книги из ГПНТБ / Салтанов, Н. В. Гибкие нити в потоках [монография]

где

?к -

единичный вектор,

касательный

к -му стержню,

величина s

пробегает

значения от

0 до

/ .

Дифференцируя соотношения

(1У .8)

и (1У .9)

по времени, находим

7, = Z e z + 3 ^ п7 ,

(1 У .1 1 )

Г

=

*

*'г

v

п

+■S ф

гг

, к=2 ,.

/V

(1 У .12)

Z е

+ 1 У

*

z

p , t rp

р

'*

*

л

к

К

«*

* Д*

JC '

'

(1 У .1 3 )

= - sin <Р.

7

* cos

6»

е"

,

к =/,2,..., Л.

Из соотношений (1У .11)

и

(1У .12)

получаем

радиусы-векторы уз­

лов,

т .е .

шарнирных соединений

p=t

е

* * f , 2 ___ /К-/.

(1У Л 4)

Для радиусов-векторов сосредоточенных грузов из

СТУ.IT )

и (1У .12)

имеем

- ZIz + ll

*р ’

а -

’>■■ >J -

(1У Л 5)

р »1

&

Дифференцируя

(1У .15)

по

времени,

получаем выражения для скорос­

тей

сосредоточенных

грузов

7*

= Zt+l f

?

пв,

’2

la-t

z

L

~р

р ’

Вычислим кинетическую

энергию

p*t

Она складывается из

у5 системы.

суммы кинетических энергий

стержней и грузов.

Для кинетической

энергии первого

стержня с

помошью соотношений

(Г У .II)

и (1У .13)

получаем

T

^

^

- ( i 2+ Z lv ] cos9 j + ' ^

. y

(1У Л 7)

Для кинетической

энергии

к -г о

стержня

( к

=

2 , 3 ...............N )

с помощью соотношений

(1У .12)

и

(1У .13)

находим

k-/

T

^

J Z

l j z ’ . H Z Z

ч>р cos

*

+ l

l

Vp 9 ,cos(4 >

-< r ) + l < p [ Z c a s v

+

P.i->

*

* 1

Г

(* ,- * .)]>

Z

f J ,

(IJ-Ie)

Для

кинетической

энергии

(2 a

-

I )

-г о

сосредоточенного груза

( а

= I ,

2 , . . .

,

N/Z) имеем

Т*э

я 5 .

( ?

у

2а-1

2д

гаш'*

ъ

1 ,2 ,...,

fl/,

(Г У .22)

где индексы " с и р

вверху

означают, соответственно,

"сосредо-

точенный" и "распределенный".

Определим обобщенные

силы,

обусловленные

сосредоточенными гру­

зами.Для радиуса-вектора сосредоточенных грузов имеют место соотно­

шения (1 У .1 5 ). Тогда

№

1f r iSLj.

Р

Ь

К - 1

3Z

а=1

Подставлял

сюда выражение

(1 У .1 5 ), получаем

а с _

НР0

(ГУ .23)

Далее

-

&

д Т -

Ъ

L

го‘

z

д 9

а=!

-z

тъ

Отсюда с учетом выражений (ТУЛЗ) и

(1У .15) тлеем

/7/2

2а-Г

(1У .24)

% * Ро г 1 I

С° ^ р ^ р Ъ

П‘ 7

р=/

7)+7

Пусть

Ъ

- нечетно. Тогда при

г

суммы в

а <

—

внутренние

соотношении (1У .24)

будут

равняться

нулю. Ненулевой вклад в выра­

жении

(ГУ .24)

будут давать

те

внутренние

суммы, для которых

^21

$

а

&

У .

Число

этих

сумм

Таким образом,

a-t-v

- N-1+1

п с

М -ън

Ъ

-

нечетное.

(ГУ .25)

Ъ

P _ l cos у

2

0

* 'ъ

Ъ+2

Пусть

Ъ

четно.

Тогда при

а

<

внутренние суммы в

соотношении (1У .24)

будут

равняться

нулю. Ненулевой вклад в выра­

жении

(ГУ .24)

будут давать

внутренние

суммы, для которых

£

* а

* т

Их число:

(

% -

Ъ+2 ) ^ /

-

-4-^ .

2

*

2

2 /

2

Таким образом/

#/=

Рп I

co s

,

Ъ

-ч е т н о е .

(ГУ .26)

Ъ

2

0

Ь

Определим обобщенные силы, обусловленные распределенной плаву­

честью и распределенной силой гидродинамического сопротивления

вязкостного происхождения. Пусть касательная составляющая силы

гидродинамического

сопротивления пренебрежимо мала. Нормальную

стержней

с помощью соотношений (1У .11) и (1У .12)

получаем

", * ( Z C0S % * S <fj) ”,

,

(1У .27)

l

Zcos<f ^ l l r <fp c°s(-fp - Vk ) ^ ? k] Z k ,

(ly<28)

В результате для силы, действующей на'единицу длины первого

стержня с

помощью соотношения

(1У .27) получаем

J 1

= и>е- -- X.ctfi Z cos^+Kf^Zcos^+JY^TГ .

