книги из ГПНТБ / Салтанов, Н. В. Гибкие нити в потоках [монография]

Выделяя в условиях (Ш.87) равновесное положение нити с помощью

замены

(Ш .72),

приходим к условию

(Ш .88), а

также к следующим ус­

ловиям:

»

^

+

№-i) X+SxP Уд

.

р

М

&У1 ^

ЗУ,-

312

dt

'*

3s

//

- 0 ,

i=1. 2.

(Ш.90)

l / s * {

Пусть имеют место

условия

= 0 ,

т ° ( t) = Т3 .

(Ш.91)

Тогда, подставляя выражение (Ш.66)

и (Ш.91)

в условия

(Ш .81), по­

лучаем

i

,

Ч г

-

(Ш.92)

3s ls=0

Подставляя выражения (Ш.66) и

(Ш.91)

в

условие (Ш .84),

соответ­

ственно

записываем

, .

,

=0.

(111.93)

3 2и1

/

3s ‘■/J=L

Аналогичный ввд после подстановки выражении (Ш.66) и (Ш.91)

принимает условие

(Ш .82). Проводя в соотношениях (Ш.92) и

(Ш.93)

замену

(Ш .72),

можно получить соответствующие

условия для величин

К

> У2

и У3 •

(Ш .27). П усть,далее,

Пусть справедливы соотношения (Ш.23) -

составляющей силы

£„

, параллельной оси

у 1

,

можно пренебречь

* 0.

(Ш.94)

Тогда, подставляя выражения (Ш.24)

и

(Ш.28)

в условие

(Ш .83), про­

водя разложения и пренебрегая затем слагаемым,

имеющим второй и

выше порядок малости,по углу между

нитью и осью

у 1 ,

а также по от­

ношению скорости

нити к скорости потока,

получаем

т

K * s , p r Z

I

(Ш.95)

<jL

~ ----------------

4 *

43t2^ v0

Jd- - + v 0

&<ti ~

3t

0 3s J

“

•96)

Выделим

в условии' (Ш.95) равновесное

положение.

Проводя в

нем за­

мену (Ш.ЗО) соответственно для равновесного

смещения

у 2 нити от

оси

у7 и для компонент

у2 и

у3 вектора

смещения нити из равновес­

ного положения, получаем

(Ш.97)

d 2yj

/

=/7, 2=2,3. (Ш.98)

i t 2

s=L

В некоторых случаях может представиться целесообразным в каж­

дую компоненту краевого условия (Ш.83) ввести отличные друг от дру­

га значения эффективной массы

и коэффициента сопротивления. Пусть

-

коэффициент сопротивления для направления

у 7,

и M j ( i =

= 2,3)

- коэффициенты сопротивления и

эффективные массы для направ­

лений

у 2 и у 3 .

В результате,

например,

вместо

условий

(Ш.98) полу­

чаем следующие:

XJ Sf pV0

ду,- _

Г *

d t2

2

at

*

дз

д \

_■ в . 1 !

= 0 .

г = 2 , 3 .

(Ш.99)

- E I d s3

" J / s . L

Вдесь

величина

)

место

условия

Kt

Tf ФВ , M ‘f * 0 , х х‘

* О, E l = О,

и О,

i =2,3.

(Ш Л О О )

Тогда условия

(Ш.99)

упрощаются и принимают вид

/

= 0 ,

1=2,3.

(Ш.Ю1)

ds / з =1

степени

свободы концевого тела и т .п .) , то

краевые

условия при

$ = L ,

естественно, усложняются.

Приведем условия баланса сил на свободном конце нити с нулевой

плавучестью, находящейся в соосном потоке

жидкости.

Они имеют вид

а / = j

|

Sk

(s) d s ,

i=

2,3,

(П1.102)

где

,

■

L'1

S -

площадь поперечного

сечения ни­

1 -

длина оконцовки нити,

ти,

(s ) - текущая площадь поперечного

сечения оконцовки нити,

-

безразмерный множитель,

f2 4

1

.

Для достаточно

вытянутой

оконцовки нити величина

/

* / .

