книги из ГПНТБ / Садовский, Г. И. Механика горных пород, расчеты крепи и конструктивных элементов систем разработки рудных месторождений подземным способом [учебное пособие]

Для практического применения разброс значений характе­ ризуется коэффициентом вариации (изменчивостью) V.

Необходимое число опытов устанавливается по величине ха­ рактерного для данного типа пород коэффициента вариации но формуле математической статистики

Кдоп—допустимая ошибка, %.

Величину нормального отлконения t принимают в зависи­ мости от задаваемой надежности, согласно табл. 6.

В случае большого числа испытаний вышеизложенными формулами трудно пользоваться. Поэтому для практических расчетов рекомендуется следующий порядок.

50

Обработка начинается с группировки исходных данных, со­ стоящей в том, что весь диапазон изменения искомой величины

х разбивается на К интервалов Ах.

Для приближенного определения величины интервала ис­ пользуется соотношение

К выбирается так, чтобы в каждом интервале оказалось в среднем от 10 до 50—60 образцов.

Пример: 312 образцов испытано для определения модуля упругости Е кг/см2, Хшах=4.85 • 104, Xmin=0.83 ■ 104.

Принимая в среднем для каждого интервала 30 испытаний, разбиваем весь диапазон на 10 частей и паходим:

104,45 - 4,85

Винтервалы с 1 по 10 при подсчете частот включают все единичные значения меньше 0,85 и больше 4,85, которых было слишком мало, чтобы для них вводить специальные интервалы.

Заполнение 3-го столбца—каждая сторона квадрата означает Е, попадающие в соответствующий интервал.

В 4-ом столбце приводятся численные значения частоты щ по каждому интервалу. Обработка данных таблицы производит­ ся по следующим формулам. Среднее значение искомой вели­

чины х находим по формуле

51

где n — общее число наблюдений;

ill — число наблюдений в каждом интервале;

К— число интервалов;

i— номер интервалов;

Для рассматриваемого примера наиболее насыщенным яв- I ляется интервал 3, где содержится 64 результата, следователь

Дисперсия S 2 определяется из соотношений

S 2= (A x )2 (h2—hj)2;

h2= — S п1У,2. n i-i

Решение примера сведено в табл. 8

52

Находим hi— ~gj2~ =0,878.

Среднее значение искомой величины — модуль пропорцио­ нальности

х—Axhi-f-x°=0,4 •0,878-)-1,85=2,2.

Затем определяем

h2=l/nSniyi2=1436/312=4,603 1-1

Находим дисперсию

S2= 0 ,4 2 (4,603-0,8782) =0,613.

Проверка принадлежности

Одной из важных задач при оценке результатов изучения механических свойств пород является установление однородно­ сти полученных данных пли оценки принадлежности.

Рассмотрим типичные случаи.

1. Рудное тело вскрыто несколькими скважинами. Керн ис­ пытан и получены величины аСж, Нрас, Е и ц для каждой из скважин. Как обычно бывает, полученные значения отличаются. Требуется установить, можно ли рассматривать все полученные результаты как принадлежащие к одной статистической сово­ купности, или результаты по скважинам оказались настолько разными, что обнаруженное различие не может быть объяснено

53

случайными причинами. Следовательно, механические свойства пород существенно изменяются.

2. Из некоторой горной породы изготовлено несколько пар­ тий образцов на разном оборудовании и определены физико-ме­ ханические свойства. Средние и дисперсии результатов испыта­ ний по этим партиям оказались отличными друг от друга. Тре­ буется установить, является ли отличие случайным или систе­ матическим, как следствие различного качества обработки.

Р е ш е н и е первого примера.

Оцениваем различие между средними значениями.

Для оценки расхождения в средних используем критерий Стьюдента t в форме [1] *.

степенями свободы сравнивается с табличным tp (табл. 12) в книге [1], и устанавливается значение Р, которому соответству­ ет найденное расчетом значение. Вероятность, с которой можно

1* Митропольский А. К. Техника статистических вычислений. М. Физматгиз, 1961.

54

считать, что центры распределения совпадают, равны Р, т.е. Р— это вероятность того, что истинное значение xi, &2 будет одина­ ковым. Если Р достаточно велико, то можно считать, что нет су­

щественных различий между средними значениями для отдель­ ных выработок, а проверяемые совокупности можно рассматри­ вать как принадлежащие к одной и той же генеральной сово­ купности с нормальным законом распределения.

Если число образцов одной выработки очень велико по срав­ нению с другой, то формула (42.2) переходит в состояние

Если найденное значение t e n —1 степенями свободы ока­ жется равным табличному при достаточно большом Р, то мож­ но сказать, что проверяемая частичная совокупность взята из общей генеральной совокупности результатов испытаний, т. е. принадлежит ей. Расхождения между xi х2 можно считать не­ существенными и вызванными случайными причинами.

П р и м е р. Рассмотрим результаты испытаний на сжатие образцов, полученных из трех скважин одного месторождения. В табл. 9 представлены значения средних пределов прочности на а'сж и стандарты S i(t= l, 2, 3) по каждой скважине. В столб­ це 5 табл. 9 приведены значения t, вычисленные для соответ­ ствующих ст'сж и Si по формуле (45.2).

Среднее значение предполагаемой прочности по трем сква­ жинам найдено по формулам

В столбце 6 таблицы приведены вероятности, соответствую­ щие совпадению центров распределения о-1.

Таблица 9

Следовательно, между прочностью есть отличие, которое не может быть объяснено случайными ошибками и, видимо, связа­ но с изменением механических свойств образцов по скважинам. В данном примере в качестве расчетных значений следует при­

нять наименьшее доверительное значение о и наибольшее дове­ рительное значение S, соответствующее выбранному уровню надежности.