(1У.2Э)

z

2

Для силы, действующей на

единицу длины Л -го

стержня

(■* =

2 , 3,

. . . , /V )

аналогичным способом с помощью соотношения (ГУ .28)

за ш -

шем

г

*

K „ d p и

А

1-1

—г -/

/ l L f

<fp cos

Величины

Qa и

P выражаются через

силы

д

( k

= 1 , 2, . . . .

N ), следующим образом:

(1У .31)

Ы

О

3 Z

(1У .32)

*

*•/ {

Л

а?в

и

(1У .9)

получаем

С помощью соотношений

(1У .8)

drt

= К

,

(1У .ЗЗ)

dZ

Sr,

= s ^ A i >

(1У .34)

дч>.

d<p

(1У .35)

D * f

Подставляя соотношения

(1 У .2 9 ),

(1У .30) и

(1У .ЗЗ)

в выражение

(1 У .31), имееи|

$z =J

[ w - ^ y - J z cos cf7 + S(ft

Zcos97

s y j

cos f

j ds f

* 1

f

( v -

^

f i c o s c f ^

i f

фр cos (9p -?k )+s?t / *

* 4 .

0

f-/

(1У 36)

* [Z c o s Yk * l

2

Vp cos (?/>’ 'f>* ) * s A ] cos V *f as ’

н

г

*L ^ f f w ^z -

i i0 S % +

i-t

ZP cos(Vp-Vk)^ ^ kH

i-f

+ 1L1

Zcos?k* l l ^ p cos.

( y r t ) *s * k ] * k K l t

”f

(1У .37)

i> * * * Л г ) а *’ Ъ‘ г-2..... »■

При Ъ = I из выражения

(1У .37)

получаем

Q7P=J £ wcos <f>7 - b d £ .jz css ?t +srjx

7 *

^

^

f

x f i c t S V ' + S f l t s d s + l l

f

/

W COS Cfj -

- h ^ p j z c s ^ i

a cos(y>p- y j+ s y j x

'

P‘>

/

При b = 2 , . . .

,N

из (1У .37)

следует

qp= i l

J j wcos5^

- ***£.!Z coS?i t

y

cosfop-fy)* s f k

Z c o s ?f: +

'

p%;X’/

n-J

l l

t *p °°s ( у

ъ ) *

* у

« » (9„ -V t j

d s +

*J

f ~

**d p

/

•

+ Z £

vT

tf

cos*

1

WCOS S^----------j

Z COS <РЪ

О I

^

/

P‘t P

K

^ P' vi'>*s Zl j

^

c o s ft

*

7p

c°s*

'

(Vp-V^ + s ^ J J sds ,

Ъ* 2 , . . . ,

N.

Таким образом, в рассматриваемом случае задача

сведена к

реше­

нию системы

(/V

+

I )

уравнений (1У .1) и (ГУ .2)

для определения вели­

чин Z

л f

,

i

=

I , 2 ...............м . При этом величины

Л ,

и

Qk

определяются

соотношениями

(1 У .З ), ( 1 У .4 ), ( 1У.20) -

(1 У .

2 3 ), ( 1 У .2 5 ),

(1 У .2 6 ),

(1 У .3 6 ),

(1У .38)

и (ГУ .3 9 ). Зная углы

^

,

величины мак­

h™ = I

(1У .40)

Отсюда при малых fk

А?

тЧ ъ / -

(1У,41)

Решение указанной выше системы уравненmi представляется целе­

сообразным получить с использованием ЦВМ

(поскольку, например,

уже при

N = 2

получение

решения

этой системы

аналитическим спосо­

бом оказывается

затруднительным.)

В соотношение для потенциальной энергии упругой деформации ни­

ти (1У .4)

входит постоянная

С .

Определим приближенно

связь

этой

постоянной с

изгибной жесткостью

нити £/ . Рассмотрим

случай,

ког­

да все

стержни

(см .р и с.6 )

составляют с

осью

х

одинаковый

по моду­

лю угол

(

f

или - < f,

Тогда для

упругой энергии

у /

,

приходящейся

на два

соседних

стержня, согласно

принятым выше допу­

щениям запишем

V j

=

4С9 *.

(1У .42)

Очевидно, что при малых

f

максимальная величина прогиба

стер­

жней Лт связана с углом

у

соотношением

h m=i<p.

21

(1У .43)

Далее

рассмотрим отрезок

нити длиной

,

характеризуемой

по­

перечной жесткостью

Е I

. Энергия

/у7

его

упругой деформации

имеет вид /8 2 ,

136,

1377

Я

[

‘( i f * ) * * '

(1У .44)

»

2

I

\ дх2)

положен вдоль оси х , z -

смещение нити из равновесного положе­

ния. Введем безразмерные переменные

jp

Г £ — ■

(1У .45)

21

4

21

придадим следующий

С учетом определений. (1У .45)

выражению (1У .44)

вид:

w .3 = £ 1

Г ( l i z ) * ? .