В заключение отметим, что

при

E I =

0

уравнение (Ш .17), а также

соответствующие той или иной

специальной

задаче краевые условия

рассмотрения критериев подобия в механике

нити /58,

1767. Далее

будут записаны критерии подобия для

нитей

в потоках,

полученных

на основе уравнений (01.1) и

(Ш .16),

а также некоторых типов крае­

вых условий к

ним. При этом

скорость потока считается заданной со­

гласно (ГО.2 3 )

. Воспользуемся следующими определениями:

- [у

л* tf(6--ff )->A

] e t \ l~ [£ E jl£ x/ЛЛ ) 1-

I t i

P

J

3

£ t o ! o e - [ д е д б 3 Л

-Л

d p f

L - llf v T-?l)±)2pLdA}+

M ~дб)

v ж

[ °

1 3 U 9 s ] 7 3ff

t/ / » Л —

) * 9 ( [ * ]

/ Ш .107)

-,A vffV/(

7

5'r (

<f7'

На основе соотношений (Ш .105) -

(Ш.107)

запишем следующие крите­

рии подобия движения нитей:

- к .

=

idem

(к = 1,2, ... , N) ,

(Ш.108)

mgL

6к =

idem

(к ~

1,2,

. , N ),

(Ш.109)

mg

= idem ,

(Ш.ИО)

£- ~ т = idem,

(Ш ЛИ )

m gL3

Л. = id em ,

(Ш .112)

т

’

2т

(Ш .НЗ)

(Ш .114)

яК / fidL

— Ц------ - s ictem,

2т

(Ш .115)

Ур ■= idem.

YgL

'

(ШЛ16)

М К Ъ

-

id em -

Далее запишем критерии подобия для нитей, получающиеся на ос­

нове рассмотренных выше условий (Ш.78)

- (Ш.84).При

этом наряду

с определениями (Ш.105) используем

следующие:

Р

о

3 Ыщ

Я *

=

mL

к

2т

-

_

Р *_

(Ш .117)

Пусть также выражения

[

я ° ] ,

[ я т° ] и [

^ ] обозначают наборы без-^а

размерных параметров,

характеризующих

соответственно

величины р ,

m ъ p , В результате условия

(Ш.78) - (Ш.84) запишем в

безраз­

мерном виде

в б )! б ,- о

р 3 Сд* Ь * ™ ;з1 б , . о '

I 6 . + 0

(ШЛ19)

= 0,

/ 6 ,-0

I дв

a s t j j f ^ o

(Ш.120)

/ % * • * ' ( [ * & * . ) ,

(Ш.121)

£

!

(Ш.122)

'

д б /ff.o

^ ) L - -

(Ш.123)

\ 3 6

3 6 2J

(Ш.124)

Ч \

* ?

) 1

- о .

(Ш.125)

36

3 6 2J / f f ; ,

Можно видеть, что условия (Ш.118) -

(Ш .120),

(Ш.123)

и (Ш.125)

не приводят к появлению дополнительных к

(Ш .108)

-

(Ш .П 6) крите­

риев подобия. Из условий

(Ш .121),

(Ш.122)

и (Ш.124)

получаем сле­

дующие дополнительные к

(Ш .108)

-

(Ш.116)

критерии подобия:

Р ° ( [ л р°

] '

* * )

-

l'd em -

(Ш.126)

™ ° ( [ л т° -] ’ Р*)

= г'Ыет’

(Ш.127)

к ,

idem,

(Ш .128).

ml

K *S *P

■-idem,

(Ш.129)

2т

7r (IKJ-

=

(Ш.130)

-7 i— = idem ,

(Ш.131)

mgl

которые следуют из

условий

Рассмотрим также критерии подобия,

(Ш .102). Используем определения (Ш .105),

а также

следующие:

, Г

s

Sk (s)

yz

У3

(U1.I32)

7

-

f . r

-

f

L

L k

Пусть выражение [ a * ]

обозначает

набор параметров,

характери­

зующих величину £

. в результате

условие

(Ш .102)

запишем в ввде

д 3

+fi * m vo ( t t

' " о £ ) - ( Ч

Пм )

Яа l k

]

( i ) }

l = !

=

* ■

'£ дб 3 rj2 "м

й к

1 к ( [ к ] ' 6) «

в -

(шлзз)

С помощью соотношений (Ш .Й 2) и (Ш.133) запишем следующие кри­

терии подобия, дополняющие критерии подобия

СШ.108)

-

(Ш .116):

f2

= idem,

(Ш .134)

J

h

( [ * 1 ] . * ) * * “ &*"•-

(ШЛ35)

чающиеся из

краевых условий,задаются соотношениями (Ш .126)-(Ш .127).

