книги из ГПНТБ / Салтанов, Н. В. Гибкие нити в потоках [монография]

Тогда уравнение (П1.145) запишется в виде

gt 2 4 л

J~2 У ' ' 2

(Ш.14Э)

dt

ds2

z /s .o -°> * / s . r 0'

( Ш Л 5 0 )

h

(Ш.151)

Решение задачи (Ш.149) - (Ш .151)

ищем в

следующем ввде /737:

Z « V

+ и * ,

(Ш.152)

м / • = 0,

~

/

. 0

(Ш.155)

условиям, a

w

/ 1-0

’

dt t t*t>

решение

однородного

уравнения

2

d2l/~Ur

(Ш.156)

d t 2

i

dt

a

-r~ , - 0,

d s 2

удовлетворяющего

граничным

w /

= о , w

/s=i

=o

(Ш .157)

и начальным

/s-ff

’

(Ш.158)

условиям. При получении решения задач

(Ш .153) - (Ш.155)

и (Ш .156) -

(Ш.158) используем разложение функций в

ряды Фурье /73,

90/ . Реше­

ние задачи

(Ш .153) -

(Ш .155)

ищем в виде следующего ряда:

v ( s ,t )

=

7

Г

(t)

sin

£k£x £s .

(Ш.159)

k-i

1

L

Подставляя выражение (Ш.159)

в уравнение

(Ш .153), записываем

00

/ d 2L

7

* Г*

I

(

£- +Z г

—£ +

ы

I

d t 2

'

dt

а>2

Т )

sin ы $

9 <»,*>,

(Ш.160)

к

к/

Ы а

(Ш.161)

L

ff

( s , ( )

дк (t) sin

(01.162)

k -'i

(01.163)

h (i) ° f

f

Подставляя выражение (01.162)

в

соотношение

(10.160),

для величины

Г

( t

)

получаем

следуидее

линейное

неоднородное уравнение второго

rt

U

)

порядка

-----i

t г

dL

+ со2

T,

=

q,

( t )

■

(Ш.164)

— -

к

d t 2

>

d t

к

J k

Решение

этого

уравнения,

удовлетворяющее

условиям

Т /

* а

°Ц*_ /

_

о

(01.165)

имеет

вид

* f

*•»

'

ч * ! i-.O

"

'

Т,~'SF<ir c - O J

‘

1

Р*

J $ к (Т> d T '

(01.166)

е "

* '

^

р

рЬ т? / f^

^

h

(т)

(01.167)

к

'

о

*

> *„

,

где

целое

число

Л,

определяется из

условия

Величины

ы к и

ш* .

< Г г < й >{,+1

(**>'<>)■

(Ш.168)

связаны

с

величинами у

ъ

сок следующими соот­

ношениями:

0<jf 5

j / f г-

<У^ ,

ySj,

+

•

(01.169)

Подставляя соотношения (Ш .166) и (10.167) в соотношение (01.159),

получаем.

kxs

i

r

<4(r-i)

j3t (c-t) 7

,

i

r

Ctrl/'

- е

(Г) а'г+

-П\

kXs

+ в

31Л —~

К Г у / б 1 * - г 2 '

J

е Г ‘* ”

- Г 2

(01.170)

9

•

к

о

ф

Решение

задачи

(Ш .156)

-

(01.158)

также

ищем в

виде

ряда Фурье

w ( s ,{ ) = £

0f

(t)s,n Ц £ ..

(D1.I7I)

Подставляя соотношение

(01.171)

в ^уравнение

(01.156), для величины 8к

получаем

d 2Bi.

i со2 в

= О,

(01.172)

к

к

Общее

решение

этого

уравнения имеет вид

к

£

к

(Ш.173)

вк =е ^ ^Ск cos /co2j2 t +1)^ s/n

р'2 t ) ,

*

*

*j,

,

(Ш.174)

где

b>t

,

uA

и

определяются

соотношениями

(Ш.161)

и

(Ш .169), a

число

к

-

из

условия (111.170);

А

,

В

,

С

и

Л

-

произвольные

постоянные.

*

Подставляя выражения

(U 1.I7I),

(Ш.173)

и (Ш .174)

в условия

(Ш Л58),

получаем

kiTS -

?

