Г,иг

а

2/-Ш/1

(1У .105)

Ро

=

/г

24 EI

(ТУ .106)

Рпг2

Тогда система уравнений

запишется

следующим

(1У .98)

и

(1У .99)

образом:

(Р р +гР )К + (Р р *Р )

. < а ж

-

(ТУ .107)

^ А - а'

2 + 3и Ф + ^ ) -

(1У .108)

Пусть выношены неравенства

w < О, Z <0,

Z * Itf < о .

(1У Л 09)

Тогда находим

;

1

J /i> - s f) ( i+s<p)ds = -у (z +зу)гd s - - l ( z 2 ,

(1 У .Н 0 )

*

Далее

получаем

[ j Z t S<tj d

* S f) sds = ~ ^

( z

f s ? ) 2sds =

J

П

i 4

2

(1 У .Ш )

J -

Подставляя

соотношения (1У .110)

и (1 У .1 П )

в уравнения

(1У .93)

и (ТУ.9 4 ),

соответственно получаем

( j * 2m' l) i +(i$ +m' 1)

г^ =

=р0 - 2 1 4 ***п 4 p l ( i 2+ Zl?+

! ?3£ ) ,

(1 У .И 2 )

2 4 П

— У

(ТУ .И З)

= P0 - / u , l l , J ^ P l ( z 2, i z i y , ^ f )

Используя определения. (1У .100) -

(1 У Л 0 6 ),

уравнения

(1У Л 12)

и (1У Л 13)

записываем в безразмерном

виде

(p P +2p ) ' i +

(РР + в )Ф =

(1У Л 14)

+

)

з

*

} ’

2((‘pft‘)i;+ 2(iup+§ p ) r + Y f ‘

f t 1* !

(1УЛ15)

Пусть выполнены неравенства

ш < о,

Z < о , Z

* l<f .

(ТУЛ 16)

Таким образом, в каждый момент времени существует такое

s ,

удовлетворяющее

условию

(ТУ Л 17)

о < S< I,

для которого

% ■* Зу> = 0.

(ТУ.ТТ8 )

Из условия

(ТУ.1 1 8 ) получаем

у — ? .

(1У.ТТ9)

7

*Г

+ s<f)2 cts +

J j Z - t 3<f>/(Z+s<p) ds --J ( i

s

s

"Г

jo

3 v

n

Исюгочая отсюда величину

с

помощью выражения (1 У .П 9 ), на­

ходим

(1У Л 20)

о

т

Аналогичным образом получаем

г

(%+ $р)2sds ■

J / z + s<f/(z+sp)safs = -J

о

J7 (z+sffs

.

4г /о

3*Z to

3 .

.

+ ( Z * S f ) P

Z ( Z + s y ) 3 11

4<f2 fi

• v

, ,

Исключая отсюда величину

s

с

помощью соотношения (1 У .1 1 9 ), нахо­

дим

J

j

Z + s<f>jl'Z + s<pj sds *

(1У .121)

0 Z 4 + ( 3 1 < f> -Z )(Z + ly )3

12 у г

в уравнения (1У .93)

Подставляя соотношения (1У .120)

и (1У .121)

и (1 У .9 4 ),

соответственно

получаем

( % . 2 mel ) i

+ ( f

l

. mei )

I f

,

p0 - 2 / w/ i -

■ z i + a - r i y ) t

( 1У Л 22)

mP0'lm /l'

J c ‘

<f =

(1У Л 23)

*n P d l(31r-Z )(Z +7f)3-Z 4

7ГР

G помощью определений

(1 У Л 00)

-

(1У Л 06)

уравнения

(1У Л 22)

и (1У Л 23)

в безразмерном виде

запишутся следующим образом:

{Г р +2Р ) * + ( Р

р

=

(1У Л 24)

=

_ i L t L t i U l ,

4

3 f

’

2 ( Р р

+<“ ) %

+ 2 (< “ р

< § t “ )

Y + - J - Y -

_ Z-Гиг

( * - З г ) ( ? + г ) 3

(1У Л 25)

4

6<j>2

Таким образом, для трех различных случаев

(1 У .9 5 ),

(1У Л 09) и

(1У Л 16) в

безразмерных;

переменных

в

явном вице записаны соответ­

ственно уравнения (1У .107)

и (1 У .1 0 8 ),

(1У .114) и (1 У .115), (1У .Т24)

и (1У .125)

для определения

величин 5 и

у

.

Зная величину

, с

помощью соотношения

(1У .43)

можно определить

величину максимальной

стрелки прогиба А .

В общем случае решение уравнений (1У .107)

и

(1 У .1 0 8 ),

С1У.114) и

(1 У .1 1 5 ), (1У .124)

и

(1У .125) может быть полу­

точенного

груза

( 1 = 0 ,< и р

=0.

Ц У .126)

Сначала

рассмотрим случай

(1 У .9 5 ),

(1У .107) и (1 У .108). С уче­

том условий

(1У .126)

уравнения

(1У .107) и

(1У .108) перепишутся в

следующем виде:

i Z +

+

о

4

=

(1У .127)

3

ь

—

2

т

4

= О.