(1У.46)

«

41

J (

d f t )

В качестве Функции

выберем Функцию

(1У' 47) ,

Нетрудно видеть, что

есть

максимальное

значение

величины

f , которое достигается

при f

=

0 ,5 .

Заметим,

что выражение (1У .47)

удовлетворяет уравнению

равновесия

балки /136,

1337 с постоянной

по длине распределенной нагрузкой

и следующим краевым условиям:

■

- Я

с = /

г

- И

= 0.

(1У .48)'

f

'

‘г

Величину 2 определяем из

условия

равенства величин максималь-

7 /71

ных стрелок прогиба стержней и рассматриваемого отрезка нити. В

результате получаем

<р

(1У .49)

? т ~ 2

Подставляя выражения

(1У .47)

и

(1У .49) в

выражение (1У .46) и

интегрируя, находим

/

6 4 П ? 2..

(1У .50)

51

Приравнивая выражения

(1У .42)

для

У? и

(1У .50) для

W? , на­

ходим связь постоянной С

с

величиной

'£1

:

С - 3 ,2

И ,

т . е .

С

(1У .51)

г

г

Схема задачи изображена на

ри с.7 , где

I -

длина каждого

стержня,

те и

w -

соответственно эффективная масса

и плавучесть

единицы

длины. Левый конец

стержня

I может без трения скользить вдоль оси

z ,

правый конец стержня 2

может без

трения скользить вдоль пря­

мой

г = Z

, где

Z есть

%-координата левого конца стержня.

В точке шарнирного

соединения стержней расположен сосредоточенный

груз

Р0 . Рассматриваемая система обладает двумя степенями свободы.

В

качестве обобщенных координат

этой системы выберем величины

Z

и

f

. Подставляя

соотношение

(1У .51) в

соотношение (1 У .4 2 ),

полу­

чаем выражение для потенциальной энергии

системы

r, = Zez + Js i >

=

costpT. +sintpTj. '

О i s a

l ,

(1У .53)

r ^ Z e ^ l y s t ; ,

e^ = costp ?x -s/n

<pe t

о £

s *

i.

(1У .54)

С помощью соотношений

(1У .53) и

(1 7 .5 4 )

получаем

Последовательно находим

,

г .

J r /d s =

I ( Z z + Z l<j>cos<p / г 2? 2 )

(1У .59)

- T ~ J ’

r

2j

= Z 2 * 2 Z U p c o s y > ■+ l 2 <f2 ,

(1У.60)

J

~r2d s= l^ Z 2+ Z h fc o s Y -t^ -c o s 2 < p Jl2f Jz .

(1У .61)

Подставляя соотношения (1У .59) - (1 Г .6 1 ) в соотношение

(1У .58),

щенные координаты

Z

и </>

:

Т?

v те^%1<рсоз<р+

'/£'■?Y/-

(1У .62)

Пусть

квадрат угла

у

мал по сравнению с

единицей,

Y2

« ? .

(1У .63)

Тогда соотношение

(ТУ.62) принимает

вид

■t (Л - у. !HjlL\ г2<f2 .

(ТУ .64)

\ 2 д

3

J

ъычислим обобщенные силы Q-

и

рассматриваемой системы,

соответствующие

обобщенным координатам

Z

и <р

. Имеем

rjp

(1У .65)

о* =q-,e *aJP’

’

(ТУ .66)

где

и

Ц-

-

^

V

V

сил,

обусловленных сосре­

составляющие

обобщенных

доточенным

грузом

Р0

, Q^p и

Q^p -

составляющие обобщенных сил,

Определим величину $z>

l

dr,

с = -

I ez ■

d s

j z

I

о

(1У .70)

" T ^ jf

1 К * , 1

(% '* ,)(* , • - % ) * >

щей относительной скорости,

Кп

-

коэффициент

сопротивления нити,

р

-

плотность жидкости,

d

-

диаметр нити.

С помощью соотно­

шений

(1У .53) и (1У .55)

находим

dr,

Z c o s f + s f ,

Jr ,

cos ?■

(1У .71)

■z ■- j £ - 1 , n ^

/у

JZ

Подставляя соотношения

(1У .71)

в

выражение

(1 У .7 0 ),

находим

п!!Р

= m l -

Кп p d c o s f

=

~

dfiCOSCf^Jj

% C0Sf + I f COS2f-

- S f /

i /

i

0

\

(1 У .75)

/

Z cos f

+ i f cos 2 f

- s f )

ds.

Для величины Q Sp

имеем

q l/>. Q'-p r q

’JP

(1У .76)

4 f

4 f i *р г >