г

„„

*srs

(Ш .175)

(Ak +ek) sin ~ r+ L

ck s,n

/

k~o * .

1

v

7

l

У (s)

= ~ 1

(ы А A *

fii

B,

)

s/n

— * -

- г У

C s/n

“

у/~шг - тг

Д

AsCS

(Ш .176)

* * L + Г

s/тг f

f

l .

k ,n

1 t * ’ '

k '

*

L

постоянные Ак ,

Находя с помощью соотношений (Ш.175) и

(Ш.176)

В,

,

С,

и

Ъ.

, записываем

'/ /А

к

(Ш.177)

ц

* Pffkjs/n

J j L l

4 %,

f

J

L

ношение (I11.I7I), для функци^

w

( s ,

t )

имеем

w

(s,t)

= £

(А к e ' At t

е

■fit*

kits

)

s / " —L

+ e

£

( ck

sos

/ со2 - j 2

t

* J>f s/n /cn£-f2

t ) .

(Ш.181)

ktcs

Где

постоянные Ak ,

8k

, Ck

и

$k

определяются выражениями

(Ш .177) -

(Ш .180).

Из выражения (Ш.181) можно ввдеть,

что функция w

( s

, t ) убы­

вает

во времени по

экспоненциальному

закону. Поэтому в дальнейшем

у =

д °

(s) sin S t .

(Ш.182)

Тогда, подставляя выражение (Ш .182) в

соотношение (Ш .163), записы­

ваем

9ъ

= 9 i

sin

Q

(Ш.183)

9°k

= /

/

9

° ( f ) sin i p

d g .

(Ш.184)

Подставляя выражение

(Ш.184)

в

выражение

(И1.170),

получаем

,

*>

д ° sin

х

iy .. .4

х J

!

е * *

^ i} -

в /3*

sinS2td<T +

- r t z

ix s

+

е

h

S/n

L

'

У

xJ

У а 1 - г 2

(ШЛ85)

e

s/n

■}/ai* - у z

( t -T) sin Q<C d<T.

/

X.

„о

s/n

*sts

'

A

- г -

V (S,i) = j

I

~у—- -

. i

X

y

f 7 '

-c<.t

oLj. sin J? f

- Q cos Q i

+ i?e

■ [-

Ak sin Sit

- Si cos Jit -x S? e~

l

ktrs

-/

К # ’

4

k+1

X

^

у cos Si t

*

( Si -X gk ) sin Si t

-t

*

[

sf n

* " 7 C0S% b]

6

-

ык *

^

1>Л -

* >>1’ Г* > > Л

( Ш . 1 8 8 )

Тогда выражение

( Ш . 1 8 6 ) для функции

v ( s , t

) упрощается и прини­

мает вид

к,

g o s/n ш

V (S,t)

= 1 I

Лу:--------L .

*

•^

о

V f - СО*

f s i n Q t

- Q cos Qt

/if

sinQt - Qcos Q t

j

7

: fil , *

r

4

°°

9k

sin

[

/

co sa { * (G + <lk)sin Q t

H

*»

/

~ f

2' + (<?f *Q )‘

J cos Q t

+ ( Q - <!k ) sinS2i

? 2 + ( Q - t k ) 2

(Ш.189)

Введем угол f

с помощью соотношений

COS W

-

я *

'к

У(со* - Q2) 2 * 4 j 2Q2

(Ш .190)

Sin?

2 jQ

Y (to2 -Q 2) 2 + 4r 2 Q 2'

v(s,t)= £

У/ sin

1,п ( Я * + ? к )

( Ш . 1 9 1 )

*-/

/ ( а 2- Si2) 2 + 4 f 2Si1

Напомним, что величина

у 0 определяется согласно соотношениям

(Ш .148),

(Ш .183) и (Ш .184),

% ъ f -

согласно соотношениям (Ш. 146),

(Ш.147)

и (Ш .161).

Дифференцируя соотношение (Ш.191) по времени, получаем выраже­

ние для

скорости и ускорения

ix s

о . ..

l!L -

o r

9к S/n

Т C03( Q i*Vk>

(Ш .192)

dt

*■ /

V (со2-

Q2) 2 + 4j 2Q 2

(Ш.193)

dt2 =

-

S 2 7 V - .