При этом для

простоты примем

trB

ГГО Т-

7 , £ Г о

‘ 0 -

(Ш .136)

Тогда

получим,

что общее

1 ’

число /V,

независимых

размерных и безр аз-

мерных параметров, входящих в

критерии подобия

(Ш.108)

-

(ШЛ15),

(Ш .128),

(Ш .129)

и (Ш .131),

равно (2/V +16)

( р

,

L , иг ,

£ s

1 , М

9 . Р

*1 '

Ко

мV • /Г , S

и Р ,

) . Из

них можно

составить

( Нк -

3) г 2/V+ 13 независимых безразмерных величин.

Чис­

ло /^критериев (Ш.108) -

(Ш .115),

(Ш Л 28),

(Ш.129) и (ШЛ31)

рав­

но (2 N + 9 ) .

Таким образом,

в

рассматриваемом случае

3)

=

=(/V#if +

4 ) . Данный пример показывает,

что в ряде

случаев может иметь

моделирования /9,

1277.

5 . Колебания нити в потоке

Н и т ь

в

с о о с н о м

п о т о к е .

Рассмотрим колеба­

£ I ‘ ш ~/»г *f»3 -У 2 “О, М*тп, у 3 . у .

(Ш.137)

УI s - о ~Уо

cosSio f >

(Ш.139)

Ь / ' ду * У

*1

уА Tt

0

ds/

у/

*V

s l i

д у /

(Ш.140)

dt

/{.0

•У/-*

у0

2L

М,

_

V ■j >

= £ * £

(Ш.141)

^ Ж

'* -

dM /2

*

Уо

Используя также

определение

СШ.1 0 5 ) для ff

, уравнение (Ш.138)

и принятые краевые и начальные условия (Ш .139)

и (Ш.140) записыва­

ем в виде

Уравнение (111.142)

с краевыми

и начальными условиями (Ш .143)

и

(Ш.144)

решалось для

весьма широкого

диапазона изменения параметров

j

, у ,

у / ,

и <а^ .

Использовался метод конечных разностей /113,

122,

колебаний для конкретного

набора безразмерных параметров / > / .

7п ’ 7°'

\

' <*#’ Х* и **

пРиведены на Рио.З (переходной процесс на

рисунке

не

показан; штрих-пунктиром указаны средние по периоду

{ 2 л / Я 0

)

значения амплитуд).

Р ис.З . Зависимости

смещений

О

0,33

0,66

б

Ри с.4 .

Затухание

возмущений по

различных точек нити от

длине нити против пото­

времени при у» = 2 ,

ка ( 1 , 2 )

и по потоку

7/(=

2?8$ •I 0 3 ,

к 1 ,5 7 ,

7 ,5 5 .

ров рис.З показано

на рис.4 . Заметим,

что для кривых 2 и 4 отноше­

ние

Уд /L

вдвое

больше, чем для кривых

I и 3 .

Н и т ь

в

п о п е р е ч н о м

п о т о к е .

Пусть неве­

сомая в жидкости нить вытянута вдоль

оси

у г ,

поток направлен

вдоль

оси

у 1 ,

колебания нити под воздействием

срывающихся вихрей про­

исходят вдоль

оси

у 3 . Пусть амплитудное

значение

скорости

колеба­

ний нити существенно меньше скорости

набегающего потока. И пусть

поперечная жесткость нити не существенна,

£ I

=

0 .

(Заметим,

что

поперечной жесткостью нити можно пренебречь,

в частности,

когда

длина волны возмущений достаточно велика.) Тогда,

используя обозна­

чения

( I . I I ) ,

уравнение (Ш.65) для величины

z = у 3

записываем

в

виде

tfs1

.

(Ш.145)

Напомним,

что

тп и М - масса и присоединенная масса единицы дли­

ны нити,

d -

диаметр нити, Кп и

- коэффициенты сопротивления

формы и трения нити, Т° - натяжение,

р

и

^

- плотность и скорость

жидкости. Предполагается, что сила /

,

обусловленная воздействи­

ем срывающихся вихрей, является заданной функцией

s

и t .

Введем

обозначения

(Kn + nKf )p iiy 0

(I1I.I46)

(П1.147)