Р е ш е н и е второго случая. При решении вопроса о том, является ли различие в величинах дисперсий, найденных в ре­ зультате испытания двух выборок из одной и той же горной по­ роды, следствием различного качества обработки или должно быть объяснено изменчивостью свойств самой породы и недоста­ точным объемом выборок, применяется критерий Фишера (F).

Для этого составляется отношение дисперсий F = S [ 2/S22, в которой под Si2 подразумевается большая из двух дисперсий.

Значения F для различных чисел степеней свободы yi—nj—1 и уг=П2—1 приведены в [1]*. Проверка сводится к сравнению найденного значения F с табличным для некоторого выбранно­ го уровня надежности а = 1 —Р. Например, Р—0,1—0,01.

П р и м е р . Среднее значение предела прочности На сжатие большего числа образцов составляет Оош=197 кг/см2 и S —61,4 кг/см2. Требуется установить, можно ли к этой совокуп­ ности присоединить результаты испытания партии из 17 образ­

цов, для которых О ст —174 кг/см2 и S = 3 0 кг/см2. Вычисляем по формуле (45.2) критерий

197-174

=1,54.

C1-4/V17

По таблице из ш * находим соответствующее значение Р и убеждаемся в вероятности получить случайные отклонения средних с размахом порядка 15%. следовательно, различие в

56

средних вызвано, по-видимому, какой-то систематической ошиб­ кой. Либо породы выработок различаются по прочности, либо в методике испытаний и изготовлений образцов допущены си­ стематические ошибки, действующие в различных направлени ях.

Для выявления значимости систематической ошибки, вно­ симой при изготовлении образцов, воспользуемся F критерием.

(61,4)* _ 4

(30.7)2 '

llpn числах степеней свободы y i= оо (для выборки с боль­ шим значением дисперсий) и уа—24 (для выборки с меньшим значением дисперсий) по таблице в [1] * находим, что вероят­ ность Р случайного различия в полученных эксперименталь­ ных значениях стандартов меньше 0,1. Следовательно, вероят­ ность неслучайного отличия в стандартах очень велика. Разли­ чие в настройке испытательных машин может привести к раз­ личию в средних но выборкам, но не может привести к измене­ нию отклонений от среднего; следовательно, наиболее вероят­ ной причиной систематической ошибки (в рассматриваемом примере) является меньшая точность изготовления образцов в большой партии.

значение и дисперсия для выборки —могут рассматриваться как среднее п дисперсия генеральной совокупности.

Найдем оценку в случае малой выборки.

Обозначим через х0 среднее значение и S 0— стандарт генераль­

ной совокупности, а через х и S — среднее значение и стандарт выборки.

Стандарт '

так как S0=S.

67

Нормируя отклонение (х—х0) по Sx, получаем отклонение

величина t распределения по закону Стьюдента с y = n —1 сте­

В таблице [1]* приведены значения tp в зависимости от Р для различных чисел степенен свободы. Пользуясь этой табли­ цей, можно найти такие значения tp, т.е. такие границы интер­ вала для t, за пределы которого отклонения будут выходить с вероятностью не более чем Р.

Например, вероятность Р=0,02 соответствует тому, что х0 в 98 случаях из 100 лежит внутри интервала.

Из соотношения (48.2) следует, что доверительный интер­ вал для общей средней при заданном значении Р будет

П р и м е р . Из 15 испытаний найдено среднее значение пре­

дела прочности х=(т=10,44 кг/см2, стандарт S —-2,12 кг/см2. Построим доверительный интервал для среднего значения

о, удовлетворяющий условию, что не более чем в Р случаях из

100 истинное значение х0 может оказаться за пределами дове рительного интервала. Значение Р, равное, например 0,05, соот­

ветствует условию, что выход х0 за пределы интервала мы до пускаем не более чем в 5 случаях из 100. Далее по таблице [1]* для Р = 0,05 и у==п—1 находим значение tp—2.14. Дове­ рительный интервал для а 0 будет

о—tp• S/Vn< a~n< + + t • S/y n

r.e. 10,44-2,14-2,12/У 15<о-°<10,44+2,14-2,12^15,

10,44—l,1 7 < a °< 1 0 ,44+1,17.

58Л

Таким образом, с надежностью 95% можно утверждать, что среднее значение предела прочности в общей совокупности за­ ключено в интервале (9,27; 11,61) и погрешности в определе­ нии о-0 по а в результате испытаний 15 образцов не превыша-

ют 12% '1,17-100_ 10,44

При построении доверительного интервала для стандарта в случае большой выборки (п^>30) достаточно составить отноше­ ние

Доверительный интервал для коэффициента вариации V0 будет

х„, S 0 или Vo выйдут за пределы доверительного интервала.

Исследование корреляционных связей

Корреляционной связью между двумя или несколькими ве­ личинами называется статистическая связь, которая обнаружи­ вается только при массовых наблюдениях.

Соответствие между величинами, находящимися в корреля­ ционной связи, в каждом частном испытании реализуется толь­ ко с. некоторой вероятностью.

Качественно наличие корреляционной связи обнаруживает­ ся, как правило, достаточно просто, но далеко не всегда впеча­ тление о наличии корреляционной связи подтверждается объек­ тивным анализом и невсегда эта связь является существенной. Поэтому во всех случаях, когда можно предполагать наличие корреляционной связи, следует выяснить форму связи, прове­ рить, насколько она является тесной, и оценить достоверность полученных результатов.

50