У" = Я f i f ,

(Ш.201)

W * = Q ZX *.

(Ш.202)

равны нулю. Для нити кругового сечения

имеем

М = £ j°/f .

(Ш.203)

4

Подставим выражения (Ш.1 4 6 ), (Ш. 1 4

7 ), (Ш .161),

(111.198), а так­

К *

2

К

* л К

/

. ,

(HI. 204)

п

л

'

(Ш .205)

V0 L

У

K ^ p S f,

'

(Ш.206)

я г Sh ( U p )

(Ш .207)

с

Г *

1

Л

7 .

.

1.................

(Ш.208)

В результате получим

Y f *■(&* - s ) 1

r

-

Z*z d ,

7 .

(Ш.209)

n 2K lS h

Подставляя выражение (Ш .198)

для Я

и

(Ш.209)

в соотношения

у а = Ч

^

(Ш.210 )

х к п

'

W ° = J J z k

l l

«•

(Ш .211)

На рис.5 даны графики зависимостей

У

= ?

( е е ) ,

характеризую­

обтекании, для следующих значений

параметра £ :

£ =

0 ,2 5 ; 0 ,5 ;

I ; 2 ; 3 ;

6 .

(Ш.212)

Из ри с.5 видно,

что резонансный характер

зависимости Э- - 7 (s e )

сильнее выражен при

больших значениях параметра

е .

Г л а в а

1У

ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ НИТИ

I .

Модель с произвольным числом сосредоточенных грузов

Пусть нить содержит в себе

/V

сосредоточенных грузов,

каждый

весом Рв .

Пусть грузы

расположены друг от друга на расстоянии

21,

а крайние грузы расположены от концов нити на расстоянии

I .

Та­

ким образом, L = 2NI

,

гдё L

-

общая длина нити. Пусть

иг

-

пла­

вучесть нити, mg -

масса единицы длины нити (с учетом присоединен­

ной массы жидкости).

Нить первоначально

вытянута вдоль

оси х

= у 7.

Погружение

(всплытие)

в

целом происходит

вдоль оси z *

у 3 \ Тх и

Тх -

орты вдоль

осей х

и

z

. Под влиянием сосредоточенных грузов

нить

будет изгибаться.

Для описания процесса изгибания нити под дейст­

соединенных жестких стержней

равной длины t I .

Схема модели пред­

ставлена на ри с.6 ,

где ^

^

...............у ^ - углы,

которые

стержни

составляют

с осью

х . в дальнейшем для простоты число

грузов

N

считается четным.

Середине

нити соответствует

значение координаты

х

= 0 . В

оилу очевидной симметрии движения нити относительно

оси %

в дальнейшем ограничимся рассмотрением погружения части нити,

на­

ходящейся справа от оси z

. Стержни соединены шарнирно в точках А ,

В

, С , В

и т .д .

Грузы расположены в точках

В , $

и т .д .

В качестве обобщенных лагранжевых координат рассматриваемой,

системы выберем z

- координату шарнирного соединения

стержней при

А * ТэУэ,

. (1У .З)

где Тэ - кинетическая энергия системы,

У 3 -

потенциальная энергия

определяемая изгибной жесткостью нити,

и

- обобщенные силы.

Р и с.6 . Схема дискретной модели нити.

Потенциальную энергию,

связанную

с изгибом нити, будем считать

пропорциональной квадрату

разности

углов,

которые

стержни

состав­

ляют с осью х . В результате

для

величины

Уэ запишем

y 3 = C V2r

*

j

l 2 (<rp -¥ p - , ) 2-

Заметим, что значения углов

здес/° и далее

берутся вместе с их

знаками. Связь постоянной

С

с

изгибной жесткостью

нити

E I

будет

определена в дальнейшем. Для величин

Тэ ,

Qz

и Qi

имеем /23, 1037

г-Р-

/ г »

mu

2

(1У .5)

Т

ж

y*>

a z '

xh*

(1У .6)

Q =

г

7

. J Z

V

-

l

t

-

.

ъ=1,г,...,ы ,

(1У .7)

1

z + s ?1 ’

(1У .8)

rt

mZ7x * l L

T? * sT*

-

(1У .9)

(1У .10)

?k =

cos 9^7^ * sin Vk ?z

, * '

■■■’ N'