(1У .128)

2

Разрешая уравнение (1У .127)

относительно % и учитывая, что

согласно

(ТУ .95)

должно быть

£

>0

,

находим

i

= I/

4

у2

i

(ТУ .129)

*

'

12

' 2

Пусть

имеет

место

условие

Г 2

«

1.

(ТУ. 130)

Тогда, проводя в

3 (1 */иг)

разложение

и пренебрегая

соотношении (1У .129)

в полученном выражении величинами порядка

у>4 и выше,

получаем

V^Tw

t _

? 2

.

(1У .131)

2

2

12 у 1* / w

Подставляя соотношение (1У .131)

в

уравнение (1У .128) и приводя

затем подобные,

находим

Л + ) Ш Б 6, + R < f -

*

= о .

4

$

у I

3 6 y lT ft=г +

iur

144 (1+fw)

Пренебрегая здесь

в силу

(1У .130)

четвертым и пятым слагаемыми,

получаем следующее уравнение:

= —

------

( 1 - 2 7

9 ) .

(1У .132)

« +

2 У Т Г ^

1

17* ? )

Решая полученное уравнение и удовлетворяя с помощью полученно­

го решения условию

’ Д . * о

= о

(ТУ.133)

‘

приходим к

следующему весьма простому соотношению

V -~ —f l - e x p f -

__

(1У .134) .

Из выражения

(1У .134)

следует,

что

угол

f

является убывающей

функцией как параметра

,

так и

.

Пусть

имеет

место нера-

венство

3 7 *

*+

«

/.

(ТУ .135)

Тогда, проводя в выражении

(1У .134) разложение

экспоненты в рзд

и удерживая при втом слагаемое,

пропорциональное

^

,

получаем

з и

f

,

з Ге

tt

ч

(1У .136)

/-

2 г тгй .

ПУСТЬ

-

0.

(1У .137)

Тогда

соотношение

(1У .136)

так

же,

как

и соотношение

(1 У .1 3 4 ),

принимает

следующий ввд:

г

т-

(ТУ.138)

2 У 1 + й

Подставляя выражение

(ТУ .134) в

неравенство

(ТУ.1 3 0 ),

записы­

ваем

3 ехр

-

е 7е ч

V1+7i

«

и

4

( ^ 7 4

2

>0 ,

Полученное неравенство выполняется при всех

если оно

выполняется при

t+ - 0 . При

t+ = 0

неравенство

имеет

вид

3

1.

(ТУ.ТЗЭ)

4 ^ 7 Ч

г

Рассмотрим случай

(1 У .1 0 9 ),

(1У .114)

и

(1 У .1 1 5 ).

С учетом усло­

вий (ТУ .126)

уравнения

(Т У .П 4)

и

(1У .1Т5) запишутся в

ввде

V

.

Тщ-1

(ТУ .140)

Ъ г + Ч> +

(ТУ.Т4Т)

Отметим,

что

поскольку

для существования решения системы уравнений

(1У .140)

и

(1 У .14 Т ),

удовлетворяющего

условию

(1 У .1 3 3 ),

заведомо

должно, быть выполнено

условие

v

(1У .142)

/ш

Разрешая уравнение

(1У .140)

относительно

£

и учитывая, что

согласно (1У .109) должно быть

\

< о

,

получаем

(

- S . .

з< Ги ,-»

(1У .143)

2

Пусть

выполнено неравенство

Ф2

« 1 .

(1У .144)

Тогда,

проводя в соотношении

(1У .143)

разложение

и пренебрегая

в полученном выражении величинами порядка

выше,

находим

Ф

Фг

(1У .145)

2

2

+ «

^

7

Подставляя выражение

(1У .145)

в уравнение

(1 У .1 4 1 ), имеем

п

Ул .

_

Г

=0.

6

4

2

3 e y f ^ J

t * 4 (Twr i )

Пренебрегая в полученном соотношении в силу

(1У .144)

четвертым

и пятым слагаемыми, записываем

d4>

3

(1У .146)

e ft

2 VJwr>

Решая полученное уравнение и удовлетворяя с помощью полученного

решения условию

(1 У .133),

находим

(1У .147)

Из

соотношения (1У Л 47)

следует,

что

угол

f

является

убывающей

функцией как параметра

,

так и р

.

Пусть

имеет

место

неравен­

ство

3Ге

«

1.

(1У .14В)

Тогда,

проводя в выражении

(1У .147)

разложение

экспоненты в ряд

и пренебрегая в

получении

соотношения

величинами,

пропорциональ­

ными

и.

выше,

получаем

3t+ =• ( f -

Щ

к =

)

(1У .149)

2Vjut~-1 ''

гУ т ГР '

Пусть

имеет

место

соотношение

(1 У .1 3 7 ).

Тогда выражение (1У .149)

так же,как

и выражение

(1 У . 147),

принимает

следующий вид:

3t+

Y =

(1УЛ50)